江苏省连云港市八年级上第一学期第二次月考数学试卷

江苏省连云港市八年级上第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题
1．若a =a 的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．0或1
D ．0或1或1-
2．的值应在（ ） A ．2和3之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
3．下列四组线段a ，b ，c ，能组成直角三角形的是（ ）
A ．1a =，2b =，3c =
B ．1a =，b =
c =
C ．2a =，3b =，4c =
D ．4a =，5b =，6c =
4．下列各点中在第四象限的是( ) A ．()2,3--
B ．()2,3-
C ．()3,2-
D ．()3,2
5．若分式24
2
x x -+的值为0，则x 的值为（ ）
A ．-2
B ．0
C ．2
D ．±2
6．下列各点中，在函数y=－8
x
图象上的是（ ） A ．（﹣2，4） B ．（2，4）
C ．（﹣2，﹣4）
D ．（8，1）
7．给出下列实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之间依次多一个0)，其中无理数有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 8．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．49 9．下列一次函数中，y 随x 增大而增大的是（ ）
A ．y=﹣3x
B ．y=x ﹣2
C ．y=﹣2x+3
D ．y=3﹣x
10．，﹣3.14，22
7
，2π ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y mx n =+的图像与y kx b =+的图像交于点
(1,2)P -，则方程组,
y mx n y kx b
=+⎧⎨=+⎩的解为________.
12．已知一次函数3y kx =+与2y x b =+的图像交点坐标为(−1，2)，则方程组
3
2y kx y x b =+⎧⎨
=+⎩
的解为____． 13．如图，函数3y x =-和4y ax =+的图像相交于点A （m ，3），则不等式34x ax ->+的解集为____．
14．如图，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为(0，4)，直线y ＝
3
4
x －3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点M 是直线AB 上的一个动点，则PM 的最小值为________．
15．如图，等腰直角三角形ABC 中， AB=4 cm.点 是BC 边上的动点，以AD 为直角边作
等腰直角三角形ADE.在点D 从点B 移动至点C 的过程中，点E 移动的路线长为
________cm.
16．等腰三角形的一个内角是100︒，则它的底角的度数为_________________. 17．比较大小：5-6-
18．点P (3，-4)到 x 轴的距离是_____________．
19．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝22.5°，DE 垂直平分AB 交BC 于点E ，EC ＝1，则三角形ACE 的面积为__．
20．若等腰三角形的顶角为30°，那么这个等腰三角形的底角为_____°
三、解答题
21．在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终到达C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与B 港的距离分别为y 1 、y 2 （km ）, y 1 、y 2 与x 的函数关系如图所示．
（1）填空：A 、C 两港口间的距离为_______km ，a = _______； （2）求图中点P 的坐标；
（3）若两船的距离不超过8km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．
22．（本题满分10分） 如图，直线23y x =+与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .
(1)求△AOB 的面积；
(2)过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，△ABP 的面积是
9
2
，求点P 的坐标. 23．如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA 表示货车离开甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离开甲地的距离y （km ）与时间x （h ）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）甲、乙两地相距 km ，轿车比货车晚出发 h ； （2）求线段CD 所在直线的函数表达式；
（3）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离甲地多远？
24．已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．（要求：写作法，用尺规作图，保留作图痕迹）．
25．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝6，求△ADE的周长．
（2）若∠DAE＝60°，求∠BAC的度数．
四、压轴题
26．如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC，∠A＜90°，CD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P．当∠A 的大小变化时，△EPC 的形状也随之改变．
（1）当∠A=44°时，求∠BPD 的度数；
（2）设∠A=x°，∠EPC=y°，求变量y 与x 的关系式；
（3）当△EPC 是等腰三角形时，请直接写出∠A 的度数．
27．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：
EH2+CH2＝2AE2．
28．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．
（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
29．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC．
（1）求直线BC的解析式；
（
2）点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 延长线上一点，且AP ＝CQ ，设点Q 横坐标为m ，求点P 的坐标（用含m 的式子表示，不要求写出自变量m 的取值范围）； （3）在（2）的条件下，点M 在y 轴负半轴上，且MP ＝MQ ，若∠BQM ＝45°，求直线PQ 的解析式．
30．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①． （1）求证：∠ACN =∠AMC ；
（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB
=； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
只有0和1的算术平方根与立方根相等． 【详解】 3
a a =
∴a 为0或1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根．也考查了算术平方根．
2．B
解析：B 【解析】
直接利用32=9，42=16的取值范围．
【详解】
∵32=9，42=16，
在3和4之间．
故选：B．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，正确得出接近无理数的有理数是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．
【详解】
A．12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；
1 ，能组成直角三角形，故此选项正确；
B．222
C．32+22≠42，不能组成直角三角形，故此选项错误；
D．42+52≠62，不能组成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据第四象限点的坐标特点，在选项中找到横坐标为正，纵坐标为负的点即可．
【详解】
解：A．(-2，-3)在第三象限；
B．(-2，3)在第二象限；
C．(3，-2)在第四象限；
D．(3，2)在第一象限；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0．
5．C
【解析】
由题意可知：240
20
x x ＝⎧-⎨
+≠⎩， 解得：x=2， 故选C. 6．A
解析：A 【解析】 【分析】
所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上 【详解】 解:-2×4=-8 故选:A 【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】
解：−5，
实数：
227、2
π
、0.16、0.1010010001-⋯（每相邻两个1之
间依次多一个02
π
、-0.1010010001…（每相邻两个1之间依次多一个0）共3个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据等腰三角形的性质可知BC 上的中线AD 同时是BC 上的高线，根据勾股定理求出AB 的长即可．
∵等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，
∴BD=CD=1
2
BC=3，AD同时是BC上的高线，
∴2222
345
BD AD
+=+=．
故它的腰长为5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质．解题关键是得出中线AD同时是BC上的高线．9．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵一次函数y=﹣3x中，k=﹣3＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
B、∵正比例函数y=x﹣2中，k=1＞0，∴此函数中y随x增大而增大，故本选项正确；
C、∵正比例函数y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误；
D、正比例函数y=3﹣x中，k=﹣1＜0，∴此函数中y随x增大而减小，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0时，y随x
的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的个数．
【详解】
无理数有2π32个．
故选：B．
本题考查的是无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
二、填空题
11．【解析】 【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】
∵函数的图像与的图像交于点， 则关于x ，y 的二元一次方程组 的解是， 故答案为：. 【点睛】 本题考查了
解析：1
2x y =-⎧⎨=⎩
【解析】 【分析】
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】
∵函数y mx n =+的图像与y kx b =+的图像交于点(1,2)P -， 则关于x ，y 的二元一次方程组
,y mx n y kx b =+⎧⎨
=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩， 故答案为：1
2x y =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
12．. 【解析】 【分析】
直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】
解：∵一次函数与的图象的交点的坐标为(−1，2)，
∴方程组的解是.
【点睛】
本题考查了一次函数和二元一次方程（组）
解析：12x y =-⎧⎨=⎩
. 【解析】
【分析】
直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解．
【详解】
解：∵一次函数3y kx =+与2y x b =+的图象的交点的坐标为(−1，2)，
∴方程组32y kx y x b =+⎧⎨
=+⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查了一次函数和二元一次方程（组）的关系：要准确的将一次函数问题的条件转化为二元一次方程（组），注意自变量取值范围要符合实际意义． 13．x ＜-1．
【解析】
【分析】
由图象可知，在点A 的左侧，函数的图像在的图像的上方，即，所以求出点A 的坐标后结合图象即可写出不等式的解集．
【详解】
解：∵和的图像相交于点A （m ，3），
∴
∴
∴
解析：x ＜-1．
【解析】
【分析】
由图象可知，在点A 的左侧，函数3y x =-的图像在4y ax =+的图像的上方，即34x ax ->+，所以求出点A 的坐标后结合图象即可写出不等式34x ax ->+的解集．
【详解】
解：∵3y x =-和4y ax =+的图像相交于点A （m ，3），
∴33m =-
∴1m =-
∴交点坐标为A （-1，3），
由图象可知，在点A 的左侧，函数3y x =-的图像在4y ax =+的图像的上方，
即34x ax ->+
∴不等式34x ax ->+的解集为x ＜-1．
故答案是：x ＜-1．
【点睛】
此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，用图象法解不等式的关键是找到y 相等时的分界点，观察分界点左右图象的变化趋势，即可求出不等式的解集，重点要掌握利用数形结合的思想．
14．【解析】
【分析】
认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案
【详解】
解：如图，过点P 作PM⊥AB，
解析：285
【解析】
【分析】
认真审题，根据垂线段最短得出PM ⊥AB 时线段PM 最短，分别求出PB 、OB 、OA 、AB 的长度，利用△PBM ∽△ABO ，即可求出本题的答案
【详解】
解：如图，过点P 作PM ⊥AB ，则：∠PMB=90°，
当PM ⊥AB 时，PM 最短，
因为直线y=34
x ﹣3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， 可得点A 的坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，﹣3），
在Rt △AOB 中，AO=4，BO=3，22345+=，
∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B ，PB=OP+OB=7，
∴△PBM ∽△ABO ，
∴PB PM AB AO
=， 即：
754PM =， 所以可得：PM=285
． 15．【解析】
试题解析：连接CE ，如图：
∵△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，
∴AC=AB，AE=AD ，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，
∠2+∠3=45°，
∴∠1=
解析：42 【解析】
试题解析：连接CE ，如图：
∵△ABC 和△ADE 为等腰直角三角形，
∴2AB ，2AD ，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3，
∵
2AC AE AB AD
== ∴△ACE ∽△ABD ， ∴∠ACE=∠ABC=90°， ∴点D 从点B 移动至点C 的过程中，总有CE ⊥AC ，
即点E 运动的轨迹为过点C 与AC 垂直的线段，22，
当点D 运动到点C 时，2，
∴点E 移动的路线长为2cm ．
16．【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是
解析：40︒
【解析】
【分析】
由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【详解】
①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣100°）÷2=40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
17．＞
【解析】
【分析】
先把两个数分别平方，再根据两个负数的比较方法比较即可.
【详解】
解:∵，
∵5＜6
∴.
【点睛】
本题考查实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握两个负数的比较方法：两个
解析：＞
【解析】
【分析】
先把两个数分别平方，再根据两个负数的比较方法比较即可.
【详解】
解:∵2(5=，2(6=
∵5＜6 ∴>
【点睛】
本题考查实数的大小比较，解答本题的关键是熟练掌握两个负数的比较方法：两个负数，
绝对值大的反而小.
18．4
【解析】
试题解析：根据点与坐标系的关系知，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，故点P（3，﹣4）到x轴的距离是4.
解析：4
【解析】
试题解析：根据点与坐标系的关系知，点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，
故点P（3，﹣4）到x轴的距离是4.
19．．
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解
解析：1
2
．
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质可知EA＝EB，由等边对等角的性质及外角的性质可得∠AEC＝45°，易知△ACE为等腰直角三角形，可得CA长，利用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解：∵DE垂直平分AB交BC于点E，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B＝22.5°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝45°，
∵∠C＝90°，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴CA＝CE＝1，
∴三角形ACE的面积＝1
2
×1×1＝
1
2
．
故答案为：1
2
．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形的两底角相等，灵活利用这两个性质是解题的关键.
20．75
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两个底角相等可得解．
【详解】
依题意知，等腰三角形两个底角相等．
当顶角=30°时，两底角的和=180°-30°=150°．
所以每个底角=75°．
故答案
解析：75
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两个底角相等可得解．
【详解】
依题意知，等腰三角形两个底角相等．
当顶角=30°时，两底角的和=180°-30°=150°．
所以每个底角=75°．
故答案为75.
考点：三角形内角和与等腰三角形性质．
点评：本题难度较低．已知角为顶角，根据等腰三角形性质与三角形内角和性质计算即可．
三、解答题
21．（1）120，2；（2）（1，30）；（3）11
15
≤x≤
19
15
或
41
15
≤x≤3
【解析】
【分析】
（1）由甲船行驶的函数图象可以看出，甲船从A港出发，0.5h后到达B港，ah后到达C 港，又由于甲船行驶速度不变，则可以求出a的值；
（2）分别求出0.5h后甲乙两船行驶的函数表达式，联立即可求解；
（3）将该过程划分为0≤x≤0.5、0.5＜x≤1、x＞1三个范围进行讨论，得到能够相望时x的取值范围．
【详解】
解：（1）A、C两港口间距离s=30+90=120（km），
又由于甲船行驶速度不变，
故30÷0.5=60（km/h），
则a=2（h）．
（2）由点（3，90）求得，y2=30x．
当0.5＜x≤2时，设解析式为y1=ax+c，
由点（0.5，0），（2，90）则，
0.50 290
a c
a c
+=⎧
⎨
+=
⎩
解得：
60
30 a
c
=
⎧
⎨
=-⎩
∴y1=60x-30，
当y1=y2时，60x-30=30x，解得，x=1．此时y1=y2=30．
所以点P的坐标为（1，30）．
（3）））①当x≤0.5时，依题意，（-60x+30）+30x≤8．解得，x≥11
15
．不合题意．
②当0.5＜x≤1时，依题意，30x-（60x-30）≤8
解得，x≥11
15
．所以
11
15
≤x≤1．
③当1＜x≤2时，依题意，（60x-30）-30x≤8
解得，x≤19
15
．所以1＜x≤
19
15
④当2＜x≤3时，甲船已经到了而乙船正在行驶，
∵90-30x≤8，解得x≥41 15
，
所以，当41
15
≤x≤3，甲、乙两船可以相互望见；
综上所述，当11
15
≤x≤
19
15
或
41
15
≤x≤3时，甲、乙两船可以相互望见．
【点睛】
本题考查一次函数的应用以及函数方程、函数图象与实际结合的问题，解题关键是利用数形结合得出关键点坐标．
22．（1）9
4
；（2）P(1.5，0) 或（-4.5,0）
【解析】
【分析】
（1）分别求直线与x,y轴交点坐标，再求面积.
（2）利用面积，可求得P点距离A点的距离，求出P点坐标.【详解】
(1) 由x=0得：y=3，即：B（0，3）．
由y=0得：2x+3=0，解得：
3
2 x=-
∴OA=3
2
,OB=3 .
∴△AOB 的面积: 1393224
⨯⨯=. (2) ∵△ABP 的面积是92
, OB =3 3922
AP ∴= ∴AP =3
∴P (1.5，0) 或 （-4.5,0）
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．
23．（1）300；1.2 （2）y ＝110x ﹣195 （3）3.9；234千米
【解析】
【分析】
（1）由图象可求解；
（2）利用待定系数法求解析式；
（3）求出OA 解析式，联立方程组，可求解．
【详解】
解：（1）由图象可得：甲、乙两地相距300km ，轿车比货车晚出发1.2小时； 故答案为：300；1.2；
（2）设线段CD 所在直线的函数表达式为：y ＝kx +b ，
由题意可得：300=4.580 2.5k b k b +⎧⎨=+⎩
解得：110195
k b =⎧⎨=-⎩ ∴线段CD 所在直线的函数表达式为：y ＝110x ﹣195；
（3）设OA 解析式为：y ＝mx ，
由题意可得：300＝5m ，
∴m ＝60，
∴OA 解析式为：y ＝60x ，
∴60110195y x y x =⎧⎨=-⎩
∴ 3.9234x y =⎧⎨
=⎩ 答：货车出发3.9小时两车相遇，此时两车距离甲地234千米．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，理解图象，是本题的关键．
24．详见解析.
【解析】
【分析】
根据题目要求画出线段a、h，再画△ABC，使AB=a，△ABC的高为h；首先画一条直线，再画垂线，然后截取高，再画腰即可．
【详解】
解：作图：
①画射线AE，在射线上截取AB=a，
②作AB的垂直平分线，垂足为O，再截取CO=h，
③再连接AC、CB，△ABC即为所求．
【点睛】
此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．25．（1）6；（2）120°
【解析】
【分析】
（1）根据线段垂直平分线性质得出AD＝BD，CE＝AE，求出△ADE的周长＝BC，即可得出答案；
（2）由∠DAE＝60°，即可得∠ADE+∠AED＝120°，又由DA＝DB，EA＝EC，即可求得∠BAC 的度数．
【详解】
解：（1）∵在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴DB＝DA，EA＝EC，
又BC＝6，
∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝6，
（2）∵∠DAE＝60°，
∴∠ADE+∠AED＝120°
∵DB＝DA，EA＝EC，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，∠AED＝∠C+∠CAE＝2∠C
∴2∠B+2∠C＝120°
∴∠B+∠C＝60°
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝120°
【点睛】
本题考查的知识点是线段垂直平分线的性质，熟记性质内容是解此题的关键．
四、压轴题
26．（1）56°；（2）y=454x +
；（3）36°或1807
°. 【解析】
【分析】
（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD ；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP=EC ，②若PC=PE ，③若CP=CE ，三种情况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及y=454
x +
解出x 即可. 【详解】 解：（1）∵AB=AC ，∠A=44°，
∴∠ABC=∠ACB=（180-44）÷2=68°，
∵CD ⊥AB ，
∴∠BDC=90°，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE=∠CBE=34°，
∴∠BPD =90-34=56°；
（2）∵∠A =x °，
∴∠ABC=（180°-x°）÷2=（902
x -
）°， 由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=（454x -）°，∠BDC=90°， ∴∠EPC =y °=∠BPD=90°-（454x -
）°=（454x +）°， 即y 与 x 的关系式为y=454x +
； （3）①若EP=EC ，
则∠ECP=∠EPC=y ，
而∠ABC=∠ACB=902x -
，∠ABC+∠BCD=90°， 则有：902x -+（902x --y ）=90°，又y=454
x +， ∴902x -+902x --（454
x +）=90°， 解得：x=36°；
②若PC=PE ，
则∠PCE=∠PEC=（180-y ）÷2=902y -
， 由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+[902x --（902y -）]=90，又y=454
x +， 解得：x=
1807
°； ③若CP=CE ， 则∠EPC=∠PEC=y ，∠PCE=180-2y ，
由①得：∠ABC+∠BCD=90°， ∴902x -+902x --（180-2y ）=90，又y=454
x +， 解得：x=0，不符合， 综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A 的度数为36°或
1807°. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系.
27．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH EF ，CH ＝
CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，
∴AB ＝AC ＝AE ，
∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ACE ＝∠AEC ，
∵∠AED ＝20°，
∴∠ABE ＝∠AED ＝20°，
∴∠BAE ＝140°，且∠BAC ＝90°
∴∠CAE ＝50°，
∵∠CAE +∠ACE +∠AEC ＝180°，且∠ACE ＝∠AEC ，
∴∠AEC ＝∠ACE ＝65°，
∴∠DEC ＝∠AEC ﹣∠AED ＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH2EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH2CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，
∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH2AF，
∵在Rt△AEF中，AE2＝AF2+EF2，
2AF）2+2EF）2＝2AE2，
∴EH2+CH2＝2AE2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
28．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A+∠C=180°．
【解析】
【分析】
（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP （SAS），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△ACE；
（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB AC
BAD CAE
AD AE
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，①正确，∠ADB=∠AEC，
记AD与CE的交点为G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB上取一点F，使OF=OC，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACO，
∵AB=AC，
∴△BCF≌△ACO（SAS），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF，要使OC=OE，则有OC=1
2 CE，
∵BD=CE，
∴CF=OF=1
2 BD，
∴OF=BF+OD，
∴BF＜CF，
∴∠OBC＞∠BCF，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，
延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．
29．（1）y＝﹣2x+6；（2）点P（m﹣6，2m﹣6）；（3）y＝﹣x+3 2
【解析】
【分析】
（1）先求出点A，点B坐标，由等腰三角形的性质可求点C坐标，由待定系数法可求直线BC的解析式；
（2）证明△PGA≌△QHC（AAS），则PG＝HQ＝2m﹣6，故点P的纵坐标为：2m﹣6，而点P在直线AB上，即可求解；
（3）由“SSS”可证△APM≌△CQM，△ABM≌△CBM，可得∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝
∠APM＝45°，∠BAM＝∠BCM，由“AAS”可证△APE≌△MAO，可得AE＝OM，PE＝AO＝3，可求m的值，进而可得点P，点Q的坐标，即可求直线PQ的解析式．
【详解】
（1）∵直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点B(0，6)，点A(﹣3，0)，
∴AO＝3，BO＝6，
∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴AO＝CO＝3，
∴点C(3，0)，
设直线BC解析式为：y＝kx+b，则
03
6
k b
b
=+
⎧
⎨
=
⎩
，解得：
2
6
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+6；
（2）如图1，过点P作PG⊥AC于点G，过点Q作HQ⊥AC于点H，∵点Q横坐标为m，
∴点Q(m，﹣2m+6)，
∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠HCQ，
又∵∠PGA＝∠QHC＝90°，AP＝CQ，
∴△PGA≌△QHC（AAS），
∴PG＝HQ＝2m﹣6，
∴点P的纵坐标为：2m﹣6，
∵直线AB的表达式为：y＝2x+6，
∴2m﹣6＝2x+6，解得：x＝m﹣6，
∴点P(m﹣6，2m﹣6)；
（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC于点E，∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴BO是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，
∴△APM≌△CQM（SSS）
∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，
∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，
∴△ABM≌△CBM（SSS）
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，
∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，
∴∠APM＝∠AMP＝45°，
∴AP＝AM，
∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，
∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，∴△APE≌△MAO（AAS）
∴AE＝OM，PE＝AO＝3，
∴2m﹣6＝3，
∴m＝9
2
，
∴Q(9
2
，﹣3)，P(﹣
3
2
，3)，
设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，
∴
9
3
2
3
3
2
a c
a c
⎧
-=+
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
，解得：
1
3
2
a
c
=-
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+3
2．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，等腰直角三角形的性质定理以及一次函数的图象和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
30．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；
（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．
【详解】
（1）∵∠BAC=45°，
∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．
∵∠NCM=135°，
∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；
（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，
∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，
∴△NEC ≌△CDM （AAS ），
∴NE=CD ，CE=DM ；
∵S 112=AC•NE ，S 212
=AB•CD ，
∴1
2
S AC
S AB
；
（3）当AC=2BD时，对于满足条件的任意点N，AN=CP始终成立，
理由如下：过点N作NE⊥AC于E，
由（2）可得NE=CD，CE=DM．
∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，
∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，
∴AE=BD+BP=DP．
∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，
∴△NEA≌△CDP（SAS），
∴AN=PC．
【点睛】
本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。