高中数学必修2《球的体积和表面积》课件
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教学目标
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
小结
１．初步了解球的表面积、体积的计算公式的获得
2．掌握球的表面积、体积的计算公式的应用
3．掌握球的内接和外切问题，解决此类题型的关键 是找到几何体与球的直径（或半径）间的联系，并 能通过轴截面将空间几何体转换成平面问题来解决
(1)
r
Rl R
O (2)
由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即
1 2 V球
R2
R-
1 R2
3
R
2
3
R3
V球
4
3
R3
R
R
l lR
O
r
Rl R
O
(1)
(2)
球的表面积*（分割）
设想一个球由许多顶点
在球心,底面在球面 上的“准锥体” 组成,这些准锥体 的底面并不是真 的多边形,但只要 其底面足够小,就 可以把它们看成 真正的锥体.
(1)球的截面的性质 ①r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截 面 圆 的 距 离 ， 即 O 到 截 面 圆 心 O′ 的 距 离 ( 如 图)．则r、R、d之间的关系为 ____R_2_＝__d2_＋__r_2 _____. ②球的大圆、小圆
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
提出问题
怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平 面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
实验：排液法测小球的体积（曹冲称象）
它等小
排于球
开
的
液
体
体
积
H
的
h
体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积
球的体积*（祖暅定理P30）
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心 为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.
课后作业
• P28 课后练习1.2.3 • P35复习参考题A组1 B组2
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_:_2__2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:__3 _4.
一、公式应用
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的三
O
分之二；
(2)球的表面积与圆柱的侧面积
相等.
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,
高为2R.
V球
4 R3
3
V圆柱 R2 2R 2 R3
RO
2 V球 3 V圆柱
(2)
S球 4R2
S圆柱侧 2R 2R 4R2
S球 S圆柱侧
练习.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球 形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形 的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 怎样设计最省材料?
分析：解决本题关键是求出半球的体积和圆锥的体积，然后 使得圆锥体积大于等于半球的体积即可.
解：要使冰淇淋不从杯子里溢出，只需使 V圆锥 V半球
V圆锥
1 3
sh
1πR2h 3
1π 42 h 3
16πh 3
V半球
1 2
4πR3 3
2π 43 3
128π 3
由题意得16πh 128π
3
3
即h 8
变式2.在直径为5cm钢球中放入一个正方体,如图，正方体的各个 顶点都在球的球面上，求正方体的表面积和体积。
知识回顾
１．柱体的体积公式 V柱体= s h
２．锥体的体积公式 V锥体=
３．台体的体积公式
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
这些公式推导的依据是什么？
我们生活的几何空间
情境引入 有很多形状是球形
探索火星的航天飞船
未来的家－－火星
球的相关概念
定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所 形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．
球心：形成球的半圆的____圆__心__叫做球的球心． 球的半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径． 球的直径：连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．
半径 球心
思考感悟 体育中用到的球与数学中提到的球一样吗？ 提示：不一样．体育用到的足球、篮球、乒乓球， 它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球， 但是铅球是数学中提到的球，数学中提到的球是 旋转体，是实心的．
1.掌握球的体积、表面积公式及其应用. 2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用
数学的能力. 3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”
与“外切”的几何体问题.
重点难点
教学重点
球的体积和表面积的计算公式的应用
教学难点
解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题
R
R O
R
R O
用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面
设平行于大圆且与大圆的距离为 l 的平面截半球所得圆
面的半径为r,则r R2 l2 ,则截面面积 S1 πr 2 π(R2 l 2 )
设圆大环半径为R小圆半径为 l，面积 S2 πR2 πl2
所以 S1 S2
R
R
l lR
O
s3
s2
R
s1
O
V球
4
3
R3
1 3
RS1
1 3
RS2
1 3
RS3
...
1 3
R(S1
S2
S3
...)
1 3
RS球表
S球表=4πR2
s3 s2
R s1
O
知识要点
球的体积公式：
V 4 πR3 3
思考：球的体积、表面积的 求解由哪个量来决定的？
球半径R
球的表面积公式：
S 4πR2
课堂练习
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的__2_倍.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一 个几何体的表面上.
小结
１．初步了解球的表面积、体积的计算公式的获得
2．掌握球的表面积、体积的计算公式的应用
3．掌握球的内接和外切问题，解决此类题型的关键 是找到几何体与球的直径（或半径）间的联系，并 能通过轴截面将空间几何体转换成平面问题来解决
(1)
r
Rl R
O (2)
由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即
1 2 V球
R2
R-
1 R2
3
R
2
3
R3
V球
4
3
R3
R
R
l lR
O
r
Rl R
O
(1)
(2)
球的表面积*（分割）
设想一个球由许多顶点
在球心,底面在球面 上的“准锥体” 组成,这些准锥体 的底面并不是真 的多边形,但只要 其底面足够小,就 可以把它们看成 真正的锥体.
(1)球的截面的性质 ①r为截面圆半径，R为球的半径，d为球心O到截 面 圆 的 距 离 ， 即 O 到 截 面 圆 心 O′ 的 距 离 ( 如 图)．则r、R、d之间的关系为 ____R_2_＝__d2_＋__r_2 _____. ②球的大圆、小圆
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
提出问题
怎样求球的表面积和体积？ 球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平 面图形，怎样求球的表面积和体积呢？
实验方法
实验：排液法测小球的体积（曹冲称象）
它等小
排于球
开
的
液
体
体
积
H
的
h
体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
积
球的体积*（祖暅定理P30）
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心 为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等.
课后作业
• P28 课后练习1.2.3 • P35复习参考题A组1 B组2
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的__4_倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是__1_:_2__2. 4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是__1_:__3 _4.
一、公式应用
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的三
O
分之二；
(2)球的表面积与圆柱的侧面积
相等.
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,
高为2R.
V球
4 R3
3
V圆柱 R2 2R 2 R3
RO
2 V球 3 V圆柱
(2)
S球 4R2
S圆柱侧 2R 2R 4R2
S球 S圆柱侧
练习.如图所示,一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球 形的冰淇淋,请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形 的冰淇淋的直径,杯子壁厚忽略不计),使冰淇淋融化后不会溢出杯子, 怎样设计最省材料?
分析：解决本题关键是求出半球的体积和圆锥的体积，然后 使得圆锥体积大于等于半球的体积即可.
解：要使冰淇淋不从杯子里溢出，只需使 V圆锥 V半球
V圆锥
1 3
sh
1πR2h 3
1π 42 h 3
16πh 3
V半球
1 2
4πR3 3
2π 43 3
128π 3
由题意得16πh 128π
3
3
即h 8
变式2.在直径为5cm钢球中放入一个正方体,如图，正方体的各个 顶点都在球的球面上，求正方体的表面积和体积。
知识回顾
１．柱体的体积公式 V柱体= s h
２．锥体的体积公式 V锥体=
３．台体的体积公式
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
这些公式推导的依据是什么？
我们生活的几何空间
情境引入 有很多形状是球形
探索火星的航天飞船
未来的家－－火星
球的相关概念
定义：半圆以它的直径所在的直线为轴旋转一周所 形成的曲面围成的几何体叫做球体，简称球．
球心：形成球的半圆的____圆__心__叫做球的球心． 球的半径：连接球面上一点和球心的线段叫球的半径． 球的直径：连接球面上两点且通过球心的线段叫球的直径．
半径 球心
思考感悟 体育中用到的球与数学中提到的球一样吗？ 提示：不一样．体育用到的足球、篮球、乒乓球， 它们都是中空的，所以它们不是数学中提到的球， 但是铅球是数学中提到的球，数学中提到的球是 旋转体，是实心的．