数学八年级上册 分式填空选择(提升篇)(Word版 含解析)
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解:由分母为 x2 1,可设 x3 2x2 x 3 x2 1 (x a) b ,
则 x3 2x2 x 3 x3 ax2 x a b
∵对任意 x 上述等式均成立,
∴ a 2且 a b 3,∴ a 2 , b 1
∴
x3
2x2 x x2 1
3
x2
1 (x x2 1
n1 n
n1 n
10x 2 10y2 12xy 90 2018 .
【答案】3
【解析】
【分析】
根据分式的分母有理化把 x、y 化简,利用完全平方公式把原式变形,计算即可.
【详解】
解: x n 1 n ( n 1 n)2 2n 1 2 nn 1 ,
n1 n
y n 1 n ( n 1 n)2 2n 1 2 nn 1 ,
x
1
2
0
没有实数解会产生增根判断
增根是 x=3 或 x=-2,再把增根 x=3 或 x=-2 代入整式方程即可求出 m 的值.
【详解】
解:方程
xm3 x2 x 6
x
1
2
0
变形为
xm3 (x 3)(x 2)
x
1
2
0
,
方程两边同时乘以 (x 3)(x 2) 去分母得:x+m+3+x-3=0;
数学八年级上册 分式填空选择(提升篇)(Word 版 含解析)
一、八年级数学分式填空题(难)
1.当 m
___________________时,关于
x
的分式方程
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
无解
【答案】m=1、m=-4 或 m=6.
【解析】
【分析】
方程两边都乘以(x+2)(x-2)把分式方程化为整式方程,当分式方程有增根或分式方程
【解析】
【分析】
利用 3a 2b ,在 a b 中,将 b 用 a 表示,约掉 a 得到结果. a
【详解】
∵ 3a 2b ,∴ b= 3a 代入 a b 得:
2
a
a
3a 2
1
a
2
故答案为: 1 2
【点睛】
本题考查分式的运算,解题关键是运用已知字母间的关系,将分式中的字母简化,以至可
约分求得.
a 4 a 2 解方程组①得, b 2 或 b 4 ;
解方程组②得, a b 0 ;
解方程组③得,此方程组无解;
解方程组④得,此方程组无解;
解方程组⑤得,无整数解;
a 1 a 2 解方程组⑥得, b 2 或 b 1
a 2 解方程组⑦得, b 2
解方程组⑧得,无整数解;
a 4 a 1 将求出的解代入原方程, b 2 或 b 2 是原方程的解
(x-3)+1,再解这个整式方程求得 x=2,然后把 x=2 代入 x-3≠0,检验出 x=2 是原分式方程
的解即可.
故答案为:x=2.
点睛:解分式方程的步骤为:
1、确定最简公分母;
2、方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;
3、解整式方程;
4、代入检验,确定是否为分式方程的解.
10.满足 a
10b a2 b2
整理得:2x+m=0
∵关于
x
的分式方程
xm3 x2 x 6
x
1
2
0 没有实数解.
∴分式方程有增根 x=3 或 x=-2.
把 x=3 和 x=-2 分别代入 2x+m=0 中
得 m=-6 或 m=4.
【点睛】
分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行:①根据最简公分母确定增根;②化分式
方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.但也要注意,有时分式
5,b
10a a2 b2
4 的整数对 a,b 的组数为 _________________ ;
【答案】2
【解析】
【分析】
将两式联立组成方程组,先将两式相减,再根据题意 a、b 均为整数,得出新的方程组求出
满足条件的解,再数出满足条件的个数即可.
【详解】
解:
a
b
10b a2 b2
10a a2 b2
方程转化成的整式方程本身没有实数根,也是导致分式方程没有实数根的一种情况,所以
要考虑全面,免得漏解.
4.计算:
x
1 x
1
x
1
1
x
2
x
1
2
x
3
x
1
2018
x
2019
______________
__.
2019
【答案】 x x 2019
【解析】 【分析】 利用裂项法先将每个分式化简,再将结果相加即可. 【详解】
5① 4②
由①-②得
a
b
10b a
a2 b2
1
10a b
a b 1 a2 b2 0
去分母,并整理得
a b 1a2 b2 10a b 0
a b 1a2 b2 10a b 1 10
a b 1 a2 b2 10 10
因为 a, b 为整数,所以有
①
a a
b 11 2 b2 10
所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2) 故答案为:2. 【点睛】 本题考查了分式方程的整数解的特殊解法,认真审题,弄清题意是解决本题的关键.
二、八年级数学分式解答题压轴题(难)
11.某市为了做好“全国文明城市”验收工作,计划对市区 S 米长的道路进行改造,现安
排甲、乙两个工程队进行施工.
(1)已知甲工程队改造 360 米的道路与乙工程队改造 300 米的道路所用时间相同.若甲工
答:甲工程队每天道路的长度为 180 米,乙工程队每天道路的长度为 150 米;
(2)设方案一所用时间为: t1
1s 2 a
1s 2 b
(a b)s 2ab
,
方案二所用时间为 t2
,则
1 2
t2a
1 2
t2b
s
, t2
2s ab
,
∴ a b S 2 S (a b)2 S , 2ab a b 2ab(a b)
【分析】
(1)直接把分子变形为 3(x-1)+10 解答即可;
(2)由分母为-x2+1,可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b,按照题意,求出 a 和 b 的值,即可把
根据上述描述,请你判断哪种改造方案所用时间少?并说明理由.
【答案】(1)甲工程队每天道路的长度为 180 米,乙工程队每天道路的长度为 150 米;
(2)方案二所用的时间少
【解析】
【分析】
(1)设乙工程队每天道路的长度为 x 米,根据“甲工程队改造 360 米的道路与乙工程队改
造 300 米的道路所用时间相同”,列出分式方程,即可求解;
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3
x 2018 x 2019
=1 1 x x 2019
2019
= x x 2019 .
【点睛】 此题考察分式的混合运算,运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.
5.若 3a 2b ,则 a b 的值为____________ a
【答案】 1 2
2)
1
x
2
1 x2 1
这样,分式
x3
2x2 x x2 1
3
被拆分成了一个整式
x
2
与一个分式
1 x2
1
的和
解答:(1)将分式 3x 7 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式 x 1
(2)求出 x4 6x2 8 的最小值. x2 1
【答案】(1)3+ 10 ;(2)8 x 1
【解析】
∵ 分式方程 m 3 1的解为正数, x 1 1 x
∴ x=m-2>0 且 x-1≠0, 即 m-2>0 且 m-2-1≠0, ∴ m>2 且 m≠3, 故答案为 m>2 且 m≠3.
9.方程
的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】
试题分析:此题是分式方程的解法问题,先把方程两边同乘以 x-3,化为整式方程为 2-x=
解得, n 3 ,
故答案为 3. 【点睛】 考查的是分式的化简求值、完全平方公式,掌握分式的分母有理化的一般步骤是解题的关 键.
3.当
m=
__________
时,关于
x
的分式方程
xm3 x2 x 6
x
1
2
0
没有实数解.
【答案】4 或-6
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程,根据方程
xm3 x2 x 6
∵ a b , a 0,b 0 ,
∴ a b2 0 ,
∴
ab 2ab
S
a
2
b
S
0
,即:
t1
t2
,
∴方案二所用的时间少.
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则,找出等量关系,列分式方程,掌
握分式的通分,是解题的关键.
12.阅读下面材料并解答问题
材料:将分式 x3 2x2 x 3 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. x2 1
程队每天比乙工程队多改造 30 米,求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
(2)若甲工程队每天可以改造 a 米道路,乙工程队每天可以改造 b 米道路,(其中
a b ).现在有两种施工改造方案:
方案一:前 1 S 米的道路由甲工程队改造,后 1 S 米的道路由乙工程队改造;
2
2
方案二:完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造,后一半时间由乙工程队改造.
n1 n xy 1,
10x 2 10y2 12xy 90 201810x 2 10y2 12 90 201810x 2 10y2 1940x 2 y2 194x 2 2xy y2 194 2 (x y)2 196 , x y 14
则 2n 1 2 nn 1 2n 1 2 nn 1 14 ,
化成的整式方程无解时原分式方程无解,根据这两种情形即可计算出 m 的值.
【详解】
解:方程两边都乘以(x+2)(x-2)去分母得,
2(x+2)+mx=3(x-2),
整理得(1-m)x=10,
∴当 m=1 时,此整式方程无解,所以原分式方程也无解.
又当原分式方程有增根时,分式方程也无解,
∴当 x=2 或-2 时原分式方程无解,
∵ 1 1 1 , x(x 1) x x 1
1
11
(x 1)(x 2) x 1 x 2
1
1 1
(x 2)(x 3) x 2 x 3
……
1
11
(x 2018)(x 2019) x 2018 x 2019
∴原式= (1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
B
,
∵
x
3x
1
4
x
2
=
A x 1
+
x
B
2
,
A B 3 ∴ 2A B 4 ,
解得:
A B
1 2,故答案来自 1.【点睛】本题考查了分式的加减法运算,熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于 A、B
的方程组是解本题的关键.
7.若 x y y 2 0 ,则 xy-3 的值为
【答案】 1 2
【解析】 【分析】 根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值,代入所求代数式计算即可. 【详解】
∵ x y y2 0,
x y 0
∴{
,
y20
x 2
解得
y
2
,
∴ xy-3=22-3= 1 , 2
故答案为 1 . 2
8.关于 x 的分式方程 m 3 1的解为正数,则 m 的取值范围是___________. x 1 1 x
【答案】 m 2?且 m 3.
【解析】 【分析】 方程两边同乘以 x-1,化为整数方程,求得 x,再列不等式得出 m 的取值范围. 【详解】 方程两边同乘以 x-1,得,m-3=x-1, 解得 x=m-2,
∴2(1-m)=10 或-2(1-m)=10,
解得:m=-4 或 m=6,
∴当
m=1、m=-4
或
m=6
时,关于
x
的方程
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
无解.
【点睛】
本题考查了分式方程的无解条件.分式方程无解有两种情形:一是分式方程有增根;二是分
式方程化成的整式方程无解.
2.已知 x n 1 n , y n 1 n (n 为正整数 ) ,则当 n ______时,
(2)根据题意,分别表示出两种方案所用的时间,再作差比较大小,即可得到结论.
【详解】
(1)设乙工程队每天道路的长度为 x 米,则甲工程队每天道路的长度为 x 30 米,
根据题意,得: 360 300 , x 30 x
解得: x 150 ,
检验,当 x 150 时, x x 30 0,
∴原分式方程的解为: x 150 , x 30 180 ,
10
②
a b 1 -1 a2 b2 10
-10
③
a b 1 10 a2 b2 10
1
④
a b 1 -10 a2 b2 10
-1
a b 1 2
a b 1 -2
a b 1 -5
a b 1 5
⑤ a2 b2 10 5 ⑥ a2 b2 10 -5 ⑦ a2 b2 10 -2 ⑧ a2 b2 10 2
6.已知
(x
3x 4 1)(x
2)
=
x
A 1
+
x
B
2
,则实数
A=_____.
【答案】1
【解析】
【分析】先计算出
A x 1
x
B
2
A
Bx2A x 1 x 2
B
,再根据已知等式得出
A、B
的方
程组,解之可得.
【详解】
A x 1
x
B 2
Ax 2 x 1 x 2
x
B x 1 1 x 2
A
Bx2A x 1x 2
则 x3 2x2 x 3 x3 ax2 x a b
∵对任意 x 上述等式均成立,
∴ a 2且 a b 3,∴ a 2 , b 1
∴
x3
2x2 x x2 1
3
x2
1 (x x2 1
n1 n
n1 n
10x 2 10y2 12xy 90 2018 .
【答案】3
【解析】
【分析】
根据分式的分母有理化把 x、y 化简,利用完全平方公式把原式变形,计算即可.
【详解】
解: x n 1 n ( n 1 n)2 2n 1 2 nn 1 ,
n1 n
y n 1 n ( n 1 n)2 2n 1 2 nn 1 ,
x
1
2
0
没有实数解会产生增根判断
增根是 x=3 或 x=-2,再把增根 x=3 或 x=-2 代入整式方程即可求出 m 的值.
【详解】
解:方程
xm3 x2 x 6
x
1
2
0
变形为
xm3 (x 3)(x 2)
x
1
2
0
,
方程两边同时乘以 (x 3)(x 2) 去分母得:x+m+3+x-3=0;
数学八年级上册 分式填空选择(提升篇)(Word 版 含解析)
一、八年级数学分式填空题(难)
1.当 m
___________________时,关于
x
的分式方程
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
无解
【答案】m=1、m=-4 或 m=6.
【解析】
【分析】
方程两边都乘以(x+2)(x-2)把分式方程化为整式方程,当分式方程有增根或分式方程
【解析】
【分析】
利用 3a 2b ,在 a b 中,将 b 用 a 表示,约掉 a 得到结果. a
【详解】
∵ 3a 2b ,∴ b= 3a 代入 a b 得:
2
a
a
3a 2
1
a
2
故答案为: 1 2
【点睛】
本题考查分式的运算,解题关键是运用已知字母间的关系,将分式中的字母简化,以至可
约分求得.
a 4 a 2 解方程组①得, b 2 或 b 4 ;
解方程组②得, a b 0 ;
解方程组③得,此方程组无解;
解方程组④得,此方程组无解;
解方程组⑤得,无整数解;
a 1 a 2 解方程组⑥得, b 2 或 b 1
a 2 解方程组⑦得, b 2
解方程组⑧得,无整数解;
a 4 a 1 将求出的解代入原方程, b 2 或 b 2 是原方程的解
(x-3)+1,再解这个整式方程求得 x=2,然后把 x=2 代入 x-3≠0,检验出 x=2 是原分式方程
的解即可.
故答案为:x=2.
点睛:解分式方程的步骤为:
1、确定最简公分母;
2、方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;
3、解整式方程;
4、代入检验,确定是否为分式方程的解.
10.满足 a
10b a2 b2
整理得:2x+m=0
∵关于
x
的分式方程
xm3 x2 x 6
x
1
2
0 没有实数解.
∴分式方程有增根 x=3 或 x=-2.
把 x=3 和 x=-2 分别代入 2x+m=0 中
得 m=-6 或 m=4.
【点睛】
分式方程无解问题或增根问题可按如下步骤进行:①根据最简公分母确定增根;②化分式
方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.但也要注意,有时分式
5,b
10a a2 b2
4 的整数对 a,b 的组数为 _________________ ;
【答案】2
【解析】
【分析】
将两式联立组成方程组,先将两式相减,再根据题意 a、b 均为整数,得出新的方程组求出
满足条件的解,再数出满足条件的个数即可.
【详解】
解:
a
b
10b a2 b2
10a a2 b2
方程转化成的整式方程本身没有实数根,也是导致分式方程没有实数根的一种情况,所以
要考虑全面,免得漏解.
4.计算:
x
1 x
1
x
1
1
x
2
x
1
2
x
3
x
1
2018
x
2019
______________
__.
2019
【答案】 x x 2019
【解析】 【分析】 利用裂项法先将每个分式化简,再将结果相加即可. 【详解】
5① 4②
由①-②得
a
b
10b a
a2 b2
1
10a b
a b 1 a2 b2 0
去分母,并整理得
a b 1a2 b2 10a b 0
a b 1a2 b2 10a b 1 10
a b 1 a2 b2 10 10
因为 a, b 为整数,所以有
①
a a
b 11 2 b2 10
所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2) 故答案为:2. 【点睛】 本题考查了分式方程的整数解的特殊解法,认真审题,弄清题意是解决本题的关键.
二、八年级数学分式解答题压轴题(难)
11.某市为了做好“全国文明城市”验收工作,计划对市区 S 米长的道路进行改造,现安
排甲、乙两个工程队进行施工.
(1)已知甲工程队改造 360 米的道路与乙工程队改造 300 米的道路所用时间相同.若甲工
答:甲工程队每天道路的长度为 180 米,乙工程队每天道路的长度为 150 米;
(2)设方案一所用时间为: t1
1s 2 a
1s 2 b
(a b)s 2ab
,
方案二所用时间为 t2
,则
1 2
t2a
1 2
t2b
s
, t2
2s ab
,
∴ a b S 2 S (a b)2 S , 2ab a b 2ab(a b)
【分析】
(1)直接把分子变形为 3(x-1)+10 解答即可;
(2)由分母为-x2+1,可设-x4-6x2+8=(-x2+1)(x2+a)+b,按照题意,求出 a 和 b 的值,即可把
根据上述描述,请你判断哪种改造方案所用时间少?并说明理由.
【答案】(1)甲工程队每天道路的长度为 180 米,乙工程队每天道路的长度为 150 米;
(2)方案二所用的时间少
【解析】
【分析】
(1)设乙工程队每天道路的长度为 x 米,根据“甲工程队改造 360 米的道路与乙工程队改
造 300 米的道路所用时间相同”,列出分式方程,即可求解;
x x 1 x 1 x 2 x 2 x 3
x 2018 x 2019
=1 1 x x 2019
2019
= x x 2019 .
【点睛】 此题考察分式的混合运算,运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.
5.若 3a 2b ,则 a b 的值为____________ a
【答案】 1 2
2)
1
x
2
1 x2 1
这样,分式
x3
2x2 x x2 1
3
被拆分成了一个整式
x
2
与一个分式
1 x2
1
的和
解答:(1)将分式 3x 7 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式 x 1
(2)求出 x4 6x2 8 的最小值. x2 1
【答案】(1)3+ 10 ;(2)8 x 1
【解析】
∵ 分式方程 m 3 1的解为正数, x 1 1 x
∴ x=m-2>0 且 x-1≠0, 即 m-2>0 且 m-2-1≠0, ∴ m>2 且 m≠3, 故答案为 m>2 且 m≠3.
9.方程
的解是_____________.
【答案】x=2
【解析】
试题分析:此题是分式方程的解法问题,先把方程两边同乘以 x-3,化为整式方程为 2-x=
解得, n 3 ,
故答案为 3. 【点睛】 考查的是分式的化简求值、完全平方公式,掌握分式的分母有理化的一般步骤是解题的关 键.
3.当
m=
__________
时,关于
x
的分式方程
xm3 x2 x 6
x
1
2
0
没有实数解.
【答案】4 或-6
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程,根据方程
xm3 x2 x 6
∵ a b , a 0,b 0 ,
∴ a b2 0 ,
∴
ab 2ab
S
a
2
b
S
0
,即:
t1
t2
,
∴方案二所用的时间少.
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则,找出等量关系,列分式方程,掌
握分式的通分,是解题的关键.
12.阅读下面材料并解答问题
材料:将分式 x3 2x2 x 3 拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. x2 1
程队每天比乙工程队多改造 30 米,求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
(2)若甲工程队每天可以改造 a 米道路,乙工程队每天可以改造 b 米道路,(其中
a b ).现在有两种施工改造方案:
方案一:前 1 S 米的道路由甲工程队改造,后 1 S 米的道路由乙工程队改造;
2
2
方案二:完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造,后一半时间由乙工程队改造.
n1 n xy 1,
10x 2 10y2 12xy 90 201810x 2 10y2 12 90 201810x 2 10y2 1940x 2 y2 194x 2 2xy y2 194 2 (x y)2 196 , x y 14
则 2n 1 2 nn 1 2n 1 2 nn 1 14 ,
化成的整式方程无解时原分式方程无解,根据这两种情形即可计算出 m 的值.
【详解】
解:方程两边都乘以(x+2)(x-2)去分母得,
2(x+2)+mx=3(x-2),
整理得(1-m)x=10,
∴当 m=1 时,此整式方程无解,所以原分式方程也无解.
又当原分式方程有增根时,分式方程也无解,
∴当 x=2 或-2 时原分式方程无解,
∵ 1 1 1 , x(x 1) x x 1
1
11
(x 1)(x 2) x 1 x 2
1
1 1
(x 2)(x 3) x 2 x 3
……
1
11
(x 2018)(x 2019) x 2018 x 2019
∴原式= (1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )
B
,
∵
x
3x
1
4
x
2
=
A x 1
+
x
B
2
,
A B 3 ∴ 2A B 4 ,
解得:
A B
1 2,故答案来自 1.【点睛】本题考查了分式的加减法运算,熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于 A、B
的方程组是解本题的关键.
7.若 x y y 2 0 ,则 xy-3 的值为
【答案】 1 2
【解析】 【分析】 根据非负数的性质列出方程求出 x、y 的值,代入所求代数式计算即可. 【详解】
∵ x y y2 0,
x y 0
∴{
,
y20
x 2
解得
y
2
,
∴ xy-3=22-3= 1 , 2
故答案为 1 . 2
8.关于 x 的分式方程 m 3 1的解为正数,则 m 的取值范围是___________. x 1 1 x
【答案】 m 2?且 m 3.
【解析】 【分析】 方程两边同乘以 x-1,化为整数方程,求得 x,再列不等式得出 m 的取值范围. 【详解】 方程两边同乘以 x-1,得,m-3=x-1, 解得 x=m-2,
∴2(1-m)=10 或-2(1-m)=10,
解得:m=-4 或 m=6,
∴当
m=1、m=-4
或
m=6
时,关于
x
的方程
x
2
2
mx x2 4
x
3
2
无解.
【点睛】
本题考查了分式方程的无解条件.分式方程无解有两种情形:一是分式方程有增根;二是分
式方程化成的整式方程无解.
2.已知 x n 1 n , y n 1 n (n 为正整数 ) ,则当 n ______时,
(2)根据题意,分别表示出两种方案所用的时间,再作差比较大小,即可得到结论.
【详解】
(1)设乙工程队每天道路的长度为 x 米,则甲工程队每天道路的长度为 x 30 米,
根据题意,得: 360 300 , x 30 x
解得: x 150 ,
检验,当 x 150 时, x x 30 0,
∴原分式方程的解为: x 150 , x 30 180 ,
10
②
a b 1 -1 a2 b2 10
-10
③
a b 1 10 a2 b2 10
1
④
a b 1 -10 a2 b2 10
-1
a b 1 2
a b 1 -2
a b 1 -5
a b 1 5
⑤ a2 b2 10 5 ⑥ a2 b2 10 -5 ⑦ a2 b2 10 -2 ⑧ a2 b2 10 2
6.已知
(x
3x 4 1)(x
2)
=
x
A 1
+
x
B
2
,则实数
A=_____.
【答案】1
【解析】
【分析】先计算出
A x 1
x
B
2
A
Bx2A x 1 x 2
B
,再根据已知等式得出
A、B
的方
程组,解之可得.
【详解】
A x 1
x
B 2
Ax 2 x 1 x 2
x
B x 1 1 x 2
A
Bx2A x 1x 2