2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(3)(含附加及详细解答)

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．
1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．
2. 已知复数z ＝1
1＋i
＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．
3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．
4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <1
2
”的________条件．
5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．
6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0
While S <9
S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S
7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π
2
))处的切线方程为________．
8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2
（x <1）
是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π
4
)＝________．
10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b
2
)，若线段AC 的垂直平
分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．
11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2
a n
，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6
成立，则实数a 的取值范围是________．
12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．
13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．
14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，
g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个
实数根，则实数k 的取值范围是______________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，∠PBC ＝∠BAD ＝90°.求证： （1）BC ⊥平面P AB ；
（2）AD ∥平面PBC .
16. (本小题满分14分)
在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π
3
，面积S ＝2 3.
（1）求a 的值；
（2）设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
(纵坐标不
变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．
如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝
5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π
4
，设CF ＝x ，AE ＝y .
（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；
（2）求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．
18. (本小题满分16分)
在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，3
2
)．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；
② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．
已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.
（1）若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；
（2）如果a2a4n－2＝a4n，
①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；
②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．
20. (本小题满分16分)
设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．
（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；
（2）若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；
（3）若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)
数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)
设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，
属于特征值2的一个
特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤01，求矩阵A .
B. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．
C. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.
【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘
比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为3
7，
4
7.
（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？
（2）若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．23. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两
点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)
1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2. 22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z |＝2
2
.
3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80
800
，∴ x ＝220.
4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a <0或a >2，∴ “a >2”是“1a <1
2
”的充分不必要条件．
5. 1
6
解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是1
6
.
6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.
7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π
2，
即2x －y －π
2
＝0.
8. [2，＋∞) 解析：由题知，k >0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.
9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－3
4
，∴ tan
⎝
⎛⎭⎫α－π4＝－7.
10. 4－13 解析：k AC ＝b
2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a
2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e <1， ∴ e ＝4－13.
11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1
，由y ＝1
x 的图象可得6<1
－a <7，∴ －6<a <－5.
12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则1
2
t 2－6≥2t 即t 2
－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.
13. 5
5
解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意
义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，
∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即5
5
.
14. (1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫
32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得
k ＝h (x )＝⎩
⎨⎧x ＋1
x ＋4，x ＜0，ln x ＋1
x
，x >0，
由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫
32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面P AB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面P AB ⊥平面ABCD ，
平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ， 所以PH ⊥平面ABCD .(4分)
而BC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥BC . 由∠PBC ＝90°得PB ⊥BC .
又PH ∩PB ＝P ，PH ，PB ⊂平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB .(8分)
(2) 因为AB ⊂平面P AB ，故BC ⊥AB , 由∠BAD ＝90°，得AD ⊥AB ，
故在平面ABCD 中，AD ∥BC .(11分) 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以AD ∥平面PBC .(14分)
16. 解：(1) 在△ABC 中，S ＝23，S ＝1
2
bc sin A ，
∴ 1
2·4·c sin π3
＝23，∴ c ＝2， ∴ a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12，∴ a ＝2 3.(6分)
(2) ∵ a sin A ＝b sin B ，∴ 23sin
π3
＝4
sin B
，∴ sin B ＝1.
又0<B <π，∴ B ＝π2，C ＝π
6
，
∴ f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
6，
将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，
得g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
6，
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2，
得k π－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )，
∴ g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π
3(k ∈Z )．(14分)
17. 解：(1) 由∠EOF ＝π4，可得∠COF ＋∠AOE ＝π
4，
由题意有tan ∠COF ＝x 4，tan ∠AOE ＝y
5，
则tan(∠COF ＋∠AOE )＝x 4＋y 5
1－xy 20
＝1，
即有y ＝20－5x 4＋x
，由0≤y ≤4⇒4
9≤x ≤4，
则函数的解析式为y ＝20－5x 4＋x
⎝⎛⎭⎫4
9≤x ≤4.(6分)
(2) 三角形池塘OEF 的面积
S ＝S 矩形OABC －S △AOE －S △BEF －S △COF
＝4×5－5y 2－4x 2－（4－y ）（
5－
x ）
2
＝10＋5x 2－20x 2（x ＋4）⎝
⎛⎭⎫4
9≤x ≤4，
令t ＝x ＋4⎝⎛⎭
⎫40
9≤t ≤8， 即有S ＝10＋1
2⎝⎛⎭⎫5t ＋160t －60≥202－20， 当且仅当5t ＝160
t
，即t ＝42时取“＝”，
此时x ＝(42－4)m ，
∴ 当x ＝(42－4)m 时，△OEF 的面积取得最小值，且为(202－20)m 2.(14分)
18. 解：(1) 由e ＝32可得b a ＝1
2.
设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，代入点⎝⎛⎭⎫1，3
2，得b ＝1，
故椭圆方程为x
24
＋y 2＝1.(4分)
(2) ① 由条件知OP ：y ＝x 2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则满足x 214＋y 2
1＝1，x 224
＋y 22＝1， 两式作差，得x 21－x 2
24
＋y 21－y 2
2＝0， 化简得x 1＋x 24＋(y 1＋y 2)y 1－y 2
x 1－x 2
＝0.
因为AB 被OP 平分，故y 1＋y 2＝x 1＋x 2
2
，
当x 1＋x 2≠0即直线l 不过原点时，y 1＋y 2≠0，
所以y 1－y 2x 1－x 2
＝－12；
当x 1＋x 2＝0即直线l 过原点时，y 1＋y 2＝0，y 1－y 2x 1－x 2为任意实数，但y 1－y 2x 1－x 2＝1
2
时l 与OP 重合；
综上，直线l 的斜率为除1
2
以外的任意实数．(8分)
② 当x 1＋x 2＝0时，y 1＋y 2＝0，故P A →·PB →＝(x 1－2)·(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝5－x 21－y 2
1＝0，
得x 21＋y 21＝5，联立x 2
14＋y 21＝1，得y 2
1
＝－13
<0，舍去； 当x 1＋x 2≠0时，设直线l 为y ＝－12x ＋t ，代入椭圆方程x 24
＋y 2
＝1可得x 2－2tx ＋2(t 2－1)＝0
(*)，
所以x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2(t 2－1),
y 1＋y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ＋⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝－1
2(x 1＋x 2)＋2t ＝t ， y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫－12x 1＋t ⎝⎛⎭⎫－12x 2＋t ＝14x 1x 2－t 2(x 1＋x 2)＋t 2＝1
2(t 2－1)，(13分) 故P A →·PB →
＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝5
2
(t 2－2t ＋1)＝0 , (15分) 解得t ＝1，此时方程(*)中Δ>0，故所求直线方程为
y ＝－1
2
x ＋1.(16分)
19. 解：(1) ∵ a 1，a 3＋2，a 5－5成等差数列， ∴ 2(a 3＋2)＝a 1＋a 5－5.
又a 1＝1，公比为q ，∴ 2(q 2＋2)＝1＋q 4－5， 即q 4－2q 2－8＝0，∴ q 2＝4，∴ q ＝±2.
∵ a n >0，∴ q ＝2，∴ a n ＝2n －
1.(4分)
(2) ∵ a 2a 4n －2＝a 4n ，数列{a n }是首项为a ，公比为q 的等比数列，∴ a 22n ＝a 4n
.
又a n >0，∴ a 2n ＝a 2n ，∴ a ·q 2n －
1＝a 2n ， ∴ q ＝a ，∴ a n ＝a n .(6分)
① 假设{a n }中存在三项a r ，a q ，a p (p >q >r )成等差数列，则2a q ＝a p ＋a r .
∵ a ＝2，∴ 2·2q ＝2p ＋2r ，∴ 2q －r ＋1＝2p －
r ＋1.
∵ q －r ≥1，p －r ≥2，q －r ，p －r 均为正整数，∴ 2q －r ＋1为偶数，2p －
r ＋1为奇数，
∴ 2q －r ＋1≠2p －
r ＋1，矛盾，
故{a n }中不存在三项成等差数列．(10分) ② ∵ a n ＝a n ，∴ b n ＝a n lg a n ＝na n lg a . ∵ b n ＋1>b n 恒成立，
∴ (n ＋1)a n ＋
1lg a >na n lg a 恒成立，显然a ≠1.
当0<a <1时，由(n ＋1)a n ＋
1lg a >na n lg a ，
得a <1－1n ＋1
恒成立，∴ 0<a <1
2；
当a >1时，由(n ＋1)a n ＋
1lg a >na n lg a ，
得a >1－1
n ＋1
恒成立，∴ a >1.
综上所述，a 的取值范围是(0，1
2
)∪(1，＋∞)．(16分)
20. (1) 解：举例：函数f (x )＝1是“超导函数”， 因为f (x )＝1，f ′(x )＝0，
满足f (x )≥f ′(x )对任意实数x 恒成立， 故f (x )＝1是“超导函数”. (4分)
(注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分) (2) 证明：∵ F (x )＝g (x )h (x )，
∴ F ′(x )＝g ′(x )h (x )＋g (x )h ′(x )，
∴ F (x )－F ′(x )＝g (x )h (x )－g ′(x )h (x )－g (x )·h ′(x )＝[g (x )－g ′(x )][h (x )－h ′(x )]－g ′(x )h ′(x )． ∵ 函数g (x )与h (x )都是“超导函数”，
∴ 不等式g (x )≥g ′(x )与h (x )≥h ′(x )对任意实数x 都恒成立， 故g (x )－g ′(x )≥0，h (x )－h ′(x )≥0 ①，
而g (x )与h (x )一个在R 上单调递增，另一个在R 上单调递减，故g ′(x )h ′(x )≤0 ②， 由①②得F (x )－F ′(x )≥0对任意实数x 都恒成立， ∴ 函数F (x )＝g (x )h (x )是“超导函数”．(10分) (3) 解：∵ φ(1)＝e ，
∴ 方程φ(－x －ln x )＝e －x －
ln x 可化为φ（－x －ln x ）e －x －
ln x
＝φ（1）e 1， 设函数G (x )＝φ（x ）
e x
，x ∈R ，
则原方程即为G (－x －ln x )＝G (1) ③.
∵ y ＝φ(x )是“超导函数”，∴ φ(x )≥φ′(x )对任意实数x 恒成立，而方程φ(x )＝φ′(x )无实根，
故G ′(x )＝φ′（x ）－φ（x ）
e x
<0恒成立，
∴ G (x )在R 上单调递减，
故方程③等价于－x －ln x ＝1，即x ＋1＋ln x ＝0， 设H (x )＝x ＋1＋ln x ，x ∈(0，＋∞)，
则H ′(x )＝1＋1
x
>0在(0，＋∞)上恒成立，
故H (x )在(0，＋∞)上单调递增，
而H ⎝⎛⎭⎫1e 2＝1e 2－1<0，H ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e
>0， 且函数H (x )的图象在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上连续不间断，
故H (x )＝x ＋1＋ln x 在⎣⎡⎦⎤1e 2，1e 上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根．(16
分)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)
21. A . 解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，故A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1002.(10分) B. 解：曲线C ：ρ＝2sin θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，∴ 曲线C 是以(0，1)为圆心，1为半径的圆．(1分)
由题可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ，则圆心到直线l 的距离d ＝11＋k 2
.(4分)
∵ AB ＝2r 2－d 2，∴ 3＝21－11＋k
2，即k 2＝3，解得k ＝±3，∴ 直线l 的方程为y ＝±3x .(10分)
C. 解：当x ≤－2时，不等式化为(2－x )＋x (－x －2)＞2，
解得－3＜x ≤－2；(3分)
当－2＜x ＜2时，不等式化为(2－x )＋x (x ＋2)＞2，
解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；(6分)
当x ≥2时，不等式化为(x －2)＋x (x ＋2)＞2，
解得x ≥2，(9分)
所以原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}．(10分)
22. 解：(1) 先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法，
所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12(种)不同的阵容．(2分)
(2) ξ的可能取值是0，2，3，4，5，7. P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343
， P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343
. ξ
(8分)
所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343
＝3.(10分) 23. 解：(1) 将点(2，1)代入抛物线C 的方程得p ＝2，
所以抛物线C 的标准方程为x 2＝4y.(2分)
(2) 设直线l 的方程为y ＝kx －1，
又设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则A′(－x 1，y 1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝kx －1
得x 2－4kx ＋4＝0，
则Δ＝16k 2－16＞0，
x 1＝2k －2k 2－1，x 2＝2k ＋2k 2－1，
所以k A ′B ＝y 2－y 1x 2－（－x 1）＝x 224－x 214x 1＋x 2
＝x 2－x 14， 于是直线A′B 的方程为y －x 224＝x 2－x 14
(x －x 2)， 所以y ＝x 2－x 14(x －x 2)＋x 224＝k 2－1x ＋1， 当x ＝0时，y ＝1，所以直线A′B 过定点(0，1)．(10分)。