课件3：1.3.1 推出与充分条件、必要条件

[思路探索] 解答本题首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定 义下结论，也可用等价命题判断． 解 (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充 要条件． (2)因为：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即綈q⇒綈p，但綈p 綈q，
所以p是q的充分不必要条件．
(3)取A＝120°，B＝30°，p q，又取A＝30°，B＝120°， q p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)因为p：A＝{(1，2)}， q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}， A B，所以p是q的充分不必要条件．
(1)判断p是q的什么条件，主要判断p⇒q及q⇒p两命题 的正确性，若p⇒q真，则p是q成立的充分条件，若q⇒p真，则 p是q成立的必要条件． (2)关于充要条件的判断问题，当不易判断p⇒q真假时，也可 从集合角度入手判断真假，所以结合集合关系理解，对解决与 逻辑有关的问题是大有益处的．
【变式 1】 指出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件(在“充分 不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要 条件”中选一种作答)? (1)p：△ABC 中，b2>a2＋c2，q：△ABC 为钝角三角形； (2)p：△ABC 有两个角相等，q：△ABC 是正三角形； (3)若 a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0.
(3)传递性法 由于逻辑联结符号“⇒”“⇐”“⇔”具有传递性，因此可根 据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所给的两个条件 之间的相互关系．
题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断 【例1】 指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条 件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必 要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
先按充要条件求解，求出 a 的范围后，缩小范围即可
[正解] 错解求的其实是一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有 一个正根和一个负根的充要条件．本题要求的是充分不必要条 件． 由于{a|a<－1} {a|a<0}，故答案应为 C. 答案 C
本题探求的是充分不必要条件，正确区分各种条件的 关系是解题的关键．如若要证“p 是 q 的充要条件”则 p 是条 件，q 是结论；若要证“p 的充要条件是 q”，则 q 是条件，p 是结论，这是易错点．
充分条件、必要条件、充要条件的判断 (1)定义法 若 p⇒q，但 q p，则 p 是 q 的充分而不必要条件； 若 q⇒p，但 p q，则 p 是 q 的必要而不充分条件； 若 p⇒q 且 q⇒p，则 p 是 q 的充要条件； 若 p q 且 q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件．
(2)集合法 首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}； q：B＝{x|q(x)}． 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若B⊆A，则p是q的必要条件； 若A B，则p是q的充分而不必要条件； 若B A，则p是q的必要而不充分条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，B A，则p是q的既不充分也不必要条件．
所以 m≥2，即 x2＋mx＋1＝0 有两个负实根的必要条件是 m≥2. 综上可知，m≥2 是 x2＋mx＋1＝0 有两个负实根的充要条件．
充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明 确充分性是由条件推结论，必要性是由结论推条件，也可以理解 为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命题的逆命 题成立．
p，得 M N.
6分
所以aa－<22≥－12，或aa－≤22>－12⇔32≤a<2 或32<a≤2⇔32≤a≤2,10 分
即所求 a 的取值范围是[32，2].
12 分
【题后反思】 在涉及到求参数的取值范围又与充分、必要条件 有关的问题时，常常借助集合的观点来考虑．注意推出的方向 及推出与子集的关系．
再见
x2＋mx＋1＝0 有实根，设两根为 x1，x2， 由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以 x1，x2 同号． 又 x1＋x2＝－m≤－2<0，所以 x1，x2 同为负数． 即 x2＋mx＋1＝0 有两个负实根的充分条件是 m≥2. (2)必要性：因为 x2＋mx＋1＝0 有两个负实根，设其为 x1，x2， 且 x1x2＝1， 所以Δx1＝＋mx22＝－－4≥m0<，0，即mm≥>02，或m≤－2，
1．命题的结构
在数学中，我们经常遇到“如果 p，则(那么)q”的形式的命题，其 中 p 称为命题的 条件 ，q 称为命题的 结论 ． 2．充分条件与必要条件的定义
当命题“如果 p，则 q”经过推理证明断定是真命题时，我们就说 由 p 可以推出 q，记作 p⇔q ，读作“p 推出 q”． 如果 p 可推出 q，则称 p 是 q 的 充分条件；q 是 p 的 必要条件 ．
第一章 常用逻辑用语 §1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
1.3.1 推出与充分条件、必要条件
【课标要求】 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．会求(判定)某些简单命题的条件关系． 【核心扫描】 1．判断充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 2．证明充要条件和求充要条件．(难点)
[规范解答] 令 M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≤2 － 2(a － 1)x ＋ a(a － 2)≥0} ＝ {x|(x － a)[x － (a － 2)]≥0} ＝
{x|x≤a－2 或 x≥a}，
4分
由已知 p⇒q，且 q
【变式 2】 证明不等式 ax2＋2x＋1>0 恒成立的充要条件是 a>1. 证明 当 a＝0 时，2x＋1>0 不恒成立． 当 a≠0 时，ax2＋2x＋1>0 恒成立
⇔aΔ>＝0 4－4a<0⇔a>1.
所以不等式 ax2＋2x＋1>0 恒成立的充要条件是 a>1.
题型三 充分条件和必要条件的应用 【例 3】 (12 分)已知 p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a －2)≥0，若 p 是 q 的充分不必要条件．求实数 a 的取值范围． 审题指导
解 (1)△ABC 中， ∵b2>a2＋c2，∴cos B＝a2＋2ca2c－b2<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形，反之若△ABC 为钝角三 角形，B 可能为锐角，这时 b2<a2＋c2. ∴p⇒q，q p，故 p 是 q 的充分不必要条件．
(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立， ∴p q，q⇒p，故 p 是 q 的必要不充分条件． (3)若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0，故 p⇒q；若 a＝b＝0，则 a2＋b2 ＝0，即 q⇒p，所以 p 是 q 的充要条件．
试一试：在逻辑推理中 p⇒q，能否表达成以下 5 种说法： ①“若 p，则 q”为真命题；②p 是 q 的充分条件；③q 是 p 的 必要条件；④q 的充分条件是 p；⑤p 的必要条件是 q. 提示 可以．这五种说法表示的逻辑关系是一样的，都能表示 p⇒q，只是说法不同而已．
3．充要条件的定义 一般地，如果 p⇒q，且q⇒p ，则称 p 是 q 的充分且必要条 件，简称 p 是 q 的 充要条件 ，记作 p⇔q ． p 是 q 的充要条件，又常说成 q当且仅当p 或 p与q等价 ． 想一想：p 是 q 的充要条件与 p 的充要条件是 q 有什么区别？ 提示 p 是 q 的充要条件指的是 p⇒q 是充分性，q⇒p 是必要性， 即 p 是条件，q 是结论；p 的充要条件是 q 中，q⇒p 是充分性， p⇒q 是必要性，即 q 是条件，p 是结论．
题型二 充要条件的证明 【例 2】 求证：关于 x 的方程 x2＋mx＋1＝0 有两个负实根的 充要条件是 m≥2. [思路探索] 本题的条件是 p：m≥2，结论是 q：方程 x2＋mx＋1 ＝0 有两个负实根．证明该问题，充分性的证明是 p⇒q，必要 性的证明是 q⇒p.
证明 (1)充分性：因为 m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程
【变式 3】 是否存在实数 p，使 4x＋p<0 是 x2－x－2>0 的充分 条件？如果存在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由． 解 由 x2－x－2>0，解得 x>2 或 x<－1， 令 A＝{x|x>2 或 x<－1}， 由 4x＋p<0，得 B＝{x|x<－p4}， 当 B⊆A 时，即－p4≤－1，即 p≥4， 此时 x<－p4≤－1⇒x2－x－2>0， ∴当 p≥4 时，4x＋p<0 是 x2－x－2>0 的充分条件．
各种条件混淆不清致错
【示例】 一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一
个负根的充分不必要条件是( )．
A．a<0
B．a>0
C．a<－1
D．a<1
[错解] ∵一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负
根．∴Δx1>x02<，0.即41a－<04a>0⇔a<0，故选 A.