2018学年数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数

[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0
D ．以上都有可能
解析：由题意，知在区间[a ，b ]上，有m ≤f (x )≤M ，当M ＝m 时，令M ＝m ＝C ，则必有f (x )＝C ，∴f ′(x )＝C ′＝0.故选A.
答案：A
2．函数y ＝ln x
x 的最大值为( )
A ．e －
1
B ．e
C ．e 2
D.103
解析：y ′＝1x
·x －ln x x 2＝1－ln x x 2(x >0)，
令y ′＝0，得x ＝e. ∴当0<x ≤e 时，y ′≥0，y ＝
ln x
x
为增函数； 当x >e 时，y ′<0，y ＝ln x
x
为减函数．
∴y ＝ln x x 在(0，＋∞)上的最大值为y max ＝ln e e ＝1e .
答案：A
3．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[－π
2，0]上的最小值是( )
A ．－π2
B ．2 C.π
6
＋ 3 D.π
3
＋1 解析：f ′(x )＝1－2sin x ， ∵x ∈[－π
2
，0]，
∴sin x ∈[－1,0]，∴－2sin x ∈[0,2]．
∴f ′(x )＝1－2sin x >0在[－π
2，0]上恒成立，
∴f (x )在[－π
2
，0]上单调递增．
∴f (x )min ＝f (－π2)＝－π2＋2cos(－π2)＝－π
2
.
答案：A
4．已知函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A ．m ≥3
2
B ．m >32
C ．m ≤3
2
D ．m <32
解析：因为函数f (x )＝1
2x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3.经检验知x ＝3
是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －27
2.不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，
所以3m －272≥－9，解得m ≥3
2
.
答案：A
5．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为15
4，则a 等于( )
A ．－32
B.12 C ．－12
D.12或－32
解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．
当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－3
2(舍去)．
答案：C
6．函数f (x )＝x －ln x ，x ∈[1
e ，e]的最大值为________．
解析：f ′(x )＝1－1
x ，x >0.
由f ′(x )＝0，得x ＝1.
又f (1)＝1，f (1e )＝1
e ＋1，
f (e)＝e －1，
∵f (1e )－f (e)＝2＋1e －e<2＋1
2－e<0， ∴f (1
e )<
f (e)，f (x )最大值为f (e)＝e －1. 答案：e －1
7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．
解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m 2.由题设得m
2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．
答案：[－4，－2]
8．已知函数f (x )＝2ln x ＋a
x 2(a >0)．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________．
解析：f (x )≥2即a ≥2x 2－2x 2ln x . 令g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，x >0，
则g ′(x )＝2x (1－2ln x )．由g ′(x )＝0得x ＝e 1
2，
且0<x <e 12时，g ′(x )>0；当x >e 1
2时g ′(x )<0，
∴x ＝e 12时g (x )取最大值g (e 1
2)＝e ，∴a ≥e.
答案：[e ，＋∞)
9．已知f (x )＝ax 3＋bx 2－2x ＋c 在x ＝－2时有极大值6，在x ＝1时有极小值，求a ，b ，c 的值；并求f (x )在区间[－3,3]上的最大值和最小值．
解析：f ′(x )＝3ax 2＋2bx －2，由条件知 ⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′(－2)＝12a －4b －2＝0，f ′(1)＝3a ＋2b －2＝0，f (－2)＝－8a ＋4b ＋4＋c ＝6.
解得a ＝13，b ＝12，c ＝83
.
f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋8
3
，f ′(x )＝x 2＋x －2，
由上表知，在区间[－3,3]上，当x ＝3时，f (x )max ＝616
， x ＝1时，f (x )min ＝32
.
10．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为1
2，求a 的值．
解析：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －1
2－x
＋a .。