2018-2019学年江苏省扬州中学高二数学下学期4月月考(理科)试卷含答案

江苏省扬州中学2018—2019学年第二学期月考考试 高二（理）数学 2019.4
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．写出命题“2
,10x C x ∀∈+>”的否定：_____________________ 2．计算
()()12i i i
++的结果为__________。

3．“z z =”是“z 为实数”的______________条件（选填：充要、充分不必要、必要不充分，既不充分又不必要）
4．若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++（i 为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则
__________z =
5．五名同学站成一排，甲不站在正中间，则不同的站法有 （用数字作答）． 6. 设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈
则2019()f x = . 7.用数学归纳法证明不等式
111
11231
n n n ++⋅⋅⋅≥+++(n ∈N,n ≥2) 从n =k 到n =k +1时，左边的项数增加了_____项．
8. 四位外宾参观某校，需配备两名安保人员．六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，则六人的入门顺序共有 种不同的安排方案（用数字作答）． 9. 函数()ln x
f x x
=
的单调递增区间是 ． 10．在ABC Rt ∆中，若,,,900
a BC
b AC C ===∠则三角形ABC 的外接圆半径
2
2
2b a r +=，把此结论类比到空间，空间三条侧棱互相垂直的四面体，三条侧棱长
分别为c b a ,,，则此三棱锥外接球的半径是r =_____________。

11．若数列{}n a 的通项公式)()1(1
2
+∈+=
N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，
试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f
12．若已知x C 10=28-x C +18-x C +3
29-x C ，则x =
13．已知函数()3
1f x x x =++,若对任意的x ,都有()
()22f x a f ax ++>,则实数a 的
取值范围是__________．
14．对于各数互不相等的正数数组（i 1，i 2，…，i n ）（n 是不小于2的正整数），如果在p ＜q 时有i p ＜i q ，则称“i p 与i q ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺序数”是4，则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是 .
二、解答题（本大题共6道题，共计90分） 15．（1）已知命题；命题
函数
在区间
上
为减函数．若命题“”为真命题，“
”为假命题，求实数的取值集合；
（2）若集合
，
}，
是
的
充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．已知z 、ω为复数，(13)i z +为实数，ω=,||2且z
i
ω=+ （1）求|z |； （2）求ω。

17．如图，在四棱锥
中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ，
，
，
M 是棱PD 上一点，且
，
．
当λ=1
3时，求直线AM 与PC 所成角的余弦值；
当
时，求二面角
的大小．
19．设实数a≤1，数列{x n}满足：x0=0，
+1=1-n x
n
x ae(这里n为任意自然数，e为自然对数的底数)
（1）求x1，x2，并分别判断x1，x2与0大小关系；
（2）根据（1）的结论猜想x n（n为任意自然数）与0的大小关系，并用数学归纳法证明你的猜想。

20．已知函数，，其中且，．
（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；
（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；
（3）若，记函数，若，使
，求k的取值范围．
命题人：王祥富 唐一良
【参考解答】
1．2
,10x C x ∃∈+≤ 2．3i - 3．充要 4．3
5．96 6．sin x 7．2 8．48 9． (]0,e 或（0，e ） 10．
a 2+
b 2+
c 2
2
11．
2
22
n n ++ 12． 3或4
13．解析：构造函数()()1g x f x =-,则()g x 是奇函数,是R 上的增函数,所以原不等式变为()
()20g x a g ax ++>,所以()
()2g x a g ax +>-,即20x ax a ++>恒成立, 所以240a a ∆=-<,解得：04a <<,故填()0,4.
14．解析：根据题意，各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5）的“顺
序数”是4，假设a 1＜a 2，a 1＜a 3，a 1＜a 4，a 1＜a 5，且后一项都比前一项小， 因此可以判断出a 2＞a 3，a 3＞a 4，a 4＞a 5， 则（a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“顺序数”是6， 15．解：（1）若命题“”为真命题，“
”为假命题，
则
，一个为真命题，一个为假命题，
即，同时为真命题或同时为假命题， 若，同时为真命题， 则当时，不等式等价为，不满足条件．
当
时，要使不等式恒成立，则
，得
，即
；
若函数在区间上为减函数，则，即，
若，同时为真命题，则，此时无解 若，同时为假命题，则，得．
即实数的取值范围是
．
（2），
，
若是的充分不必要条件，
则A B,即或（舍）
即实数的取值范围是．
17．以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，2，，0，，
设y，，则，，
，
当时，，，
，
直线AM与PC所成角的余弦值为．
2，，，
当时，，解得，
此时，1，，，
设平面MAC的一个法向量y，，
则，取，得，
又平面BAC的一个法向量0，，
，
由图象得二面角是钝二面角，
二面角
的大小为
．
19.解：（1）由01=11-=-x
x ae a ≥0，
x 2=11-11-=-x a ae ae ，
当a ≤0，则x 2≥1≥0成立
当1≥a >0时，由e x
≥x +1（*）得e a -1
≥a >0, x 2=11-11-=-x
a ae ae =1--1a a e
≥1-a
a =0成立 补证（*）设函数f (x )= e x
-x -1, f ’(x )= e x
-1=0，得x =0
当x >0时，f ’(x )>0，f (x )递增；当x <0时，f ’(x )<0，f (x )递减。

所以，f (x )有最小值f (0)=0，即f (x ) ≥0恒成立。

（2）猜想：x n ≥0对n 为任意自然数成立，
当a ≤0时，对于任意自然数n 有+1=1-n x
n x ae =1()+-n x
a e ≥1≥0成立，
故将命题加强为：
当0<a ≤1时，对于任意自然数n 有0 ≤x n ≤-ln a （右端由递推性证明分析得到），并用数
学归纳法证明之。

①当n=0时，命题显然成立；
②假设n=k时，命题成立，即0≤x k≤-ln a，所以1≤k x e≤1 a
所以，0≤
+1=1-k x
k
x ae≤1-a
又由（1）中证得e x≥x+1，所以e a-1≥a-1+1=a，即a-1≥ln a，所以1-a≤-ln a
所以，0≤
+1=1-k x
k
x ae≤1-a≤-ln a成立。

由①②可知，原命题成立。

20．（1）因为，所以
令，得
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以为的极值点
因为，，所以函数的极值点为
因为函数与有相同的极值点，所以
所以
（2）由题意，所以
因为，所以
令，得
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增；
所以为的极值点
因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点
取满足且
则
因为且，所以
所以，又在上连续且单调
所以在上有唯一零点
综上，函数有两个不同的零点
（3）时，
由，使，则有
由于
①当时，，在上单调递减
所以
即，得
②当时，，在上单调递增
所以，即，得
③当时，
在上，，在上单调递减；
在上，，在上单调递增；
所以，即（*）
易知在上单调递减
故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或。