积的乘方
积的乘方人教版数学八年级上学期(完整版)
板书设计
积的乘方
积的乘方的法则
语言叙述 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
符号叙述 (ab)n anbn (n是正整数）
.
作业布置【知识技能类作业】必做题：
1.计算:
(1)(ab)8； (2)(2m)3；
(3)(-xy)5；
(4)(5ab2)3； (5)(2×102)2； (6)(-3×103)3.
(4×3)2与42×32相等；(2×5)3与23×53相等.
新知讲解
看看运算过程中用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
(1) (ab)2 =(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)2= a2( )b( ) (2) (ab)3 =_(_a_b_)_·__(_a_b_)_·__(_a_b_)__=(_a_·__a_·__a_)_·__(_b__·__b__·__b_)_3= a3( )b( )
(am)n=___a_m_n_ (m,n都是正整数）.
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
新知讲解
思考：
计算：(1) (4×3)2与42×32；(2) (2×5)3与23×53. 填空： ∵ (4×3)2 =1_2_2___=_1_4_4__ 42×3216=×__9___144=_____， ∴ (4×3)2=___42×32 ∵ (2×5)3 =1_0_3__1_0=0_0____ 23×538×=_1_2_5____1_0=0_0____， ∴ (2×5)3=___23×53 你发现了什么？
解:(1)原式=a8b8；
(2)原式=23•m3=8m3；
(3)原式=(-x)5•y5=-x5y5；
(4)原式=53•a3•(b2)3=125a3b6；
积的乘方
思考：积的乘方(ab)n =? 猜想：(ab)n=anbn (n为正整数)
积的乘方法则： 积的乘方等于把积的每个因式分别
乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n = anbn （n为正整数）
推广：三个或三个以上的积的乘方等 于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
(4)原式=(-2)4·x4·(y3)4·(z2)4 =16x4y12z8
练习:
计算:
(1) (2a)3;
(abc)n = anbncn （n为正整数）
(ab)n = anbn （n为正整数）
(2) (－5b)3;
(3)（xy2z)2 ;
（4） (3ab2 )2 （5）( 1 xy 2 )3
2
(ab)n = an·b（n m,n都是正整数） 反向使用: an·bn = (ab)n
am·an=am+n
a a ( m)n= mn (ab)n=anbn ( m、n都为正整数)
2. 运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要乘方，还有符号问题.
判断:
(1)（ab2)3=ab6 (2) (3xy)3=9x3y3
(3) -(-2a2)2=4a4
(4) (-a＋b2)2=a2b4
( ×) (×) ( ×) (× )
试用简便方法计算: (1) 23×53 =; (2×5)3 = 103 (2) 28×58 =; (2×5)8 = 108 (3) 24 × 44 ×(-0.125)4 ;= [2×4×(-0.125)]4 = 14 =1.
计算:
(1) (1 2)2008 ( 5)2008
5
7
积的乘方法则
积的乘方法则积的乘法是数学中非常基础的一个概念，它是指两个或多个数的乘积。
在日常生活中，我们经常会用到乘法，比如计算购物时的总价、计算面积和体积等。
而在数学中，乘法更是一个非常重要的运算方法，它在代数、几何、微积分等各个领域都有着广泛的应用。
本文将从基本概念、乘法的性质和应用举例等方面，详细介绍积的乘方法。
首先，我们来看一下积的基本概念。
在数学中，积是指两个或多个数相乘的结果。
比如，2和3的积就是6，记作2×3=6。
在乘法中，我们把参与乘法运算的数称为乘数，乘积则是乘法的结果。
乘法运算符号通常是×，有时也用·或者表示。
在乘法中，乘数的顺序是可以交换的，即a×b=b×a。
这就是乘法的交换律，对于任意的实数a和b都成立。
此外，乘法还满足结合律，即(a×b)×c=a×(b×c)，对于任意的实数a、b和c都成立。
这些基本性质为我们后续学习和应用乘法提供了基础。
其次，我们来看一下乘法的性质。
乘法有分配律、零乘法等重要性质。
分配律是指乘法对加法的分配，即a×(b+c)=a×b+a×c，(a+b)×c=a×c+b×c。
这个性质在代数中有着广泛的应用，可以帮助我们简化复杂的运算。
另外，零乘法是指任何数乘以0的结果都是0，即a×0=0。
这个性质在解方程、化简式子等方面都有着重要的作用。
了解乘法的性质不仅可以帮助我们更好地理解乘法运算，还可以为我们解决实际问题提供便利。
最后，我们来看一些乘法的应用举例。
比如，计算一个矩形的面积，就需要用到乘法。
假设矩形的长为a，宽为b，则它的面积S 为长乘以宽，即S=a×b。
又比如，计算一个立方体的体积，也需要用到乘法。
假设立方体的边长分别为a、b、c，则它的体积V为长乘以宽乘以高，即V=a×b×c。
积的乘方-
一个立方体的棱长为5，那么立方体的体积是多少？如 果棱长为 2a，那么立方体的体积是 如何表示？怎样计 算？
解:
5 5 5 5 125
3
2a =?
3
合作交流
⒈ ⒉
4 6
3
4 6 4 6 4 ___ 6 __________ __________
n
n
n
积的乘方,等于把积的每一个因式分别 乘方,再把所得的幂相乘.
ab
n
a b
n
n n （n为正整数）
n n n
abc
a b c _____
（n为正整数）
例4计算下列各式，并把结果用幂的形式表示：
(1) ( 2 a )
3
(2) (6a )
5 2
(3) ( x3 y 2 )3
2 4 ( ab ) (4) 3
尝试练习
(1) (3)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( 2h)
2
5
(2)
(3a )
3 2
(a y )
4
1 3 4 (4) ( a c ) 2
判断正误:
2a
2 3
8a
5
幂的乘方,底数不变,指数相乘
( (
) )
系数
1 3 3 3 ( cd ) c d 3
2 3
1 3
的3次方而不是 相乘
计算： （1） （2）
2 5
6
5
5
6
4
4 0.25
1 （3）2 4 2
15
解: (1) (2)
2 5 2 5
《积的乘方》课件
随堂练习
1.下列运算正确的是（ ）
D
A. a2·a3=a6
a2+3=a5
B. (3a)3 =9a3
33a3
27a3
C. 3a-2a=1 a
D. (-2a2)3=-8a6 (-2)3a3
-8a6
更多同类练习见《教材帮》数学RJ八上14.1.1~14.1.3节中考 帮
2.计算： (1) (-3×102)3 ;
示例： n
(2x)2=22 ×x2=4x2
a b an bn
新知探究 跟踪训练
例 计算下列式子： (1) (2a)3 ; (2) (-5b)3 ; 解：(1) (2a)3 =23·a3=8a3 ;
(3) (xy2)2 ;
(2) (-5b)3 =(-5)3·b3=-125b3 ;
(3) (xy2)2 =x2·(y2)2=x2y4 ;
(2) [(- 1a3)2]2 ;
3
(3) (-a2b3)3 .
解：(1) (-3×102)3 =(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 ;
(2) [(- 1a3)2]2 =( 1 )2·(a6)2= 1 a12 ;
3
9
81
另解：
[( 1 a3 )2 ]2 ( 1 a3 )4
运用了乘法交换律、结合律. 观察计算结果，你能发现什么规律？
(1) (3x)2=3x·3x=(3·3)(x·x)=3(2) ·x (2); (2) (ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)(b·b)=a(2)b(2) ； (3) (ab)3=_a_b_·a_b_·_a_b__=_(_a_·_a_·a_)_(b_·_b_·b_)_=a(2)b(2). 以上式子都是积的乘方的形式，积的乘方的计算结果 中，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
14.1.3 积的乘方
99 100 2017 100 100 100 （ ） =1 = . 解：原式= 100 99 99 99 99
【点拨】逆用积的乘方法则anbn＝(ab)n(n为正整数)可使计算简便．
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更 多 名 校 选 择
名
例2
校
讲
坛
(教材P97例3的变式)计算：
(1)(－3a2b3)4； 解：原式＝(－3)4·(a2)4·(b3)4＝81a8b12. 【点拨】积的乘方法则对于三个或三个以上因式的积的乘方仍然适用，即 (abc)n＝anbncn(n是正整数)． (2)
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巩
固
训
练
4．计算：
(1)(－2x3y2z)3；
解：原式＝－8x9y6z3. (2)(3a2)3＋(a2)2· a 2； 解：原式＝28a6. (3)a· a 3· a4＋(－a2)4＋(－2a4)2.
解：原式＝6a8.
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固
训
练
1．计算：(ab2)3＝( C ) A．3ab2 B．ab6 C．a3b6 D．a3b2 2．计算(－2a2b)3的结果是( B ) A．－6a6b3 B．－8a6b3 C．8a6b3 D．－8a5b3 3．若xn＝4，yn＝9，则(xy)n＝ 36 ．
积的乘方
举例及应用
例1 计算：（1）（2b）3；（2）（2a3）2；
（3）（- a）3；（4）（- 3x）4 .
注意： ①系数的乘方； ②因数中若有幂的形式，要 注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因数幂的乘方.
（1）（2b）3 =23 b3 =8b3； （2）（2 a3）2 =22 （a3）2 =4a6； （3）（- a）3 =（-1）3 a3 = - a3；
（4）（- 3 x）4 =（- 3）4 x4 =81x4 .
练习
判断下列计算是否正确，并说明理由： （1）（xy3）2 =xy6；（2）（-2x）3 =-6x3.
（1）不正确；（xy3）2 x2 （y3）2 x2 y6；
（2）不正确； （- 2 x）3 （- 2）3 x3 -8 x3 .
拓展延伸
因为（ab）n anbn ，所以 anbn （ab）n. 逆用性质进行计算：
（1）24 44 0.1254；
（2）（- 4）2 002 （0.25）2 002 . （1）24 44 0.1254 （2 4 0.125）4 1 （2）（- 4）2 002 （0.25）2 002 （- 4 0.25）2 002 1
拼出一个新的正方形吗？多少个小正方形才能拼成 一个新的正方形？并用不同的表示方法表示新正方 形的面积.从不同的表示方法中，你发现了什么？
课堂小结
小结
这节课你有什么收获？学到了什么？还 有哪些需要老师帮你解决的问题？
请注意：积的乘方要将每一因式（特别 是系数）都要乘方.
布置作业
作业
教材习题12.1第4题.
3 积的乘方提问来自1.a2 a3 a，5 也就是说：（ a2 a3 =a（2+3）=a5 ）.
2(2)积的乘方
2 4 (4) ( ab) . 3
解： (1) (2b)5 =25b5 = 32b5 (2) (3x³ )6 = 36 ( x3 ) 6 = 36x18 = 729x18
(3)( x3 y 2 )3 (1 x3 y 2 )3 (1)3 ( x3 )3 ( y 2 )3 x9 y 6
认识积的乘方，熟记积的乘方的
运算法则 能正确地运用积的乘方的运算法 则，并能应用它解决一些实际问题
๔ 回顾 & 思考 ☞
幂的意义:
n个 a
a· a·… · a= an
同底数幂的乘法运算法则：
am · an = am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则: (am)n= amn (m、n都是正整数)
n n n a· b = (ab)
可使某些计算简捷。
1
补充例题：
计算：2(x3)2 ·x3－(3x3)3＋(5x)2 · x7
解：原式=2x6 ·x3－27x9+25x2 · x7 =2x9－27x9+25x9 =0
注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。
补充习题：
1、填空题： （1）若(a2b3 )n+1 = a6b3m，那么m+n=____ 5
=( 4×4×4 ) ×( 6×6×6 )=4(3 )×6( 3 ) （2）(4×6)5=(4×6 ) ×(4×6) × (4×6 ) × (4×6 ) ×( 4×6)
=( 4×4×4×4×4 ) ×( 6×6×6×6×6 )
=4(5 )×6( 5
)
积的乘方：由两个或两个以上的数或量相乘所得出的数或量就为积。
(4) (5ab2)3
(6)
积的乘方法则和公式
积的乘方法则和公式
《积的乘方法则和公式积的乘方法则和公式》
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊积的乘方法则和公式，这可是数学里超重要的一部分哟！
你知道吗？积的乘方就像是一场有趣的魔法表演。
比如说，(ab)ⁿ，这个式子就是积的乘方啦。
那它到底等于啥呢？告诉你哦，它就等于 aⁿbⁿ。
简单吧？
想象一下，这就好像是把一个大礼包拆开，里面的每一个小礼物都变得更精彩啦！比如(2×3)² ，按照咱们的法则，那就是
2²×3² ，也就是4×9 = 36 。
是不是很神奇？
而且啊，这个法则用处可大啦！当我们遇到那种一堆数字和字母相乘然后要乘方的时候，它就派上大用场啦。
比如说计算
(3x²y³)⁴，这要是一个个去乘，那得多麻烦呀。
但是有了积的乘方法则，那就轻松多啦，直接变成 3⁴×(x²)⁴×(y³)⁴，也就是
81x⁸y¹² 。
再说啦，学会这个法则，做数学题的时候就像是有了一把神奇的钥匙，能打开好多难题的锁。
比如说，在化简式子或者解方程的时候，它能让复杂的东西变得简单清晰，让我们一下子就能找到答案的方向。
还有哦，和小伙伴一起讨论数学问题的时候，你要是能熟练运用积的乘方法则，那可真是太酷啦，大家都会对你刮目相看的！
所以呀，小伙伴们一定要把这个积的乘方法则和公式牢牢记住哟，多做几道练习题，让它成为我们数学武器库里最厉害的法宝之一！加油，相信大家都能玩转这个有趣的法则，让数学变得更有趣！。
积的乘方
a
3
)= )∙( )∙( )∙( )∙( ∙
x
. )= )∙( )=
3x
)∙( 4.(������������)������ =( )∙( 5.(������������)������ =( )∙( =
.
=������( ) ������(
· （禾 只） ������ (������ ∙ ������) =?
乘方
1.探索并理解积的乘方法则。 2.运用积的乘方法则进行计算。 学习重点：积的乘方法则及其应用。 学习难点：积的乘方法则的逆用。
自主导航
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1．填空。（要说说你的做法。结果用幂表示） (1)������������ ∙ ������������ = (2)(������������ )������ = . 2.填表
各组任务安排： A1,B1组完成第1题;A2,B4组完成第2题； A3,B3组完成巧算的？） (22)������. ������������������ × ������������ = , ������������������������ ������������������������ (23)(−������. ������������) × (−������) = ������ ������������������ ������ ������������������ (24)( ) × ( ) = , ������ ������ (25)若������������ = ������, ������������ = ������,则������������������ =
,
)
合作交流
积的乘方知识点总结
积的乘方知识点总结一、乘方的基本概念1.1 乘方的定义乘方是指将一个数重复乘以自身多次的运算。
在乘方中，底数表示要重复乘的数，指数表示重复的次数。
乘方的一般形式可以表示为a^n，其中a为底数，n为指数，^表示乘方运算符。
1.2 指数的含义指数n表示底数a要连续乘以自身n次，比如a^2表示a乘以自身两次，a^3表示a乘以自身三次，依次类推。
指数n可以是正整数、负整数、零、分数或小数。
1.3 底数的含义底数a表示要重复乘的数，它可以是任意实数，包括正数、负数、零、分数或小数。
二、乘方的性质2.1 乘方的运算法则（1）指数为零的情况：任何数的零次方都等于1，即a^0=1（a≠0）。
（2）指数为正整数的情况：a的正整数次方表示a连续相乘n次。
（3）指数为负整数的情况：a的负整数次方表示a的倒数连续相乘n次，即a^(-n)=1/a^n。
（4）指数为分数或小数的情况：a的分数或小数次方表示a的n次方的开n次方，即a^(1/n)=n√a。
2.2 乘方的运算规律（1）同底数相乘：a^n×a^m=a^(n+m)，即底数相同指数相加。
（2）同底数相除：a^n÷a^m=a^(n-m)，即底数相同指数相减。
（3）幂的幂：(a^n)^m=a^(n×m)，即多重乘方等于底数不变，指数相乘。
（4）零指数：a^0=1（a≠0）。
（5）负指数：a^(-n)=1/a^n。
2.3 乘方的特殊情况在乘方运算中，有一些特殊情况需要特别注意。
（1）底数为零的情况：对于零的乘方，考虑到零本身就是一个特殊的数，所以0^0没有定义。
（2）底数为1的情况：任何数的1次方都等于1，即1^n=1。
（3）底数为-1的情况：当指数是偶数时，(-1)^n=1；当指数是奇数时，(-1)^n=-1。
三、乘方的应用3.1 乘方在代数中的应用在代数中，乘方常常用来表示多项式、方程式、不等式等。
例如，a^n用来表示代数式a 的n次幂。
3.2 乘方在几何中的应用在几何中，乘方常常用来表示长度、面积、体积等。
积的乘方法则
积的乘方法则
积的乘法是数学中常用的运算方法，用来计算两个或多个数的乘积。
在乘法运算中，我们通常使用乘号“×”来表示。
例如，当计算2和3的积时，我们写作2×3，结果为6。
乘法运算还有以下几个特点：
1. 乘法满足交换律：即两个数的乘积不受顺序的影响。
比如，2×3和3×2的结果都是6。
2. 乘法满足结合律：即多个数相乘时，可以任意改变计算的顺序。
比如，2×3×4和4×3×2的结果都是24。
3. 乘法满足分配律：即乘法对加法具有分配性质。
比如，
2×(3+4)等于2×3+2×4，结果都是14。
在乘法运算中，可以使用多种方法来计算积。
大多数人最常用的方法是竖式乘法。
下面是一个示例：
3 (被乘数)
× 4 (乘数)
---------
12 (第一步：个位数相乘)
+ 12 (第二步：十位数相乘)
---------
12 (最终结果：积为12)
除了竖式乘法，还有其他方法，如盲人计算法或Vedic乘法。
这些方法会根据具体情况和个人喜好而定。
总之，积的乘法是数学中一种基本运算方法，无论是小学生还是成年人，都需要掌握好这个技巧。
通过反复练习和实践，我们可以更加熟练地进行乘法计算，提高自己的数学能力。
积的乘方与幂的乘方
积的乘方与幂的乘方
在数学中，我们经常会遇到积的乘方和幂的乘方。
积的乘方是指将一个数列中的所有元素乘起来，然后对这个积进行指数运算。
例如，对于数列{2, 3, 4, 5}，其积为2×3×4×5=120，若将其平方，则为120=14400。
而幂的乘方则是指将一个数进行指数运算，然后再对结果进行指数运算。
例如，对于数2，若将其进行平方，再将结果进行平方，则为(2)=16。
在实际应用中，积的乘方和幂的乘方经常用于计算概率、统计学和物理学等领域。
同时，这两种运算也是数学中基础的运算之一，对于理解数学概念和推导定理都有重要的作用。
无论是积的乘方还是幂的乘方，对于数学学习者来说，熟练掌握其运算规律和应用方法都是非常必要的。
- 1 -。
积的乘方 PPT课件
(ab)2= (ab)·(ab)= (a·a)·(b·b)=a2b2
;
(ab)3 = (ab)·(ab)·(ab)= (a·a·a)·(b·b·b)=a3b3 .
(ab)2=a2b2 (ab)3 =a3b3
猜想：(ab)n =anbn
你能证明这个结论吗？
知识要点
积的乘方
(ab)n = (ab)·····(ab)
(5) (2a2)3 ＋(－3a3)2 ＋(a2)2·a2
解：(1) (2x)2 =22·x2 = 4x2
(2) (3ab)3 = 33a3b3 = 27a3b3 (3) (－2b2)3 = (－2)3( b2)3 = －8b6 (4) (－xy3)2 = (－1)2·x2 ·(y3)2 = x2y6 (5) (2a2)3 ＋(－3a3)2 ＋(a2)2·a2
知识要点
CONTENTS
4
知识要点
积的乘方
法则
(ab)n=anbn (n是正整数) 积的乘方,等于各因式乘方的积
对比
am ·an =am＋n (am)n =amn (ab)n=an·bn
( m、n都是正整数)
n个abc =(a·a·····a) ·(b·b·····b) · (c·c·····c )
n个a =anbncn．
n个b
n个c 同底数幂的乘法
乘法交换律、 结合律
(abc)n=anbncn
知识要点
积的乘方
例1 计算：(1)(2x)2 ;
(2)(3ab)3 ;
(3)(－2b2)3 ;
(4)(－xy3)2 ;
知识要点
积的乘方
练一练：下列运算正确的是( D ) A.(－a3)2=a5 B.(－a3)2=－a5 C.(－3a2)2=6a4 D.(－3a2)2=9a4
积的乘方
逆用公式 （ab） a
n
n
b
n
即
a b （ab）
n n n
16 17
（） 0.125 ) . (8) 1 （
5 ( 2) ( ) 13
2004
3 2003 .( 2 ) 5
15
(3) (0.125 ) .( 215 ) 3
小结：
1、本节课的主要内容：积的乘方 幂的运算的三个性质：
am· n=am+n a
(2)81x4y10=( )2 , n= . .
(5) 28×55=
例题： （1） a3 ·a4· a+(a2)4+(-2a4)2 （2） 2(x3)2 · x3－(3x3)3＋(5x)2 ·x7
注意：运算顺序是先乘方，再乘除， 最后算加减。
拓展训练
（）若 x 8 a 1
3 6
b ， 则x
(1)(2a)3 (3)（xy2)2
思考： (-a)n= -an(n为正整数）对吗？ (1)当n为奇数时， (-a)n= -an(n为正整数）
(2)当n为偶数时， (-a)n=an(n为正整数）
(体现了分类的思想）
1、口答
(1)(ab)6;
(4)( 1 ab)3 2 (7)[(-5)3]2 ； 2、计算:
(am)n=amn
n n n (ab) =a b
( m、n都为正整数)
2、 运用积的乘方法则时要注意什么？
每一个因式都要“乘方”，还有符号问题。
(2)(-a)3; (5)(-xy)7; (8)[(-t)5]3
(3)(-2x)4 ； (6)(-3abc)2；
(1)(2×103)3
(3)[-4(x-y)2]3
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积的乘方
教学目标
教学重点：
教学难点：
教学过程设计：
一、复习导入
1、同底数幂相乘的运算法则：
2、幂的乘方的运算法则：
3、根据乘方的定义，(ab)3表示，计算结果
为。
二、探究新知
1、根据上面第三题的计算，猜想(ab)n= 。
2、验证猜想：(ab)n=a n b n
3、归纳积的乘方的运算法则：(ab)n=a n b n（n为正整数）
4、语言表示积的乘方的运算法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
5、思考：三个或三个以上因数的积德乘方，是否也具有以上的运算性质？怎样用公式表示？
6、公式拓展：(abc)n=a n b n c n（n为正整数）
三、理解运用
例1 地球可近似的看做是球体，如果用V，R表示地球的体积和半径，那么，已知地球的半径大约为6103千米，它的体积大约是多少立方
千米？
例2 计算
（1）（2a)3 （2）(-5b)3
（3）(xy 2)2 （4）(-2x 3)4
例3计算
（1）23×25 （2）28×58
四、巩固练习
1、计算
①2)22(b a ②3)23(xy - ③2)3231(bc a - ④2009)1(2010)7
1(2010)7(-∙⨯- 1、x 3n+1可以写成（）
A 、(x 3)n+1
B 、(x n )3+1
C 、x ∙x 3n
D 、（x n ）2n+1
2、如果(x m y n )3=x 3y 12，那么m= ，n= 。
3、计算()20032003)34(75.0∙
五、小结与专业。