高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列(1)学案 新人教A版必修5(2021年最新整理)

2017-2018学年高中数学第二章数列2.2 等差数列（1）学案新人教A版必修5
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2.2 等差数列(1)
学习目标1。

理解等差数列的定义。

2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3。

掌握等差中项的概念,深化认识并能运用．
知识点一等差数列的概念
思考给出以下三个数列：
(1)0，5,10,15,20;
(2)4,4，4，4，…；
（3)18，15。

5，13,10。

5,8,5.5。

它们有什么共同的特征？
答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数．
梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．
知识点二等差中项的概念
思考观察所给的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1,5；（3）a,b；（4）0,0。

答案插入的数分别为3,2,错误!,0。

梳理如果三个数a,A，b组成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!。

知识点三等差数列的通项公式
思考对于等差数列2，4，6，8，…,有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a
＋2×2；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋3×2.
1
试猜想a n＝a1＋( ）×2。

答案n－1
梳理若一个等差数列{a n},首项是a1,公差为d，则a n＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法证明．
类型一等差数列的概念
例1 判断下列数列是不是等差数列?
(1)9，7,5,3,…,－2n＋11，…；
（2)－1,11,23，35，…,12n－13，…;
（3)1,2,1，2，…；
（4)1,2，4，6,8，10，…;
(5)a，a，a，a,a,…。

解由等差数列的定义得(1),（2），（5)为等差数列,(3)，(4）不是等差数列．
反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1 数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5,则此数列（)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
答案A
解析∵a n＋1－a n＝2（n＋1）＋5－(2n＋5）＝2,
∴｛a n}是公差为2的等差数列．
类型二等差中项
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
解∵－1,a，b，c,7成等差数列,
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝错误!＝3。

又a是－1与3的等差中项，∴a＝错误!＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋7
2
＝5.
∴该数列为－1，1，3,5，7。

反思与感悟在等差数列{a n}中,由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1（n≥2，n∈N*),即a n＝错误!，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8。

又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10。

两式相加,得m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为错误!＝3。

类型三等差数列通项公式的求法及应用
命题角度1 基本量（a,d)
例3 在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式a n。

解由题意可得错误!
解得d＝2，a1＝2.
∴a n＝2＋(n－1）×2＝2n。

反思与感悟像本例中根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法,称为方程思想．
跟踪训练3 (1）求等差数列8,5,2,…的第20项；
(2）判断－401是不是等差数列－5，－9，－13,…的项,如果是，是第几项？
解(1）由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1）×（－3)＝－49.
（2）由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1）×（－4)＝－4n－1。

由题意，令－401＝－4n－1,得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
命题角度2 等差数列的实际应用
例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km（不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km，乘客需要支付1。

2元．所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1。

2,
那么当出租车行至14 km处时，n＝11,
此时需要支付车费a11＝11。

2＋（11－1）×1.2＝23.2（元)．
即需要支付车费23.2元．
反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法
解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
跟踪训练4 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17。

5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．
解用｛a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列,则a1＝8。

5，a5＝－17。

5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，
解得d＝－6.5,
∴a n＝15－6.5n.
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km，4 km,8 km高度的气温分别为2℃,－11℃，
－37℃。

1．已知等差数列{a n｝的通项公式a n＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3
C．－2 D．－3
答案C
解析由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2。

2．已知在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于（)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
答案B
解析因为A，B，C成等差数列，
所以B是A,C的等差中项,
则有A＋C＝2B，
又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，从而B＝60°。

3．等差数列{a n}中，已知a1＝错误!,a2＋a5＝4，a n＝33，求n的值．
解∵a2＋a5＝(a1＋d）＋（a1＋4d）＝2a1＋5d＝4，
∴d＝错误!。

∴a n＝错误!＋（n－1)×错误!＝错误!n－错误!.
由a n＝错误!n－错误!＝33，
解得n＝50.
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法:
(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*）⇔{a n}是等差数列;
(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2（n∈N＊)⇔｛a n}是等差数列；
(3）a n＝kn＋b(k，b为常数,n∈N＊)⇔{a n}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d,就可以求出通项公式,反过来,在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量．
40分钟课时作业
一、选择题
1．若a≠b，则等差数列a，x1，x2，b的公差是( )
A．b－a B。

错误!
C。

b－a
3
D.错误!
答案C
解析由等差数列的通项公式，
得b＝a＋(4－1)d，
所以d＝错误!.
2．已知等差数列｛a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于( ) A．15 B．22
C．7 D．29
答案A
解析设｛a n}的首项为a1，公差为d，
根据题意得错误!
解得a1＝47,d＝－8.
所以a5＝47＋（5－1)×（－8）＝15.
3．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ）
A．第7项B．第8项
C．第9项D．第10项
答案B
解析∵a1＝20,d＝－3,
∴a n＝20＋（n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2＞0,a8＝－1＜0.
4．若5，x,y,z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29
C．39 D．52
答案C
解析∵5，x，y，z,21成等差数列，
∴y既是5和21的等差中项也是x和z的等差中项．
∴5＋21＝2y，
∴y＝13,x＋z＝2y＝26，
∴x＋y＋z＝39.
5．若数列｛a n}满足3a n＋1＝3a n＋1，则数列是（)
A．公差为1的等差数列
B．公差为错误!的等差数列
C．公差为－错误!的等差数列
D．不是等差数列
答案B
解析由3a n＋1＝3a n＋1，
得3a n＋1－3a n＝1，
即a n＋1－a n＝错误!,
所以数列{a n}是公差为错误!的等差数列．
6．已知等差数列{a n｝中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是（) A．15 B．30
C．31 D．64
答案A
解析由错误!
得错误!
∴a12＝a1＋11d＝－错误!＋11×错误!＝15。

二、填空题
7.错误!－1与错误!＋1的等差中项是________．
答案2
解析设等差中项为a，
则有a＝错误!＝错误!。

8．若一个等差数列的前三项为a，2a－1,3－a,则这个数列的通项公式为________．
答案a n＝错误!＋1,n∈N*
解析∵a＋(3－a)＝2(2a－1）,
∴a＝错误!.
∴这个等差数列的前三项依次为错误!，错误!，错误!，
∴d＝错误!，a n＝错误!＋（n－1）×错误!＝错误!＋1，n∈N*.
9．若{a n｝是等差数列，a15＝8，a60＝20,则a75＝________.
答案24
解析设{a n}的公差为d.
由题意知错误!
解得错误!
所以a75＝a1＋74d＝错误!＋74×错误!＝24.
10．首项为－24的等差数列,从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．答案错误!<d≤3
解析设a n＝－24＋（n－1)d，
由错误!
解不等式得错误!<d≤3.
三、解答题
11．已知数列{a n｝满足a1＝4，a n＝4－错误!（n≥2，n∈N*)，
令b n＝错误!.
（1)求证：数列｛b n｝是等差数列;
（2)求数列{a n｝的通项公式．
(1)证明因为a n＝4－错误!(n≥2）,
所以a n＋1－2＝2－错误!＝错误!(n≥1），
所以错误!＝错误!＝错误!＋错误!(n≥1)，
所以错误!－错误!＝错误!(n≥1)，
即b n＋1－b n＝错误!(n≥1）．
所以数列｛b n｝是等差数列．
(2）解由（1)知错误!是公差为错误!的等差数列，
所以错误!＝错误!＋(n－1）·错误!＝错误!,
解得a n＝2＋错误!。

所以数列{a n｝的通项公式为a n＝2＋错误!.
12．甲虫是行动较快的昆虫之一,下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
（1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2）利用建立的模型计算,甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间?
解(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9。

8,所以该模型是一个等差数列模型．因为a1＝9。

8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2）当t＝1 min＝60 s时，s＝9。

8t＝9。

8×60＝588 cm.
当s＝49 cm时,t＝
s
9。

8
＝
49
9.8
＝5 s.
13．已知等差数列｛a n}：3，7，11,15,…。

(1)135,4m＋19(m∈N*）是｛a n｝中的项吗？试说明理由；
(2)若a p，a q（p，q∈N＊）是数列｛a n}中的项,则2a p＋3a q是数列｛a n}中的项吗？并说明你的理由．
解a1＝3，d＝4，a n＝a1＋(n－1）d＝4n－1。

（1)令a n＝4n－1＝135，∴n＝34,
∴135是数列{a n}中的第34项．
令a n＝4n－1＝4m＋19,则n＝m＋5∈N*，
∴4m＋19是数列｛a n}中的第m＋5项．(2)∵a p，a q是数列{a n}中的项，
∴a p＝4p－1，a q＝4q－1。

∴2a p＋3a q＝2(4p－1）＋3(4q－1）
＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，
其中2p＋3q－1∈N＊，
∴2a p＋3a q是数列{a n}中的第2p＋3q－1项．。