2020版高考数学一轮复习第三章第三节导数与函数的极值、最值课件文

第三节
导数与函数的极值、 最值
教 材 研 读
1.函数的极值与导数 2.函数的最值与导数
考 点 突 破
考点一 考点二
利用导数研究函数的极值 利用导数求函数的最值
考点三 利用导数求解函数的极值和最值的综合问题
教材研读
1.函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值
象如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( D )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
答案 D
解析 由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f '(x)>0;当-2<x<1时,0<1-x<3,此 时f '(x)<0;当1<x<2时,-1<1-x<0,此时f '(x)<0;当x>2时,1-x<-1,此时f '(x)>0, 函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数y=f(x)的极大
极大值和极小值统称为极值.
▶提醒 f '(x0)=0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3, f '(0)=0,但x=0不是极值点.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 一般地,如果在区间[a,b]上,函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那 么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,
a 所以f '(1)=0,即1- =0,解得a=e. e a (2)f '(x)=1- x , e
当a≤0时,f '(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.
当a>0时,令f '(x)=0,得ex=a,即x=ln a, 当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;
(i)求函数y=f(x)在(a,b)内的⑦ 极值 ;
(ii)将函数y=f(x)的各极值与⑧ 端点处 的函数值f(a)、 f(b)比较,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”) (1)函数的极大值不一定比极小值大. ( √ ) ✕ )
(2)对可导函数f(x),f '(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. ( (3)函数的极大值一定是函数的最大值. ( ✕ )
1 1 1 0, 内单调递增,可得当x∈(0,1)时, 当0<a< 时, >1,由(i)知f '(x)在 2 2a 2a
1 时, f '(x)>0. f '(x)<0,当x∈ 1, 2a
1 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在 1, 内单调递增, 2a
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
1 1 当a= 时, =1, f '(x)在(0,1)内单调递增, 2 2a
在(1,+∞)内单调递减, 所以当x∈(0,+∞)时, f '(x)≤0, f(x)单调递减,不合题意.
1 1 当a> 时,0< <1, 2 2a 1 时, f '(x)>0, f(x)单调递增, 当x∈ ,1 2a
5.函数f(x)=ex+ln x在(0,1]上的最大值为
答案 e 解析
.
1 因为x∈(0,1],所以f '(x)=e + >0,所以f(x)在(0,1]上是增函数,所以 x
x
f (x)max=f(1)=e.
考点突破
利用导数研究函数的极值
命题方向一 根据函数的图象判断极值 典例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f '(x),且函数y=(1-x)f '(x)的图
命题方向二 求函数的极值
典例2
a 已知函数f(x)=x-1+ e x (a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; (2)求函数f(x)的极值.
解析
a a (1)由f(x)=x-1+ x ,得f '(x)=1- x . e e
x (-∞,k-1) k-1 (k-1,+∞)
f '(x)
f(x)
↘
0
-e
k-1
+
↗
所以, f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0), f(0)=-k; 当0<k-1<1,即1<k<2时, 由(1)知f(x)在[0,k-1)上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,
当a≤0时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;
1 当a>0时,若x∈ 0, ,则g'(x)>0,函数g(x)单调递增, 2a 1 若x∈ , ,则g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 2a
所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);
的闭区间[a,b]含有参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断
函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
2-1
a ln x 设n∈N ,a,b∈R,函数f(x)= n +b,已知曲线y=f(x)在点(1,0)处的切 x
答案 C 设f '(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x
1
、x2、x3、x4.
当x<x1时, f '(x)>0, f(x)为增函数, 当x1<x<x2时, f '(x)<0, f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大 值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= ( D )
∴由f '(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,
得x=0或x=1或x=-1. 又当x<-1时,f ‘(x)<0,当-1<x<0时,f '(x)>0, 当0<x<1时, f ‘(x)<0,当x>1时,f '(x)>0, ∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点.
1-2 (2019东北四校联考)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极
A.-4 B.-2 C.4 D.2 答案 D 由题意可得f '(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
令f '(x)=0,得x=-2或x=2,
则f '(x), f(x)随x的变化情况如下表:
x f '(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 (-2,2) ↘ 2 0 极小值 (2,+∞) + ↗
小值,则实数a的取值范围是 ( B ) A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞) C.(-3,6)
D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
答案 B ∵f '(x)=3x2+2ax+a+6,由已知可得f '(x)=0有两个不相等的实 数根,∴Δ=4a2-4×3(a+6)>0,即a2-3a-18>0,∴a>6或a<-3.
当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0,
所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, 在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)= ln a,无极大值. 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极
1 1 0, , 当a>0时,g(x)的单调增区间为 ,单调减区间为 . 2a 2a
(ii)由(i)知,当a≤0时, f '(x)单调递增,
所以当x∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时, f '(x)>0, f(x)单调递增. 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
① 都小 , f '(a)=0,而且在点x=a附近的左侧② f '(x)<0 ,右侧
③ f ' (x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小 值.
(2)函数的极大值
若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值 ④ 都大 , f '(b)=0,而且在点x=b附近的左侧⑤ f '(x)>0 ⑥ f ' (x)<0 值, ,右侧
利用导数求函数的最值
典例4 (2018山东济南质检)已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
解析 (1)f '(x)=(x-k+1)ex. 令f '(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f '(x)随x的变化而变化的情况如下表:
当x∈(1,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.
1 综上可知,实数a的取值范围为a> . 2
规律总结
函数极值的两类热点问题 (1)求函数f(x)极值的一般解题步骤: ①确定函数的定义域;②求导数f '(x);③解方程f '(x)=0,求出函数定义域 内的所有根;④列表检验f '(x)在f '(x)=0的根x0左右两侧值的符号.
(4)开区间上的单调连续函数无最值. (
答案 (1)√ (2)✕ (3)✕ (4)√
√
)
2.函数f(x)的定义域为R,导函数 f’(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( C )
A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点
∴函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=2.故选D.
4.函数y=xex的最小值是 ( C )
A.-1 B.-e
1 C.- e
D.不存在
答案 C ∵y=xex,∴y'=ex+xex=(1+x)ex.当x>-1时,y'>0;当x<-1时,y'<0.∴
1 当x=-1时函数取得极小值,即最小值,且ymin=- .故选C. e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.
规律总结
求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路 (1)若所给的闭区间[a,b]不含有参数,则只需对函数f(x)求导,并求f '(x)=0 在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f (a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.(2)若所给
大值.
命题方向三 已知函数的极值求参数
典例3
m (1)(2018山东泰安检测)已知函数g(x)=ln x-mx+ 有两个极值点, x
则m的取值范围为
.
(2)设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R. (i)令g(x)=f '(x),求g(x)的单调区间; (ii)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
答案
1 (1) 0, 2
解析
1 m x mx 2 m mx 2 x m (1)g'(x)= -m- =- 2 , 2 2 = x x x x
令h(x)=mx2-x+m,
要使g(x)存在两个极值点x1,x2,
则方程mx2-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x2.
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领:
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系 数法求解. ②验证:求解后验证根的合理性.
1-1 函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是 ( C )
A.x=1 B.x=-1 D.x=0
C.x=1,x=-1,x=0
答案 C ∵f(x)=x4-2x2+3,
h(0) 0, 1 1 0, 故只需满足 2m 解得0<m< . 2 1 h 2m 0,
(2)(i)由f '(x)=ln x-2ax+2a,
可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).
1 2ax 1 则g'(x)= -2a= . x x