两个总体的相等性检验

检验，其统计效率远较符号检验为高。方法是通过将 观测值按由小到大的次序排列，编定秩次，求出秩和 进行假设检验。
秩和检验
检验目标：X与Y是两个连续型总体，各有分布函数
F1 ( x)与 F 2 ( x ) ，现从中分别抽取两个独立样本
(X ,X ) 与 (Y ) 1 2,..., X n 1,Y 2,...,Y n 1 2
1
混合再按由小到大的次序排列，便可得到
n1 n2 个秩，
把 X i 的秩记为 R i ， Y i 的秩记为 S i 。以如此得到的秩代 替原来的样本，于是得到两个样本为
( R ,R , ,R ) 1 2 n 1
( S ,S , ,S ) 1 2 n 2
（2）比较两个样本容量的大小，选出其中较小的。
P ( TT ) P ( TT ) 1 2

一般按照习惯的做法，
P ( T T ) P ( T T ) 1 2 2

对于秩和T，当 H 0 成立时，我们可以得到T的分布函数
n ! n ! 1 1 P ( Tt) K t ( n n )! 1 1
检验法则： 若 T T 或 T T2 则拒绝 H 1 若 T T T 1 2，则接受 H
且

n n n

1 当 H 0 为真时， n ~ B(n, ) 2
1 ，n ~ B ( n , ) 2

因此，当 H 0为真时，n 与 n 以很大的概率取
n n 2 附近的整数值，如果 min( 比 n 2 小得 ,n )
多就应该拒绝 H 0 ，选取统计量
S m in( n , n )
* 1 * 2
* n
如果 xi x 记做
* k
，则称 X i 的秩为 k ，
Ri k
即 X i 的秩就是按观测值由小到大排列成序后 x i 所占 位置的次序号数，在重复抽样中，R i 将取不同的数 值，是一个随机变量。
两个样本秩和检验法的准备工作
X ,X , ,X )与 ( YY , 2, ,Y ) （1）把两个样本观测值 ( 1 2 n 1 n 2
F 1 ( x ) 与 F 2 ( x ) 完全未知,我们就只能用非参数方法进行检验.本章源自介绍常用的两个总体相等性检验方法：符
号检验（sign test），秩和检验（rank-sum test）

符号检验法
检验目标：X与Y是两个连续型总体，各有分布函数
F1 ( x) 与 F 2 ( x ) ，现从中分别抽取两个独立样本

因此，我们的检验法则为：
H0 若S min( n , n ) S ，则拒绝

m i n ( nn , ) S 若S ，则接受 H 0
秩和检验

秩和检验也叫做符号秩和检验（signed rank-sum
test），是一种经过改进的符号检验，或称Wilcoxon
不失一般性，假定 n 1 n 2 ，取容量为 本，把这些样本的秩加起来得到秩和
n1
n1
的那个样
T
R
i 1
i
秩和T是离散型随机变量，取值范围为
n ( n 1 )n ( n 1 ) 1 1 1 1 , n n 12 2 2
秩和检验法的基本思想 当 H 0 为真时，两个总体X与Y实际上是同一个总体。因此， 第一个样本的秩一定随机的均匀分布在 n1 n2 个自然数 中，而不会过度的集中在较小的或较大的数中，从而知道 秩和T不会太靠近取值范围的两端的值。若太靠近取值范围 两端的值，就应该认为出现小概率事件，即
两个总体相等性检验
上节讨论了一个总体分布函数F(x)的拟和检验,但
是在许多实际问题中,经常还会要求比较两个总体的分
布函数是否相等的问题.设 F 1 ( x ) 与 F 2 ( x ) 分别为总体X与
Y的分布函数,现在要检验假设
H Fx ( ) Fx () 0: 1 2
如果 F 1 ( x ) 与 F 2 ( x )是同一种分布函数,这个问题可以归结 为两总体参数是否相等的参数假设检验问题.但如果对
( X , X , , X ) 与 (Y 1 2 n 1,Y 2,...,Y n)
，要在显著性水平
下，检验假设
H : F ( x ) F ( x ) 0 1 2
x

我们规定：
{Xi Y n i} 记为“＋”，而正的个数记为
{ X i Yi } 记为“-”，而负的个数记为 n
下，检验假设
，要在显著性水平
H : F ( x ) F ( x ) 0 1 2
x ，
X ,X ,..., X ) 定义1 设 ( 是正态总体X的样本， 1 2 n
(x 1, x 2,..., x n)是样本观测值，将观测值按数值由小
到大排列成序，使得
x x . . .x
0
0
；
例：见P169例4
在实际应用中，秩和检验法有多种具体化：

配对设计的两样本比较 成组设计两样本比较的秩和检验


成组设计多样本比较的秩和检验

多个样本两两比较的秩和检验