2019年高考数学总复习 第6章 第1节 数列的概念及简单表示法课时跟踪检测 理(含解析)新人教版

2019年高考数学总复习 第6章 第1节 数列的概念及简单表示法课时跟
踪检测 理（含解析）新人教版
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，1
4，…
B ．－1，－2，－3，－4，…
C ．－1，－12，－14，－1
8，…
D ．1，2，3，…，n
解析：选C 选项A 、B 为递减的无穷数列，选项C 为递增的无穷数列，选项D 为有穷数列．故选C.
2．(xx·西安模拟)图1,2,3,4分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，设第n 个图包含a n 个互不重叠的单位正方形，则a n ＝( )
A ．2n 2－1
B ．4n －3
C ．n 2－n ＋1
D ．2n 2－2n ＋1
解析：选D a 2－a 1＝4，a 3－a 2＝8，a 4－a 3＝12，…，a n －a n －1＝4(n －1)，以上各式两边分别相加可得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)
＝1＋4[1＋2＋…＋(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.故选D.
3．在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有的n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2 014
＝( )
A ．1 011
B ．1 012
C ．2 013
D ．2 014
解析：选D 由a 1＝1，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，得到a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝4
3，…，
a n ＋1a n ＝n ＋1n ，上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n ＋1a n ＝a n ＋1＝21×32×4
3×…×n ＋1n ＝n ＋1，故a n ＝n ，所以a 2 014＝2 014.故选D.
4．(xx·北京高考)某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
解析：选C 依题意S n
n 表示图象上的点(n ，S n )与原点连线的斜率，由图象可知，当n ＝9
时，S n
n
最大，故m ＝9.选C.
5．数列{a n }的通项a n ＝n
n 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )
A ．310
B ．19 C.1
19
D.1060
解析：选C 因为a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋
90n ≤1
290，由于n ∈N *，故当n ＝9
或10时，a n ＝1
19
最大，故选C.
6．若数列{a n }满足关系：a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34
21，则a 5等于( )
A.3
2
B.5
3 C.8
5
D.138
解析：选C 借助递推关系，将a 8逆推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝8
5.故选C.
7．(xx·宝鸡检测)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1·a n －1＝a n (n ≥2)，则a 2 013的值等于( )
A ．3
B ．1 C.1
3
D ．32 013
解析：选A 由已知得a n ＋1＝
a n a n －1，a n ＋3＝a n ＋2a n ＋1＝a n ＋1a n ÷a n ＋1＝1a n ，故a n ＋6＝1
a n ＋3＝a n
，所
以，该数列是周期为6的数列，所以a 2 013＝a 3＝3.故选A.
8．(xx·嘉兴质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，则a 10＝( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
解析：选B 因为a n ＋1·a n ＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋
1， 两式相除得a n ＋2a n
＝2.
又a 1a 2＝2，a 1＝1，所以a 2＝2， 所以a 10a 8·a 8a 6·a 6a 4·a 4
a 2
＝24，因此a 10＝25.故选B.
9．在数列－1,0，19，1
8，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项．
解析：10 令n －2
n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，
即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝5
2(舍去)．
∴a 10＝0.08.
即0.08是该数列的第10项．
10．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析：n 2＋1 由条件知a n －a n －1＝2n －1(n ≥2)，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －1)＋[2(n －1)－1]＋…＋(2×3－1)＋(2×2－1)＋2 ＝2[n ＋(n －1)＋…＋3＋2]－(n －1)＋2 ＝2×
n －1
n ＋2
2－(n －1)＋2＝n 2＋1(n ≥2)
当n ＝1时，a 1＝2满足上式． ∴a n ＝n 2＋1(n ∈N *)
11．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p ＋a q ＝a p ＋q ，若a 1＝1
9，a 36＝________.
解析：4 由题意知a 2＝2a 1＝29，a 3＝a 1＋a 2＝39＝1
3
，故a 36＝a 18＋18＝a 18＋a 18＝2a 18＝2a 9
＋9
＝4a 9＝4(a 3＋a 6)＝12a 3＝4.
12．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 的值为________． 解析：8 ∵S n ＝n 2－9n ， ∴n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －10，
a 1＝S 1＝－8适合上式．∴a n ＝2n －10(n ∈N *)． ∴5<2k －10<8.解得7.5<k <9.∴k ＝8.
13．已知函数f (x )＝2x －2－
x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{a n }是递减数列．
(1)解：∵f (x )＝2x －2－
x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ， ∴a n －1
a n ＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n . (2)证明：a n ＋1a n ＝
n ＋1
2＋1－
n ＋1
n 2＋1－n
＝
n 2＋1＋n n ＋1
2＋1＋
n ＋1
<1.
∵a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴数列{a n }是递减数列．
14．(xx·大纲全国高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋2
3a n .
(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．
解：(1)由S 2＝4
3a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.
由S 3＝5
3a 3得，3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，
解得a 3＝3
2(a 1＋a 2)＝6.
(2)由题设知a 1＝1.
当n ≥1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋1
3a n －1
， 整理得
a n a n －1＝n ＋1n －1
(n ≥2)． ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2
a 1·a 1
＝n ＋1n －1·n n －2·n －1n －3·…·53×42×3
1×1
＝
n
n ＋1
2
(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝1满足上式， ∴a n ＝
n n ＋1
2
.
1．数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋sin 2n π2a n ＋4cos 2n π2，则a 9，a 10的大小关系为( ) A ．a 9>a 10 B ．a 9＝a 10 C ．a 9<a 10 D ．大小关系不确定
解析：选C n 为奇数时，a 3＝2a 1＝2，a 5＝2a 3＝22，a 7＝2a 5＝23，a 9＝2a 7＝24； n 为偶数时，a 4＝a 2＋4＝5，a 6＝a 4＋4＝9，a 8＝a 6＋4＝13，a 10＝a 8＋4＝17. 所以a 9<a 10.故选C.
2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则这个数列n ≥2的通项公式是________．
解析：a n ＝
n 2
n －1
2
∵a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，
∴a 1·a 2·…·a n －1＝(n －1)2(n ≥2)． 两式作商，得a n ＝
n 2
n －1
2.
3．(xx·广东六校联考)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，数列第6项a 6＝________；第n 项a n ＝________.
解析：35
n ＋1
n ＋4
2 由题意知：a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，由累加法得：
a n －a 1＝4＋5＋6＋…＋n ＋2， 解得：a n ＝
n －1
n ＋6
2＋5＝
n ＋1
n ＋4
2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝5满足上式，∴a n ＝n ＋1
n ＋42(n ∈N *)，
所以a 6＝7×102
＝35.
4．(xx·佛山模拟)我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，n 为奇数时，a n 2，n 为偶数时(n ∈N *)，
求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．
解析：28,640 a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28,5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.
5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足4b 1－
1·42b 2－
1·43b 3－
1·…·4n bn －
1 ＝(a n ＋1)n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)∵a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． ∴
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2. ∵a 1＝1，a 1＋1＝2≠0，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵4b 1－
1·42b 2－
1·43b 3－
1·…·4n bn －
1＝(a n ＋1)n ， ∴4b 1
＋2b 2＋3b 3＋…＋n bn －n
＝2n 2，
∴2(b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n )－2n ＝n 2， ∴b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ＝1
2(n 2＋2n )．
∴b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋(n －1)b n －1 ＝1
2[(n －1)2＋2(n －1)] ＝1
2(n 2－1)(n ≥2) 以上两式相减，得
nb n ＝12(n 2＋2n )－12(n 2－1)＝n ＋12，
∴b n ＝1＋1
2n
(n ≥2)．
又当n ＝1时，4b 1－
1＝a 1＋1＝2，得b 1＝32，满足上式，
∴b n ＝1＋1
2n
(n ∈N *)．
.。