向量的减法运算(教学设计)
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6.2.2向量的减法运算
一、内容和内容解析
内容:向量的减法运算.
内容解析:本节课先引出相反向量,再类比实数的减法运算,通过相反向量将减法运算转化为加法运算,体现了减法运算和加法运算之间的内部联系.
借助相反向量理解向量减法运算的几何意义,掌握平面向量减法运算及运算规则,培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养.
二、目标和目标解析
目标:
(1)借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规则,并理解其几何意义.
(2)理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强数学的应用意识.培养类比、迁移、分类、归纳等能力.
目标解析:
(1)学生能类比数的减法定义向量的减法,能画图表示两个向量减法的结果.能依据向量减法的定义,并借助其几何意义探讨向量减法的运算规则.
(2)研究平面向量的减法运算时,借助与数的运算的类比,如借助与数的运算的类比,定义向量的减法.本节的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法,是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体.
基于上述分析,本节课的教学重点定为:向量减法的运算法则及其几何意义.
三、教学问题诊断分析
1.教学问题一:向量与学生在物理中学习的矢量非常类似,物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型,但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难.特别是向量既有大小,也有方向,在向量的线性运算中,对于方向如何参与运算,学生没有直接的经验.解决方案:在类比中抽象出共性,通过图形体现其相同点.
2.教学问题二:向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质.类比数的运算,学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质,虽然名称相同,但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别,学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算,导致学生对向量的运算偏于形式化记忆,对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻.解决方案:紧扣向量概念中的两个要素,大小和方向来研究向量的加法.
3.教学问题三:向量的减法的定义是用通过相反向量来引入的,学生在做减法运算时,会有一定的困难.解决方案:将减法转化为加法,通过图形刻画其几何意义辅助理解.
基于上述情况,本节课的教学难点定为:对向量减法运算法则的理解.
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算,应该为学生创造积极探究的平台→具体→抽象→再具体的反复过程,正向思考与逆向思考相结合,使学生逐步理解概念,克服思维的负迁移.
在教学设计中,采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间,让学生围绕问题主线,通过自主探究达到突出教学重点,突破教学难点.
在教学过程中,让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量,通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路,因此,本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.
五、教学过程与设计
类比实数x的相反数
对于向量a,你能定义
-吗?它有哪些
a
()
-=+-,即减去一
a b a b
个向量相当于加上这个向量的相反向量.
已知向量a和b,教师
动手实践
理解几何意义a b
-的几何意义是什么?
[问题4] 能否概括向量减法的
作图步骤?
[问题5]若a,b是不共线的向
量,则|a+b|与|a-b|的几何意
义是什么?
学生3:动手实践,小组交流,代表展示:
如图1,设OA=a,OB=b, OD=b,连接AB,由向
量减法的定义知,
()
a b a b OA OD OC
-=+-=+=.在四边形OCAB
中,,
OB CA OB CA
=,所以OCAB是平行四边形.所
以BA OC a b
==-.
教师4:提出问题4:
学生4:如图2,已知向量a,b,在平面内任取一点
O,作
OA=a,OB=b,则BA=ab,即ab可以表示为从向量
b的终点指向向量a的终点的向量.
教师5:我们也可以通过:“作平移,共起点,两尾
连,指被减.”的记忆口诀来辅助记忆.
教师6:提出问题5
学生5:如图所示,设OA=a,OB=b,则OC=a+b,
BA=ab.因为四边形OACB是平行四边形,所以
让学生明确
向量减法的
几何意义.
在理解向量
减法几何意
义的基础
上,通过口
诀辅助记
忆.
通过探究让
[问题6] 若a,b是不共线的向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义是什么?|a+b|=OC,|ab|=BA,分别是以OA,OB为邻
边的平行四边形的两条对角线的长.
教师7:提出问题6
学生6:(1)当向量a,b不共线时,||a|-|b||<|a-
b|<|a|+|b|;
(2)当向量a,b共线且同向时,前一个等号成立;当
向量a,b共线且反向时,后一个等号成立.
学生理解向
量的减法法
则,培养数
学抽象的核
心素养.
巩固法则
综合应用例1.(1)在△ABC中,BC
→
=a,
CA
→
=b,则AB
→
等于()
A.a+b
B.-a+(-b)
C.a-b
D.b-a
(2)如图所示,O为△ABC内一
点,OA
→
=a,OB
→
=b,OC
→
=c,
求作向量b+c-a.
教师8:展示例题1.
学生7:(1)选B,AB
→
=CB
→
-CA
→
=-a-b=-a+(-
b).
学生8:(2)以OB
→
,OC
→
为邻边作▱OBDC,连接OD,
AD,则OD
→
=OB
→
+OC
→
=b+c,AD
→
=OD
→
-OA
→
=b+c
-a.
理解向量减
法的几何意
义,掌握作
两个向量的
差的基本方
法.
例2.(1)向量MN →
可以写成:①MO →+ON →;②MO →-ON →;③OM →-ON →;④ON →-OM →. 其中正确的是________(填序号).
(2)化简:①BA →+OD →-OA →
-BC →;
②(AC →+BO →+OA →)-(DC →-DO →-OB →).
3.向量加减法的应用 例3.如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B 是该平行四边形外一点,且AB →=a ,AC →
=b ,AE →
=c ,试用向量a ,b ,c 表示向量CD →,BC →,BD →.
[课堂练习] 1. 化简下列式子: (1)NQ →-PQ →-NM →-MP →; (2)(AB →-CD →)-(AC →-BD →).
教师9:展示例题2.
学生9:①MO →+ON →=MN →;②MO →-ON →=-OM →-ON →
=-(OM →+ON →)≠MN →;
③OM →-ON →=NM →;④ON →-OM →=MN →, 故填①④.
学生10:①BA →+OD →-OA →-BC →=(BA →-BC →)+(OD →
-OA →)=CA →+AD →=CD →.
②(AC →+BO →+OA →)-(DC →-DO →-OB →)=AC →+BA →-OC →+OB →=AC →+CO →+OB →+BA →=AB →+BA →
=0.
教师10:展示例题3.
学生11:因为四边形ACDE 是平行四边形,所以CD →
=AE →
=c ,BC →=AC →-AB →
=b -a ,
故BD →=BC →+CD →
=b -a +c .
教师11:布置课堂练习1、2.
学生12:完成课堂练习,并订正答案.
1. (1)原式=NP →+MN →-MP →=NP →+PN →=NP →-NP →
=0. (2)原式=AB →-CD →-AC →+BD →=(AB →-AC →)+(DC →
-
明晰概念: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量.
课堂练习1: 掌握作两个向量的差的基本方法.
2.如图所示,解答下列各题:
(1)用a ,d ,e 表示DB →
; (2)用b ,c 表示DB →
; (3)用a ,b ,e 表示EC →
; (4)用c ,d 表示EC →
.
DB →)=CB →+BC →
=0.
2. (1)DB →=DE →+EA →+AB →
=d +e +a =a +d +e .
(2)DB →=CB →-CD →=-BC →-CD →
=-b -c . (3)EC →=EA →+AB →+BC →
=a +b +e . (4)EC →=-CE →=-(CD →+DE →
)=-c -d .
课堂练习2: 让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量.
课堂
小结
[问题7] 通过这节课,你学到了什么知识?
在解决问题时,用到了哪些数学思想?
[课后练习]
1.化简PM →-PN →+MN →
所得的结果是( )
A.MP →
B.NP →
C.0
D.MN →
2.在四边形ABCD 中,AB →
=DC →,若|AD →-AB →|=|BC →-BA →
|,教师12:提出问题7. 学生13:思考.
学生14:学生课后进行思考,并完成课后练习. 答案:1.C 2.B 3.AB →
4.2
师生共同回顾总结:引
领学生感悟数学认知的
过程,体会数学核心素养.
课后练习:。