电磁场与电磁波第四章静态场分析

f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
g (y ) B 1 s h (yy ) B 2 c h (yy )
|y0 0
(x ,y)|x 0f(x )g (0 ) 0
f (x) 0
kx2
k
2 y
0
kx2 (jy)2 0
g(0) 0
kx2 y2 0
（a）
长度为l,通低频电流 i Ie，j我t 们可以将其
看作一块磁铁，磁体内部有磁流K，磁铁两
Qm Kl
Qm
端分别有磁荷 和 Q ，m 因 Q而m 构成一个磁偶 极子（图b），且有
Qm LI K jLI
对图（c）所示小圆环电流就其远区辐射
（b）
nr IS
场而言，可以等效为图（b）所示磁流元
K j IS
b
U0
解：选定直角坐标系
2
2
x2
2
y2
0
（D域内）
0
(x0,0yb)
边值问题
0
(xa,0yb)
0
(y0,0xa)
U (yb,0xa)
0
分离变量法的前提是假设待求函数有分
离变量形式的解。
(x,y)f(x)g(y)
代入到二维拉氏方程：
g(y)d2dfx(2x)f(x)d2 dgy(2y)0
f1 (x)d2 dfx(2x)g(1y)d2 dgy(2y)0
例
z θ
r
IL
z θ r
Kl
z θ r
IS
E
j0 Il sin e jkr 4 r
H
jk0 Il sin e jkr 4 r
H j40rKlsinejkr Ek40r0ISsinejkr
E
jk0Klsinejkr 4r
H
k02ISsinejkr 4r
教材上总结出了静态场与恒定电场、静电场与 恒定磁场之间的对偶关系。
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
➢若在某一个方向的边界条件是非周期的， 则该方向的解要选双曲函数；
➢若函数与某一坐标无关，则该方向的分离 常数为0。
结论：要满足边界条件
|xa
x0
0,
只有选取：
k x 为实数，k y j y
g (y ) B 1 s h (yy ) B 2 c h (yy )
f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
五、分离变量法（直角坐标系）
分离变量法是一种最经典的微分方程法， 它适用于求解一类具有理想边界条件的典型 边值问题 。其主导思想就是将求解偏微分 方程定解的问题转化为求解常微分方程的问 题。
应用实例
例：图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁
与三壁绝缘且保持电位为
，U 0金属槽截面为正方
形如图示,试求金属槽内电位的分布。
4是一密绕螺线管电感量为l长度为l通低频电流我们可以将其看作一块磁铁磁体内部有磁流k磁铁两端分别有磁荷和因而构成一个磁偶极子图b且有磁流强度对图c所示小圆环电流就其远区辐射场而言可以等效为图b所示磁流元2对偶原理只有电荷电流只有磁荷磁流存在以下对偶关系电荷电流磁荷磁流两个方程组的数学形式完全相同做对偶变换后可有一个方程组得到另一个方程组可由一类边界条件得到另一类边界条件
凡是满足理想导体边界条件的曲
E nˆ
面称为电壁。
r
, H
对于理想磁体（μ=∞），其边
rr EH0
r
r H
nˆ
, Err ຫໍສະໝຸດ H0界条件为：vvv
nnˆˆB D v0mSnˆnˆE H vJ0mS
凡是满足理想磁体边界条件的曲
面称为磁壁。
磁流强度
rr
K sJmgdS —磁流强度
l
图（a）是一密绕螺线管，电感量为L，
J v c E v0
()0
2 0 ——拉普拉斯方程
3.恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程
vv v v
Ñl H dl S Jc dS
vv
ÑS BdS 0
vv
B H
vv
H v
Jc
B 0
vv BA
B v H vJ v c
——恒定磁场是无散有旋场。
A vJvc
v v vv
A ( A ) 2 A J c
静态场分析
一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法
一、静态场特性
1.静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随
时间发生变化的场。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变 化的电荷产生的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生 的电场。
2.点电荷对接地导体球的镜像
例：一半径为a的导体球，外壳接地一点电荷q1 置于距球心距离d处，求球外电位分布。
zq1 r1 p(x,y,z) 设q2位于距球心距b处离，
d b
s1 r2
则球外一点的电位：
q2
r
1 （q1 q2)
y
40 r1 r2
x s2
在球面上取两个特殊 点s的 1,s2, 它们的电位均0为 .所以得：
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
kx2
1 g( y)
d 2 g( y) dy2
ky2
kx2 ky2 0
分离常数
kx2
k
2 y
0
k
x 为实数， k
为虚数。
y
k k
为虚数，
x
为实数。
y
kx 0, ky 0,
当 k x 取不同形式的值时，f ( x ) 的解：
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程
J rmjm0
电磁场的边界条件也做相应的修改
n ˆ(D v v 1D v v 2)S v
n ˆ (v E 1 v E 2) Jm
n ˆ(B 1B 2)m S vv v
对于理想导体（σ=∞），其边
界条件为：v
v
nˆDvS
nˆE0 vv
nˆB0 nˆHJS
n ˆ(H 1H 2 r )JS
q q 0 z0 40r 40r
所以 镜像电荷为-q，放在和q对称的地方。
图 平面导体的镜像
q q 40r1 40r2
4q0{[x2y2 1 (zh)2]1 2[x2y2 1 (zh)2]1 2}
➢对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于 边界对称的位置上，且两者大小相，符号相反。
➢对于两相交平面，角域夹角为π/n，n为整数时， 有(2n－1)个镜像电荷。
a1 b2
必然满足拉普拉斯方程。 利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解 为较简单问题的组合，便于求解。
3.惟一性定理 （1）边值问题的分类
第一类 边值问题
第二类 边值问题
第三类 边值问题
S
f1(s)
狄里赫利问题
n
S
f2 (s)
诺伊曼问题
()
n S
f3(s)
混合边值问题
（2）惟一性定理
惟一性定理：在给定边界条件下，泊松 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。
为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁 荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到电荷、磁 荷、电流和磁流。
r
mmsM rggM nr
r Jm
——体磁荷密度 ——面磁荷密度 ——体磁流密度
引入以上等效场源后，Maxwell方程修改
为：
H vJ rcjE r
E v v J rm j H r
Bvm DV
理解
➢ 静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不 多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么 用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边 值问题的解是不是独一无二的？ 这就是边值问 题的惟一性问题。
➢ 惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表明 只要给出场域内的位函数分布及边界面上的函数 值，则场分布是唯一确定的。
kx2
k
为实数，
x
f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
kx j x , f(x ) B 1 s h (x x ) B 2 c h (x x )
k x 0 , f(x)C1xC2
➢若在某一个方向的边界条件周期的，则该 坐标的分离常数必为实数，其解要选三角 函数；
边值问题研究方法
解析法
计算法
边值问题 研究方法
实验法 作图法
数值法
实测法 模拟法 定性 定量
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
• • • •
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
三、静态场的重要原理和定理
1.对偶原理 （1）场源的概念
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的 磁场，亦称为静磁场。
2.静态场的麦克斯韦方程组
D v0, B v0,V 0
t t t
vv v v
vv
Ñ l H
v
dl v
S
Jc dS
H v
Jc
Ñ l E d l 0
vv
E 0 v
Ñ S D d S V V d V
vv
Ñ S B d S 0
l
Kl jIS
Qm
IS l
Qml IS
（c）
（2）对偶原理
只有电荷、电流
H vE v J rc j j H rE r
v vB0
DV
存在以下对偶关系
只有磁荷、磁流
H vjE r
E v vJ rm j H r
Bvm
D0
电荷、电流 r E
r H r J
磁荷、r 磁流
H
r
两个方程组的数学形
vv
Ñ S J c d S 0
D v
V
B 0
v
Jc 0
静态场与时变场的最本质区别：静态场中的 电场和磁场是彼此独立存在的。
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
静电场基本方程
vv
Ñl Edl 0
vv
ÑS DdS V VdV
v
vv
DE
E 0 v
D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
B2 0
kx y
g(y)B1sh(na y)
(x ,y ) f(x )g (y ) A 1 B 1 s in (n ax ) s h (n ay )
(x ,y ) f(x )g (y ) D s in (nx )s h (ny ) aa
(x,y)n 1D nsin(n a x)sh(n a y)
库伦规范
v A0
vv
2AJc ——矢量泊松方程
vv
2AJc
分解
2Ax Jx 2Ay Jy
v Jc 0
2Az Jz
v
2A0 ——矢量拉普拉斯方程
小结：两类静态场问题：
➢分布型问题：已知场源，直接计算空间各点场强和位 函数；
➢边值型问题：给定边界条件，求有界空间的场分布。
静态场的边值问题，可归结为在给定边界条 件下，求解拉氏方程和泊松方程。
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
1（q1 q2 )0
40 da ab
410（d＋ q1aa＋ q2b)0
从而求得 ba2 d
q2 d aq1
另外，r1，r2 可以表示为
r1 r2 d2 2rdcos r2 r2 b2 2rbcos
➢镜像电荷的量值与原电荷一般不相等；
➢导体球在靠近点电荷一边感应密度大，而 远离的一边密度小，同时考虑到球上电荷 分布左右对称，所以镜像电荷应位于上半 球内的球心与实际电荷的连线上。
E 式完全相同，做对偶变换
r Jm
后可有一个方程组得到另 一个方程组，可由一类边
m 界条件得到另一类边界条
件。
如果描述两种物理现象的方程具有相同的数 学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的 数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称 为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称 为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量 称为对偶量。
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
恒定电场基本方程
vv
Ñ l E d l 0 vv
Ñ S J c d S 0
vv
Jc E
v E 0
v J 0
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征，
是保守场
v
E
例：图示平板电容器极板之间的电位，哪一个解 答正确？
A、 1
U0 d
x2
B、 2
U0 d
xU0
C、
3
U0 d
x
U0
图 平板电容器外加电源U0
答案：（ C ）
四、镜像法
➢待求区域的电场由分布电荷与边界条件共 同决定；
➢镜像法就是在待求区域之外，用一些假想 的电荷代替场问题的边界；
➢这些假想的电荷称为镜像电荷，大多是一 些点电荷或者线电荷；
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：