山东省青岛市平度官庄中学2020-2021学年高一数学理模拟试题含解析

山东省青岛市平度官庄中学2020-2021学年高一数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知且，则的值为（）
A. 5
B.
C.
D. 225
参考答案：
B
2. 下列函数中，最小值为4的是（）
A． B.
C． D.
参考答案：
C
3. 圆和圆的公切线条数
A．1条B．2条 C．3条D．4条
参考答案：
B
4. 三个数之间的大小关系是
A.a<c<b
B.a<b<c
C. b<a<c
D. b<c <a
参考答案：
C
略
5. 设a=log3，b=（）0.2，c=2，则（）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 参考答案：
A
【考点】对数值大小的比较；指数函数单调性的应用．
【分析】易知a＜0 0＜b＜1 c＞1 故 a＜b＜c
【解答】解析：∵由指、对函数的性质可知：，，
∴有a＜b＜c
故选A．
6. 用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）
A. 3米
B. 4米
C. 6米
D. 12米
参考答案：
A
主要考查二次函数模型的应用。

解：设隔墙长度为，则矩形另一边长为=12－2，矩形面积为=（12－2）
=，0<<6，所以=3时，矩形面积最大，故选A。

7. 已知函数f（x）=sin（πx﹣）﹣1，则下列命题正确的是（）
A．f（x）是周期为1的奇函数
B．f（x）是周期为2的偶函数
C．f（x）是周期为1的非奇非偶函数
D．f（x）是周期为2的非奇非偶函数
参考答案：
B
【考点】H3：正弦函数的奇偶性；H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】直接求出函数的周期，化简函数的表达式，为一个角的一个三角函数的形式，判定奇偶性，
即可得到选项．
【解答】解：因为：T==2，且f（x）=sin（πx﹣）﹣1=﹣cosπx﹣1，
因为f（﹣x）=f（x）
∴f（x）为偶函数．
故选B．
8. 直线y=k（x﹣1）与A（3，2）、B（0，1）为端点的线段有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，3] C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
参考答案：
D
【考点】直线的斜率．
【分析】求出直线y=k（x﹣1）过定点C（1，0），再求它与两点A（3，2），B（0，1）的斜率，即可取得k的取值范围．
【解答】解：y=k（x﹣1）过C（1，0），
而k AC==1，k BC==﹣1，
故k的范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
故选：D．
9. 如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于( )
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
参考答案：
B
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC=BC，再用PQ是
△EFC中位线，PQ=CF，即可求得答案．
【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE=BC，AE=BE，AD=CD，
∴∠EDB=∠DBF，
∵P、Q是BD、CE的中点，
∴DP=BP，
∵在△DEP与△BFP中，∠EDB=∠DBF，DP=BP，∠EPD=∠BPF，
∴△DEP≌△BFP（ASA），
∴BF=DE=BC，P是EF中点，
∴FC=BC，
PQ是△EFC中位线，PQ=FC，
∴PQ：BC=1：4．
故选：B．
【点评】本题考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理的合理运用．
10. 过点且与直线平行的直线方程是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，则▲，
▲ .
参考答案：
，
；.
12. 某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有___人
参考答案：
16
【分析】
利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案．
【详解】由题意，可知共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人，
通过分层抽样从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为人．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13. 已知集合若A中至多有一个元素，则a的取值范围是_________.
参考答案：
略
14. （3分）已知全集U=R，A={x|x≥2}，则?U A= ．
参考答案：
{x|x＜2}
考点：补集及其运算．专题：集合．
分析：由全集U=R，以及A，求出A的补集即可．
解答：∵全集U=R，A={x|x≥2}，
∴?U A={x|x＜2}，
故答案为：{x|x＜2}
点评：此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．
15. 记等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则d= ，
S6= ．
参考答案：
3，48．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵，∴ +d=20，解得d=3．
∴S6==48．
故答案为：3，48．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16. 在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则·=．参考答案：
﹣
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得=1，再根据=（）?（﹣
），运算求得结果．
【解答】解：由题意可得=2×1×cos60°=1，
∴=（）?（+）=（）?（﹣）=﹣++
=﹣×4+×1+1=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．
17. 函数的部分图象如图所示，则
的值等于
.
参考答案：
2+2
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知为公差不为零的等差数列，首项，的部分项、
、…、恰为等比数列，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
参考答案：
（1）为公差不为，
由已知得，，成等比数列，
∴，又………………1分
得……………………………2分
所以. ……………………………5分
（2）由（1）可知∴…………7分
而等比数列的公比，……………9分
∴=，
∴即……………11分
∴
……………………………14分
19. 已知等差数列{a n}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b1=a1，b4=a15，求{b n}前n项和T n．
参考答案：
【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通
项公式得答案；
（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{b n}前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由已知条件得：
，解得．
代入等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设{b n}的公比为q，则，从而q=2，
故{b n}的前n项和．
20. 已知函数的两零点为.
(Ⅰ)当时，求的值；
(Ⅱ)恒成立，求a的取值范围．
参考答案：
解法一：
(I)令，得，
不妨设，解得，
，
所以.
(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，
(1)当即时，，符合题意；
(2)当，即时，
，故；
综合(1)(2)得.
解法二：
解(I)令，得，
根据一元二次方程根与系数的关系得，
，
，
故，
(II)图象是开口向上，对称轴为为抛物线，因为函数的图象过定点.
结合二次函数图象，原题意等价于.
解得.
解法三：
解(I)同解法一.
(II)当时，成立.
当，恒成立等价于.
考察函数，
在时，单调递减，故，故.
21. 若，试求的取值范围.
参考答案：
（1）解得〈a〈
（2）解得a无解
（3）解得a
综上得｛a︱〈a〈或a｝
22. 已知数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，且，，成等差数列.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，记数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式的最大正整数n的值. 参考答案：
（1）由题意得，
∴，即，解得或.
又，于是，
∴.
（2），
，
.
两式相减得：，
，
∴.
∴转化为，∴.
∴正整数的最大值为.。