云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析

云南省曲靖市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则（ ）
A ．PA ，P
B ，P
C 两两垂直 B ．三棱锥P-ABC 的体积为8
3
C ．||||||6PA PB PC ===
D ．三棱锥P-ABC 的侧面积为35
【答案】C 【解析】 【分析】
根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】
解：根据三视图，可得三棱锥P-ABC 的直观图如图所示，
其中D 为AB 的中点，PD ⊥底面ABC. 所以三棱锥P-ABC 的体积为114
222323
⨯
⨯⨯⨯=， 2AC BC PD ∴===，22
22AB AC BC ∴=+=，||||||2DA DB DC ∴===()
2
2
||||||226,PA PB PC ∴===+
=
2
2
2
PA PB AB +≠Q ，PA ∴、PB 不可能垂直，
即,PA ,PB PC 不可能两两垂直，
122222S =⨯=Q 1
∴三棱锥P-ABC 的侧面积为2522+.
故正确的为C. 故选：C. 【点睛】
本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题.
2．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )
A ．3
B ．3.4
C ．3.8
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数. 【详解】
由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为,3,1x 和 一个底面半径为
1
2
，高为5.4x -的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为
()()233 5.442.2x x x π+++⋅-=，
解得4x =， 故选：D. 【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题. 3．函数1()ln |
|1x
f x x
+=-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln |
|1x f x x --==+1ln ||()1x
f x x
+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．
3
2
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据等差数列公式直接计算得到答案. 【详解】 依题意，()()183********
a a a a S ++===，故364a a +=，故33a =，故632
33a a d -==-，故选：D ．
【点睛】
本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.
5．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ） A ．
9
8
B ．
78
C ．
12
D ．
6256
【答案】A
由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X 的数学期望值. 【详解】
由题意可知，随机变量X 的可能取值有0、1、2、3，
则()353810056C P X C ===，()21533830156C C P X C ===，()12533
815256C C P X C ===，()33381
356
C P X C ===. 因此，随机变量X 的数学期望为()10301519
0123565656568
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.
6．已知函数()y f x =在R 上可导且()()f x f x '<恒成立，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f > B ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f > C ．3(3)(0)f e f >、2018(2018)(0)f e f < D ．3(3)(0)f e f <、2018(2018)(0)f e f < 【答案】A 【解析】 【分析】 设()()
x f x g x e
=
，利用导数和题设条件，得到()0g x '>，得出函数()g x 在R 上单调递增， 得到()0(3)(2018)g g g <<，进而变形即可求解. 【详解】
由题意，设()()x f x g x e =，则()2()()()()()
x x x x
f x e f x e f x f x
g x e e '''--'==， 又由()()f x f x '
<，所以()()()
0x
f x f x
g x e '-'=
>，即函数()g x 在R 上单调递增， 则()0(3)(2018)g g g <<，即032018
(0)(3)(2018)
(0)f f f f e e e
=<<， 变形可得32018
(3)(0),(2018)(0)f e f f e f >>.
故选：A. 【点睛】
于中档试题.
7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．4π B ．16π
C ．
163
π
D ．
323
π
【答案】D 【解析】 【分析】
由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积． 【详解】
如图，正三棱锥A BCD -中，M 是底面BCD ∆的中心，则AM 是正棱锥的高，ABM ∠是侧棱与底面所成的角，即ABM ∠＝60°，由底面边长为3得23333BM =⨯=， ∴tan 60333AM BM =︒=⨯=．
正三棱锥A BCD -外接球球心O 必在AM 上，设球半径为R ， 则由222BO OM BM =+得222(3)(3)R R =-+，解得2R =， ∴3344322333
V R ππ
π=
=⨯=． 故选：D ．
【点睛】
本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键． 8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u v u u u v
的最小值为 （ ）
A ．
2116
B ．
32
C ．
2516
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD V 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅u u u v u u u v
分拆，设
(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v
，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD 中点为O,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD V 为等边三角形，3BD =(01)DE tDC t =≤≤u u u v u u u v
AE BE ⋅u u u v u u u v 223()()()2
AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+u u u
v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
=2
33322
t t -+(01)t ≤≤
所以当1
4t =时，上式取最小值
2116
，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。

同时利用向量共线转化为函数求最值。

9．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．2
1y x =+ B ．x x y e e -=- C ．lg y x =
D ．2y x =
【答案】C 【解析】
试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
10．设集合{}2{|22,},|log 1A x x x Z B x x =-<∈=<…，则A B =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,2]-
C ．{1}
D ．{1,0,1,2}-
【分析】
解对数不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】
由22log 1log 2x <=，解得02x <<，故()0,2B =.依题意{}1,0,1,2A =-，所以A B =I {1}. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 11．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的最小正周期为22
T π
π=
= ； 函数tan 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为22T ππ== ；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
12．已知向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v ，，则向量OA u u u r 在向量OB uuu r
上的投影是（ ）
A ．
B ．
C ．25
-
D ．
25
【答案】A
先利用向量坐标运算求解OB uuu v ，再利用向量OA u u u v 在向量OB uuu v
上的投影公式即得解 【详解】
由于向量()34OA =-u u u v ，，()15OA OB +=-u u u v u u u v
， 故()21OB =u u u v
，
向量OA u u u v 在向量OB uuu v
上的投影是
OA OB OB
⋅==u u u v u u u v
u u u v . 故选：A 【点睛】
本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作
为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程2
px q =中，p 为“隅”，q 为“实”．即若ABC
V 的大斜、中斜、小斜分别为a ，b ，c ，则2
2222
22142a c b S a c ⎡⎤
⎛⎫+-⎢⎥=- ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
.已知点D 是ABC V 边AB 上一
点，3AC =，2BC =，45︒∠=ACD ，8tan 7
BCD ∠=
，则ABC V 的面积为________．
【答案】
4
. 【解析】 【分析】
利用正切的和角公式求得tan ACB ∠,再求得cos ACB ∠,利用余弦定理求得AB ,代入“三斜求积术”公式即可求得答案. 【详解】
tan tan
tan tan()1tan tan ACD BCD ACB ACD BCD ACD BCD ∠+∠∠=∠+∠=
=-∠∠1
cos 4
ACB ∠=-，由余
弦定理可知2222cos 16AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=，得4AB =.根据“三斜求积术”可得
2
222
2
22142313542S ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥=⨯-= ⎪
，所以S =
.
本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式,余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力,难度较易.
14．已知等差数列{}n a 满足1357910a a a a a ++++＝
，222836a a -=，则11a 的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】
由等差数列的下标和性质可得52a =，由()()22
882822a a a a a a =+-－即可求出公差d ，即可求解；
【详解】
解：设等差数列的公差为d ，
1357910a a a a a ++++Q ＝，193752a a a a a ++=＝
52a ∴=
又因为()()2222
888253626a a a a a a a d =+-=⨯=－，解得32
d =
115611a a d ∴=+=
故答案为：11 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式及等差数列的性质的应用，属于基础题.
15．已知椭圆2
2
:1y C x m
+=，M ，
若椭圆C 上存在点N 使得OMN ∆为等边三角形（O 为原点），则椭圆C 的离心率为_________．
【解析】 【分析】
根据题意求出点N 的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m 的值，再根据离心率的定义求值. 【详解】
由题意得)22
N ±， 将其代入椭圆方程得3m =，
所以
3e =
=.
故答案为：3
. 【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题. 16．设1ln ()x f x x
+=
，若关于x 的方程2
()2f x x x k =-+有实数解，则实数k 的取值范围_____． 【答案】(,2]-∞ 【解析】 【分析】 先求出2
()lnx
f x x '=-
，从而得函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．即可得()f x 的最大值为()11f =，令2()2g x x x k =-+，得函数()g x 取得最小值()11g k =-，由2
()2f x x x k =-+有
实数解，11k -„，进而得实数k 的取值范围． 【详解】 解：2
()lnx
f x x '=-
Q ， ∴当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，)0f x '<； ∴函数()f x 在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,)+∞为减函数．
所以()f x 的最大值为()11f =， 令2()2g x x x k =-+，
所以当1x =时，函数()g x 取得最小值()11g k =-，
又因为方程2
()2f x x x k =-+有实数解，那么11k -„，即2k „，
所以实数k 的取值范围是：(,2]-∞． 故答案为：(,2]-∞ 【点睛】
本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，属于中档题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图，底面ABCD 是等腰梯形，//,224AD BC AD AB BC ===，点E 为AD 的中点，以BE 为边作正方形BEFG ，且平面BEFG ⊥平面ABCD .
（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFG . （2）求二面角A BF D --的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）470
sin θ=【解析】 【分析】
（1）先证明四边形ABCE 是菱形,进而可知AC BE ⊥,然后可得到AC ⊥平面BEFG ,即可证明平面ACF ⊥平面BEFG ;
（2）记AC,BE 的交点为O,再取FG 的中点P.以O 为坐标原点,以射线OB,OC,OP 分别为x 轴、y 轴、z
轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,分别求出平面ABF 和DBF 的法向量,m n u r r
,然后由
cos ,||||
m n
m n m n ⋅〈〉=u r r
u r r u r r ,可求出二面角A BF D --的余弦值,进而可求出二面角的正弦值. 【详解】
（1）证明：因为点E 为AD 的中点,2AD BC =,所以AE BC =, 因为//AD BC ,所以//AE BC ,所以四边形ABCD 是平行四边形, 因为AB BC =,所以平行四边形ABCE 是菱形,所以AC BE ⊥,
因为平面BEFG ⊥平面ABCD ,且平面BEFG ⋂平面ABCD BE =,所以AC ⊥平面BEFG . 因为AC ⊆平面ACF ,所以平面ACF ⊥平面BEFG .
（2）记AC,BE 的交点为O,再取FG 的中点P.由题意可知AC,BE,OP 两两垂直,故以O 为坐标原点,以射线OB,OC,OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为底面ABCD 是等腰梯形,//,224AD BC AD AB BC ===,所以四边形ABCE 是菱形，且
60BAD ︒∠=,
所以(0,3,0),(1,0,0),(1,0,0),(3,0),(1,0,2)A B E D F ----,
则3,0),(2,0,2),(3,0)AB BF BD ==-=-u u u r u u u r u u u r
,设平面ABF 的法向量为()111,,m x y z =u r ,
则111130220
m AB x y m BF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取11y =-,则3,3)m =-u r ,
设平面DBF 的法向量为()222,,n x y z =r
,
则2222330220
n BD
x y n BF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ,不妨取21x
=,则(1,3,1)n =r , 故3105
cos ,||||75
m n m n m n ⋅〈〉===⨯u r r
u r r u
r r . 记二面角A BF D --的大小为θ,故3470
sin 135θ=-
=
.
【点睛】
本题考查了面面垂直的证明,考查了二面角的求法,利用空间向量求平面的法向量是解决空间角问题的常见方法,属于中档题.
18．为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，其中μ近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.
（1）请利用正态分布的知识求(3679.5)P Z <≤；
（2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案： ①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费： ②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？
14.5≈；②若()2
~,X N
μσ；则()0.6827P X μσμσ-<<+=，
()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.
【答案】（1）0.8186；（2）估计此次活动可能赠送出100000元话费 【解析】 【分析】
（1）根据正态分布的性质可求()3679.5P Z <≤的值.
（2）设某家长参加活动可获赠话费为X 元，利用题设条件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得计此次活动可能赠送出的话费数额. 【详解】
（1）根据题中所给的统计表，结合题中所给的条件，可以求得
350.025450.15550.2650.25750.225850.1950.05μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.875 6.751116.2516.8758.5 4.7565=++++++=
又3665≈-79.565≈+， 所以()3679.5P Z <≤
11
0.95450.682722
=⨯+⨯ 0.8186=；
（2）根据题意，某家长参加活动可获赠话费的可能值X 有10，20，30，40元，且每位家长获得赠送1次、2次话费的概率都为
1
2
， 得10元的情况为低于平均值，概率121233
P =
⨯=， 得20元的情况有两种，得分低于平均值，一次性获20元话费；得分不低于平均值，2次均获赠10元话费，概率1112272323318
P =
⨯+⨯⨯=， 得30元的情况为：得分不低于平均值，一次获赠10元话费，另一次获赠20元话费，其概率为
1212122339
P C =⨯⨯⨯=，
得40元的其情况得分不低于平均值，两次机会均获20元话费，概率为1111
23318
P =⨯⨯=. 所以变量X 的分布列为：
某家长获赠话费的期望为()1020304020318918
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 所以估计此次活动可能赠送出100000元话费. 【点睛】
本题考查正态分布、离散型随机变量的分布列及数学期望，注意与正态分布有关的计算要利用该分布的密度函数图象的对称性来进行，本题属于中档题.
19．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2
B C
a A B c ++=. （1）求A ；
（2）若ABC ∆5b c +=，求ABC ∆的周长.
【答案】（1）60o ；（25+. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；
（2）由面积公式，可以求得bc ，再利用余弦定理，即可求得a ，结合b c +即可求得周长. 【详解】
（1）由题设得sin cos
2
A a C c =. 由正弦定理得sin sin sin cos 2A A C C = ∵(0,)C π∈∴sin 0C ≠sin cos 2
A A
=，
2sin cos cos 222A A A =
所以cos 02
A =或1
sin 22A =.
当cos 02
A
=，A π=（舍）
故1sin
22
A =， 解得60A =︒.
（2
）1
sin 2
ABC S bc A ∆=4bc =.
由余弦定理得
222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-
22()3()1213b c bc b c =+-=+-=.
解得a =.
∴5a b c ++=.
故三角形ABC
5. 【点睛】
本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.
20．已知函数2()2,()2==+x f x g x x ax .
（1）当1a =-时，求函数(())(23)=-y f g x x 剟
的值域. （2）设函数(),()(),f x x b h x g x x b
⎧=⎨<⎩…，若0ab >，且()h x
的最小值为2，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）1,2562⎡⎤
⎢⎥⎣⎦；（2
）1,4⎛--∞ ⎝⎦
. 【解析】 【分析】
（1）令22,2μ
μ=-=x x y ，求出u 的范围，再由指数函数的单调性，即可求出结论；
（2）对a 分类讨论，分别求出()f x 以及()g x 的最小值或范围，与()h x
的最小值2
建立方程关系，求出b 的值，进而求出a 的取值关系. 【详解】
（1）当1a =-时，2
2(())2(23)-=-x
x
f g x x 剟，
令22,2μ
μ=-=x x y ，
∵[2,3]x ∈-∴[1,8]μ∈-，
而2μ
=y 是增函数，∴12562
y 剟
， ∴函数的值域是1,2562
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
.
（2）当0a >时，则0,()>b g x 在(,)a -∞-上单调递减， 在(,)a b -上单调递增，所以()g x 的最小值为2()0-=-<g a a ， ()f x 在[,)+∞b 上单调递增，最小值为0221>=b ，
而()h x 的最小值为
2
，所以这种情况不可能. 当0a <时，则0,()<b g x 在(,)b -∞上单调递减且没有最小值， ()f x 在[,)+∞b 上单调递增最小值为2b ，
所以()h x 的最小值为2
22
=
b ，解得12b =-（满足题意），
所以11
12()24
22
⎛⎫
⎛⎫=-=
--= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭g b g a f …，解得122-a „. 所以实数a 的取值范围是122,4⎛⎤
--∞ ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
本题考查复合函数的值域与分段函数的最值，熟练掌握二次函数图像和性质是解题的关键，属于中档题. 21．某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，将数据按照[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生.
理科方向 文科方向 总计 男 110 女 50 总计
（1）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？
（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望()E ξ和方差
()D ξ.
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
参考临界值：
【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，5，
25
. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80、[]80,100之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算2K 的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率p .由题意()~3,B p ξ，求出分布列，根据公式求出期望和方差. 【详解】
（1）由频率分布直方图可得分数在[)60,80之间的学生人数为0.01252020050⨯⨯＝，在[]80,100之间的学生人数为0.00752020030⨯⨯＝，所以低于60
分的学生人数为120.因此列联表为 又()2
22008050304016.498 6.6351208011090
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为802
2005
p =
=. 依题意知2
~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()3322C 155i i
i P i ξ-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（0,1,2,3i =），所以ξ的分布列为
所以期望()26
355E np ξ==⨯=，方差()()22181315525D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题. 22．已知函数()ln f x x x x =+，()x
x
g x e =
. （1）若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.
（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()
00,1,
,,
f x x x x F x
g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.
【答案】（1）1
e
（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得，ln 1x x a e +≤，令()ln 1
x
x k x e
+=，利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为11ln x x x e +>，令()1ln t x x x =+，()1
x h x e
=，利用导数得单调性即可得到答案； （3）由题意可得0
01
ln x x e =
，进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-，再利用单调性可得0
1
011122ln x x x x
x x e --<，记()0
022ln x x x x m x x x e --=-，01x x <<，再利用导数研究单调性可得()m x 在()
01,x 上单调递增，即()()00m x m x <=，即0101
1122ln x x x x x x e
--<，即可得到结论. 【详解】
（1）()()2
f x
g x ax ≥，即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥，化简可得ln 1x
x a e +≤. 令()ln 1x x k x e
+=，()()1
ln 1x
x x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[
)1,+∞上单调递减，()()11k x k e
≤=
.
所以a 的最小值为
1e
. （2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x
x
x x x e +>
>. 两边同除以x 可得11ln x x x e
+
>. 设()1ln t x x x =+
，则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上，()0t x '
<，所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1
x h x e
=
，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.
（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即0
01
ln x x e
=
，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =
，()10x
x
F x e
-'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-. 即要证01
01
1122ln x x x x x x e --<
.
记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
，01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()0
0000ln 0x x
m x x x e =-=.
()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x
m x x x e e e ---+--'=++=++-.
设()t t n t e =，()1t t
n t e
-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.
()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1
n t e
=.
且()0n t >，故()10n t e <<，因为021x x ->，所以002120x x x x
e e
---<<.
因此()0m x '
>，即()m x 在()01,x 上单调递增.
所以()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<
.
故()()2012F x F x x <-得证. 【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
23．已知()13f x x x =+++. （1）解不等式()6f x <；
（2）若,,a b c 均为正数，且()()10f a f b c ++=，求222a b c ++的最小值. 【答案】（1）()5,1-；（2）4
9
【解析】 【分析】
（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解. （2）利用柯西不等式可求222a b c ++的最小值. 【详解】
（1）()24,12,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪
=-<<-⎨⎪--≤-⎩
，
由()6f x <得1246x x ≥-⎧⎨
+<⎩或3126
x -<<-⎧⎨<⎩或3
246x x ≤-⎧⎨--<⎩，
解得()5,1x ∈-.
（2）()()()()242410f a f b c a b c ++=++++=， 所以222a b c ++=， 由柯西不等式(
)()
()2
222
22
2123
123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++得：
()(
)
()2
2
2222222122a
b c a b c ++++≥++
所以(
)()
2
22
2
9224a b c
a b c ++≥++=，
即222
4
9a b c ++≥
（当且仅当429
a b c ===时取“=”）. 所以222a b c ++的最小值为49
. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意
代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.。