浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》章节综合测试【含答案】

浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》章节综合测试一．选择题
1．关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m 的值的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（ ）
A．k≠1B．k＜0C．k＜﹣1D．k＞0
3．关于未知数x的方程ax2+4x﹣1＝0只有正实数根，则a的取值范围为（ ）A．﹣4≤a≤0B．﹣4≤a＜0C．﹣4＜a≤0D．﹣4＜a＜0 4．对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面，正方形的面积为（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，根据阿尔•花拉子米的思路，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（ ）
A．S＝21+4＝25B．S＝21﹣4＝17
C．S＝21+4＝25D．S＝21﹣4＝17 5．关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解（相同解算一解），则a的值为（ ）A．a＝0B．a＝2C．a＝1D．a＝0或a＝2
6．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
7．代数式2x2﹣4x+3的值一定（ ）
A．大于3B．小于3C．等于3D．不小于1
8．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为
x1＝，x2＝，下列判断一定正确的是（ ）
A．a＝﹣1B．c＝1C．ac＝1D．＝﹣1
9．已知x为实数，且﹣（x2+3x）＝2，则x2+3x的值为（ ）
A．1B．1或﹣3C．﹣3D．﹣1或3
10．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二．填空题
11．如果方程（x﹣1）（x2﹣2x+）＝0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是 ．
12．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 ．
13．若实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，则＝ ．
14．若关于x的一元二次方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0是一元二次方程，则m＝ ．15．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，则a的值为 ．
16．已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣2）2+n＝0的解是 ．
三．解答题
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
18．解一元二次方程：
（1）（2x﹣5）2＝9
（2）x2﹣4x＝96
（3）3x2+5x﹣2＝0
（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
19．已知x2﹣x﹣1＝0，求：（1）求x的值．（2）求的值．
20．已知：关于x的一元二次方程2x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根，请化简：
．
21．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（t＞0），每月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
22．已知关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0．
（1）求证：无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）如果方程有两个实数根x1，x2，当|x1﹣x2|＝时，求出a的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若该方程只有一个小于4的根，求m的取值范围；
（3）若x1，x2为方程的两个根，且n＝x12+x22﹣4，判断动点P（m，n）所形成的数图象是否经过点A（﹣5，9），并说明理由．
24．某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y＝kx+b的图象上，如图．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？
25．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2+x＝0；
第2个方程：x2﹣1＝0；
第3个方程：x2﹣x﹣2＝0；
第4个方程：x2﹣2x﹣3＝0；
…
（1）第2023个方程是 ；
（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
（3）说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
参考答案
一．选择题
1．解：m2x2﹣8mx+12＝0，
当方程为一元一次方程时，m＝0，原方程不符合题意，所以原方程只能是一元二次方程，解法一：Δ＝（﹣8m）2﹣4m2×12＝16m2，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
解法二：（mx﹣2）（mx﹣6）＝0，
∴x1＝，x2＝，
∵关于x的方程m2x2﹣8mx+12＝0至少有一个正整数解，且m是整数，
∴＞0，＞0，
∴m＝1或2或3或6，
则满足条件的m的值的个数是4个，
故选：B．
2．解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，一根大于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
故选：B．
3．解：当a＝0时，方程是一元一次方程，方程是4x﹣1＝0，解得x＝，是正根；
当a≠0时，方程是一元二次方程．
∵a＝a，b＝4，c＝﹣1，
∴Δ＝16+4a≥0，
x1+x2＝﹣＞0，
x1•x2＝﹣＞0
解得：﹣4≤a＜0．
总之：﹣4≤a≤0．
故选：A．
4．解：x2﹣4x﹣21＝0
x2﹣4x+4＝21+4
（x﹣2）2＝25
正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25，
故选：C．
5．解：当a≠0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元二次方程，若方程有相等的两解，则Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×a×2＝0，
整理得a2﹣4a+4＝0，
即Δ＝（a﹣2）2＝0，
解得a＝2；
当a＝0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元一次方程，
原方程转化为：﹣2x+2＝0，
此时方程只有一个解x＝1．
所以当a＝0或a＝2关于x ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解．
故选：D．
6．解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4+4（1﹣k）＞0，且1﹣k≠0，
解得k＜2，且k≠1，
则k的最大整数值是0．
故选：C．
7．解：∵（x﹣1）2≥0，
∴代数式2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1）+1＝2（x﹣1）2+1≥1，
则代数式2x2﹣4x+3的值一定不小于1．
故选：D．
8．解：根据一元二次方程的求根公式可得：x1＝，x2＝，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝，x2＝
，
∴x1+x2＝﹣b＝﹣，x1•x2＝＝﹣1，
∴当b≠0时，a＝1，c＝﹣1，则ac＝﹣1，
故选：D．
9．解：设x2+3x＝y，则原方程变为：﹣y＝2，
方程两边都乘y得：3﹣y2＝2y，
整理得：y2+2y﹣3＝0，
（y﹣1）（y+3）＝0，
∴y＝1或y＝﹣3，
当x2+3x＝1时，Δ＞0，x存在．
当x2+3x＝﹣3时，Δ＜0，x不存在．
∴x2+3x＝1，
故选：A．
10．解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得
（28﹣2x）（20﹣2x）＝180，
解得：x1＝5，x2＝19，
∵20﹣2x＞0，
∴x＜10．
∴x2＝19，不符合题意，应舍去．
∴x＝5．
∴截去的小正方形的边长是5cm．
故选：C．
二．填空题
11．解：由题意，得：x﹣1＝0，x2﹣2x+＝0；
设x2﹣2x+＝0的两根分别是m、n（m≥n）；则m+n＝2，mn＝；
m﹣n＝＝；
根据三角形三边关系定理，得：
m﹣n＜1＜m+n，即＜1＜2；
∴，解得3＜k≤4．
12．解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）＝8﹣12m≥0，
∴m≤，
∵x1（x2+x1）+x22
＝（x2+x1）2﹣x1x2
＝（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
＝3m2﹣3m+2
＝3（m2﹣m+﹣）+2
＝3（m﹣）2+；
∴当m＝时，有最小值；
∵＜，
∴m＝成立；
∴最小值为；
故答案为：．
13．解：若a≠b，
∵实数a，b满足a2+a﹣1＝0，b2+b﹣1＝0，
∴a、b看作方程x2+x﹣1＝0的两个根，
∴a+b＝﹣1，ab＝﹣1，
则＝＝＝＝﹣3．
若a＝b，则原式＝2．
故答案为：2或﹣3
14．解：因为是关于x的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+2）x|m|一定是此二次项．
所以得到，解得m＝2．
15．解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，
∴m+n＝3，mn＝a，
∵（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，
∴mn﹣（m+n）+1＝﹣6
即a﹣3+1＝﹣6
解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
16．解：∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，
∴方程m（x+a﹣2）2+n＝0可变形为m[（x﹣2）+a]2+n＝0，
∵此方程中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝3．
三．解答题
17．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
18．解：（1）（2x﹣5）2＝9
2x﹣5＝±3
2x＝±3+5
x1＝4，x2＝1；
（2）x2﹣4x＝96
x2﹣4x﹣96＝0
（x+8）（x﹣12）＝0
x+8＝0或x﹣12＝0
x1＝﹣8，x2＝12；
（3）3x2+5x﹣2＝0
（x+2）（3x﹣1）＝0
x+2＝0或3x﹣1＝0
x1＝﹣2，x2＝；
（4）2（x﹣3）2＝﹣x（3﹣x）
2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0
（x﹣3）（2x﹣6﹣x）＝0
x﹣3＝0或x﹣6＝0
x1＝3，x2＝6．
19．解：（1）x2﹣x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
（2）x2﹣x﹣1＝0，
∴x2＝x+1，
x4＝（x2）2＝（x+1）2＝x2+2x+1＝x+1+2x+1＝3x+2，
x5＝x（3x+2）＝3x2+2x＝3（x+1）+2x＝5x+3，
2x2＝2（x+1）＝2x+2，
∴＝＝＝1．
20．解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（4﹣k）＞0，
∴4﹣32+8k＞0，
∴8k＞28，
∴k＞，
∴2﹣k＜0，k+1＞0，
∴原式＝k﹣2﹣（k+1）﹣（k﹣2）
＝k﹣2﹣k﹣1﹣k+2
＝﹣1﹣k．
21．解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．
故答案为800，（600+200x）
（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400
整理，得
x2﹣7x+12＝0
解得x1＝3，x2＝4，
因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，
但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，
当x＝4时，1400＞1210（舍去）
当x＝3时，1200＜1210，可取，
所以售价为37元
答：每个台灯的售价为37元．
（3）月获利不能达到9600元，理由如下：
（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600
整理，得
x2﹣7x+18＝0
∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0
方程无实数根．
答：月获利不能达到9600元．
222．（1）证明：①当a＝0时，方程为3x﹣3＝0，是一元一次方程，有实数根；
②当a≠0时，方程是一元二次方程，
∵关于x的方程ax2+（3﹣2a）x+a﹣3＝0中，Δ＝（3﹣2a）2﹣4a（a﹣3）＝9＞0，∴无论a为何实数，方程总有实数根．
（2）解：如果方程的两个实数根x1，x2，则x1+x2＝，x1•x2＝，
∵|x1﹣x2|＝，
∴＝，
解得a＝±2．
故a的值是﹣2或2．
23．（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+4）]2﹣4（2m+4）＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m+4＝0
∴a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m+4
∴由一元二次方程的求根公式得：x＝＝
∴x1＝m+2，x2＝2
∵该方程只有一个小于4的根
∴m+2≥4
∴m≥2；
（3）由韦达定理得：x1+x2＝m+4，x1x2＝2m+4
∴n＝x12+x22﹣4
＝﹣2x1x2﹣4
＝（m+4）2﹣2（2m+4）﹣4
＝m2+4m+4
∴动点P（m，n）可表示为（m，m2+4m+4）
∴当m＝﹣5时，m2+4m+4＝25﹣20+4＝9
∴动点P（m，n）所形成的数图象经过点A（﹣5，9）．24．解：（1）依题意有，
解得．
故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80；
（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有
（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，
整理方程，得x2﹣10x+24＝0．
解得x1＝4，x2＝6．
∵此设备的销售单价不高于5万元，
∴x2＝6（舍），
所以x＝4．
答：该设备的销售单价是4万元．
25．解：（1）第2023个方程是：x2﹣2021x﹣2022＝0；
（2）第n个方程是：x2﹣（n﹣2）x﹣（n﹣1）＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝n﹣1；
（3）这列一元二次方程的解的一个共同特点是：有一根是﹣1．。