中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析(1)

中考数学备考之二次函数压轴突破训练∶培优篇及答案解析(1)
一、二次函数
1．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=13x ﹣4
3
与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=3
2
． （1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2
﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为
（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【解析】 【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=3
2
列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y
Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可． 【详解】
（1）当y=0时，
14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32
，得16120
3322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
，
解得14
a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2
﹣3x ﹣4；
（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=
13
x ． ∵点P 是直线1上任意一点，
∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ． 又∵PE=3PF ， ∴
PC PB
PF PE
=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°， ∴∠FPC+∠CPE=90°， ∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ， ∴OF=20﹣3a ． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形， ∴
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2
﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）． ∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18， ∴OF=3a ﹣20． ∴F （0，20﹣3a ）． ∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22y y y y
Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0， ∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ．
将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2
﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）． ∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）． 【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
2．某厂家生产一种新型电子产品，制造时每件的成本为40元，通过试销发现，销售量(y 万件)与销售单价(x 元)之间符合一次函数关系，其图象如图所示．
()1求y 与x 的函数关系式；
()2物价部门规定：这种电子产品销售单价不得超过每件80元，那么，当销售单价x 定为每件多少元时，厂家每月获得的利润()w 最大？最大利润是多少？
【答案】（1）2280y x =-+；（2）当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【解析】 【分析】
()1根据函数图象经过点()40,200和点()60,160，利用待定系数法即可求出y 与x 的函数
关系式；
()2先根据利润=销售数量(⨯销售单价-成本)，由试销期间销售单价不低于成本单价，
也不高于每千克80元，结合电子产品的成本价即可得出x 的取值范围，根据二次函数的增减性可得最值． 【详解】
解：()1设y 与x 的函数关系式为()0y kx b k =+≠， 函数图象经过点()40,200和点()60,160，
{
40200
60160k b k b +=∴+=，解得：{
2
280k b =-=，
y ∴与x 的函数关系式为2280y x =-+．
()2由题意得：()()224022802360112002(90)5000w x x x x x =--+=-+-=--+．
试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克80元，且电子产品的成本为每千克40元，
∴自变量x 的取值范围是4080x ≤≤．
20-<，
∴当90x <时，w 随x 的增大而增大， 80x ∴=时，w 有最大值， 当80x =时，4800w =，
答：当销售单价x 定为每件80元时，厂家每月获得的利润()w 最大，最大利润是4800元． 【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键，并注意最值的求法．
3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；
（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；
②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
y x 2x 3=--+.
（2）. （3）①2S m 4m 3=---.
②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.
（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.
（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】
解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.
又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称， ∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.
∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴，.
∴△PBC 的周长最小是：.
（3）①∵抛物线2
y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），
∴直线AD 的解析式为y=2x+6
∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()2
2
EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.
∴
()
22DEF AEF 1111
S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 3
2222
∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.
∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()2
2S m 4m 3m 21=---=-++，
∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.
4．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．
（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；
（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M ，使△ANM 的周长最小．若存在，请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2
﹣2x +3；y ＝﹣x +1；（2）当x ＝﹣
1
2
时，△APC 的面积取最大值，最大值为
278
，此时点P 的坐标为（﹣12，15
4）；（3）在对称轴上存在一点M （﹣1，
2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为 【解析】 【分析】
（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣
32x 2﹣3
2
x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论． 【详解】
（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2
+bx +c ，得：
10423b c b c -++=⎧⎨
--+=⎩，解得：2
3b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：
023m n m n +=⎧⎨
-+=⎩，解得：1
1m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．
（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．
设点P 的坐标为（x ，﹣x 2
﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标
为（x ，﹣x +1），
∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝
12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +1
2）2+278
．
∵﹣3
2
＜0，
∴当x＝﹣1
2
时，△APC的面积取最大值，最大值为
27
8
，此时点P的坐标为（﹣
1
2
，
15
4
）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝，AN，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为
+
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关
系式；（2）利用三角形的面积公式找出S △APC ＝﹣
32x 2﹣3
2
x +3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．
5．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线29y ax a =--与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中C （0，3），∠BAC 的平分线AE 交y 轴于点D ，交BC 于点E ，过点D 的直线l 与射线AC ，AB 分别交于点M ，N ．
（1）直接写出a 的值、点A 的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P 为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD 为等腰三角形，求出点P 的坐标； （3）证明：当直线l 绕点D 旋转时，
11AM AN
+均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a =13
-，A 0），抛物线的对称轴为x 2）点P 的坐标为
04）；（3 【解析】
试题分析：（1）由点C 的坐标为（0，3），可知﹣9a =3，故此可求得a 的值，然后令y =0得到关于x 的方程，解关于x 的方程可得到点A 和点B 的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO =60°，依据AE 为∠BAC 的角平分线可求得∠DAO =30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD =1，则可得到点D 的坐标．设点P 的
，a ）．依据两点的距离公式可求得AD 、AP 、DP 的长，然后分为AD =PA 、AD =DP 、AP =DP 三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN 的解析式为y =kx +1，接下来求得点M 和点N 的横坐标，于是可得到AN 的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM 的长，最后将AM 和AN 的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C （0，3），∴﹣9a =3，解得：a =13
-．
令y =0得：290ax a --=，∵a ≠0，∴290x --=，解得：x =
x =A 0），B （0），∴抛物线的对称轴为x
（2）∵OA OC =3，∴tan ∠CAO CAO =60°．
∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO =30°，∴DO =3
AO =1，∴点D 的坐标为（0，1）．
设点P a ）．
依据两点间的距离公式可知：AD 2=4，AP 2=12+a 2，DP 2=3+（a ﹣1）2
．
当AD =PA 时，4=12+a 2
，方程无解．
当AD =DP 时，4=3+（a ﹣1）2
，解得a =0或a =2（舍去），∴点P 0）．
当AP =DP 时，12+a 2=3+（a ﹣1）2
，解得a =﹣4，∴点P ，﹣4）．
综上所述，点P 04）．
（3）设直线AC 的解析式为y =mx +3，将点A 的坐标代入得：30+=，解得：
m AC 的解析式为3y =+． 设直线MN 的解析式为y =kx +1．
把y =0代入y =kx +1得：kx +1=0，解得：x =1k -，∴点N 的坐标为（1
k
-，0），
∴AN =1
k
-
．
将3y =+与y =kx +1联立解得：x
，∴点M ．
过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G ．则AG
∵∠MAG =60°，∠AGM =90°，∴AM =2AG
+，
∴
11
AM AN + =2． 点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M 的坐标和点N 的坐标是解答问题（3）的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为P （2，9），与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C （0，5）． （Ⅰ）求二次函数的解析式及点A ，B 的坐标；
（Ⅱ）设点Q 在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q′也在抛物线上，求点Q 的坐标；
（Ⅲ）若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，使得以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，且AC 为其一边，求点M ，N 的坐标．
【答案】（1）y=﹣x 2
+4x+5，A （﹣1，0），B （5，0）；（2）Q 3）M
（1，8），N （2，13）或M′（3，8），N′（2，3）． 【解析】 【分析】
(1)设顶点式，再代入C 点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A 和B 点坐标； (2)设点Q （m ，﹣m 2+4m+5），则其关于原点的对称点Q′（﹣m ，m 2﹣4m ﹣5），再将Q′坐标代入抛物线解析式即可求解m 的值，同时注意题干条件“Q 在第一象限的抛物线上”； (3)利用平移AC 的思路，作MK ⊥对称轴x=2于K ，使MK=OC ，分M 点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可. 【详解】
（Ⅰ）设二次函数的解析式为y=a （x ﹣2）2
+9，把C （0，5）代入得到a=﹣1，
∴y=﹣（x ﹣2）2+9，即y=﹣x 2+4x+5，
令y=0，得到：x 2
﹣4x ﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
∴A （﹣1，0），B （5，0）．
（Ⅱ）设点Q （m ，﹣m 2+4m+5），则Q′（﹣m ，m 2
﹣4m ﹣5）． 把点Q′坐标代入y=﹣x 2
+4x+5， 得到：m 2﹣4m ﹣5=﹣m 2
﹣4m+5，
∴
∴Q
（Ⅲ）如图，作MK⊥对称轴x=2于K．
①当MK=OA，NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形．
∵此时点M的横坐标为1，
∴y=8，
∴M（1，8），N（2，13），
②当M′K=OA=1，KN′=OC=5时，四边形ACM′N′是平行四边形，
此时M′的横坐标为3，可得M′（3，8），N′（2，3）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用“一组对边平行且相等”得到平行四边形.
7．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、
，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最
大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：（1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得
，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
∵P点横坐标为t，
∴P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+），
∴PM=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）=﹣t2+t+，
∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=PM•FN+PM•EH=PM•（FN+EH）=（﹣t2+t+）（3+）=﹣（t﹣）+×，
∴当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
∴最大值的立方根为=；
（3）由图可知∠PEA≠90°，
∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°，
①当∠PAE=90°时，如图2，作PG⊥y轴，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA=45°，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴PG=AG，
∴t=﹣t2+2t+3﹣3，即﹣t2+t=0，解得t=1或t=0（舍去），
②当∠APE=90°时，如图3，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，
则PK=﹣t2+2t+3，AQ=t，KE=3﹣t，PQ=﹣t2+2t+3﹣3=﹣t2+2t，
∵∠APQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠KPE，且∠PKE=∠PQA，
∴△PKE∽△AQP，
∴，即，即t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=＜﹣
（舍去），
综上可知存在满足条件的点P，t的值为1或．
考点：二次函数综合题
8．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+6x﹣5；（2）①P点的横坐标为4
或
2
或
②点M的坐标为（
13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C（0，-5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x2+6x-5=0得A（1，0），再判断△OCB为等腰直角三角形得到
∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB为等腰直角三角形，所以
，接着根据平行四边形的性质得到
，PQ⊥BC，作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，利用∠PDQ=45°得到
PQ=4，设P（m，-m2+6m-5），则D（m，m-5），讨论：当P点在直线BC上方时，PD=-m2+6m-5-（m-5）=4；当P点在直线BC下方时，PD=m-5-（-m2+6m-5），然后分别解方程即可得到P点的横坐标；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定N（3，-2），AC的解析式为y=5x-5，E点坐标为（
1
2
，-
5
2
），利用两直线垂直的问题可设直线EM1的解析式为y=-
1
5
x+b，把E（
1
2
，-
5
2
）代入求出b得到直线EM1的解析式为y=-
1
5
x-
12
5
，则解方程组
5
112
55
y x
y x
-
⎧
⎪
⎨
--
⎪⎩
＝
＝
得M1点的坐标；作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x-5），根据中点坐标公式得到3=
13
+
6
2
x
，然后求出x即可得到M2的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5）， 当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），
把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2
+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨
=-⎩，解得1
5a b =-⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2
+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），
∵B （5，0），C （0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形，
∴AM=
2AB=2
， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，
∴PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴=4，
设P （m ，﹣m 2
+6m ﹣5），则D （m ，m ﹣5），
当P 点在直线BC 上方时，
PD=﹣m 2+6m ﹣5﹣（m ﹣5）=﹣m 2+5m=4，解得m 1=1，m 2=4， 当P 点在直线BC 下方时，
PD=m ﹣5﹣（﹣m 2+6m ﹣5）=m 2﹣5m=4，解得m 1=2，m 2=2
，
综上所述，P 点的横坐标为4或
2或2
； ②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6
，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
9．如果一条抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a ，b ，c ]称为“抛物线系数”． (1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b ，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A ，与x 轴交于O ，B 两点，在抛物线上是否存在一点P ，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，使得△BPQ ∽△OAB ？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）假；（2
）3）y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2
－2x ；（4）P （1，1）或P
（－1，－3）或P （1，－3）或（－1，1）． 【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到2
2y x =-，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y ＝－x 2
＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，
0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，
由抛物线顶点为（b ，b 2
），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到
21
22
b b =
⨯，解方程即可得到结论； （4）分两种情况讨论：①当抛物线为y ＝－x 2＋2x 时，②当抛物线为y ＝－x 2
－2x 时．
详解：（1）当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：2
2y x =-，令y =0，得：x
=，∴ S
=
1
22⨯=12
x x ；
（3）依题意：y ＝－x 2
＋2bx ，它与x 轴交于点（0，0）和（2b ，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y ＝－x 2＋2bx =22()x b b --+，∴顶点为（b ，b 2），由直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半得到：2
1
22
b b =
⨯，∴2b b =，解得：b ＝0（舍去）或b ＝±1， ∴y ＝－x 2＋2x 或y ＝－x 2－2x ．
（4）①当抛物线为y ＝－x 2
＋2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2＋2a ），∴Q （（a ，0），
则｜－a 2
＋2a ｜＝｜2－a ｜，即(2)2a a a -=-．
∵a －2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，1）或（－1， －3）． ②当抛物线为y ＝－x 2－2x 时．
∵△AOB 为等腰直角三角形，且△BPQ ∽△OAB ，
∴△BPQ 为等腰直角三角形，设P （a ，－a 2－2a ），∴Q （（a ，0），
则｜－a 2
－2a ｜＝｜2+a ｜，即(2)2a a a +=+．
∵a +2≠0，∴1a =，∴a =±1，∴P （1，－3，）或（－1，1）． 综上所述：P （1，1）或P （－1，－3）或P （1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
10．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣12
x 2
+bx+c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，
5
2
），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5
2
；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣7
2
）． 【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣12（x ﹣2）2+92
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物
线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，9
2
﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，
DP=DC=t ，则P （2+t ，
92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+5
2
得到关于t
的方程，从而解方程可得到CD 的长；
（3）P 点坐标为（4，
92），D 点坐标为（2，5
2
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+5
2
+2）•2=8
当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+5
2
+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，
52）代入y=﹣12
x 2
+bx+c 得 1
0252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得252b c =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5
2
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92
，
∴C （2，
9
2
），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，9
2
﹣t ），
∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ， ∴P （2+t ，
9
2
﹣t ）， 把P （2+t ，
92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=9
2﹣t ， 整理得t 2
﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；
（3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，5
2
），
∵抛物线平移，使其顶点C （2，9
2
）移到原点O 的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P 点（4，92）向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位得到点E ，
∴E 点坐标为（2，﹣2），
设M （0，m ），
当m ＞0时，
12•（m+52
+2）•2=8，解得m=72，此时M 点坐标为（0，7
2）；
当m ＜0时，12•（﹣m+52
+2）•2=8，解得m=﹣72，此时M 点坐标为（0，﹣7
2）；
综上所述，M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
11．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2
y x 2x 3=--；（2）存在，P ）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，3
2
）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】
（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的
顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4， 把B （3，0）代入得：4a ﹣4＝0， 解得a ＝1，
∴y ＝（x ﹣1）2﹣4＝x 2﹣2x ﹣3． （2）存在．
∵OB ＝OC ＝3，OP ＝OP ，
∴当∠POB ＝∠POC 时，△POB ≌△POC ， 此时PO 平分第二象限，即PO 的解析式为y ＝﹣x ．
设P （m ，﹣m ），则﹣m ＝m 2
﹣2m ﹣3，解得m ＝
2
（m ＝2＞0，舍），
∴P ）． （3）①如图，当∠Q 1AB ＝90°时，△DAQ 1∽△DOB ，
∴
1DQ AD
OD DB =，即6，∴DQ 1＝52， ∴OQ 1＝
72，即Q 1（0，-7
2
）； ②如图，当∠Q 2BA ＝90°时，△BOQ 2∽△DOB ， ∴
2OQ OB OD OB =，即2363
OQ =， ∴OQ 2＝
32，即Q 2（0，3
2
）； ③如图，当∠AQ 3B ＝90°时，作AE ⊥y 轴于E ，
则△BOQ 3∽△Q 3EA ，
∴33OQ OB Q E AE =，即333
41
OQ OQ =- ∴OQ 32﹣4OQ 3+3＝0，∴OQ 3＝1或3， 即Q 3（0，﹣1），Q 4（0，﹣3）． 综上，Q 点坐标为（0，-
72）或（0，3
2
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
12．某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系如图所示．
（1）根据图象直接写出y 与x 之间的函数关系式．
（2）设这种商品月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式． （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（1）y ＝180(4060)
3300(6090)
x x x x -+≤≤⎧⎨
-+<≤⎩；（2）W ＝
22
2105400(4060)
33909000(6090)x x x x x x ⎧-+-≤≤⎨-+-<≤⎩
;（3）这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675． 【解析】 【分析】
（1）当40≤x≤60时，设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，当60＜x≤90时，设y 与x 之
间的函数关系式为y=mx+n，解方程组即可得到结论；
（2）当40≤x≤60时，当60＜x≤90时，根据题意即可得到函数解析式；
（3）当40≤x≤60时，W=-x2+210x-5400，得到当x=60时，W最大=-602+210×60-5400=3600，当60＜x≤90时，W=-3x2+390x-9000，得到当x=65时，W最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．
【详解】
解：（1）当40≤x≤60时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
将（40，140），（60，120）代入得
40140 60120
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
1
180 k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+180；
当60＜x≤90时，设y与x之间的函数关系式为y＝mx+n，
将（90，30），（60，120）代入得
9030 60120
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
3
300 m
n
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y＝﹣3x+300；
综上所述，y＝
180(4060) 3300(6090)
x x
x x
-+≤≤
⎧
⎨
-+<≤
⎩
；
（2）当40≤x≤60时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，当60＜x≤90时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，
综上所述，W＝
2
2
2105400(4060) 33909000(6090)
x x x
x x x
⎧-+-≤≤
⎨
-+-<≤
⎩
；
（3）当40≤x≤60时，W＝﹣x2+210x﹣5400，
∵﹣1＜0，对称轴x＝
210
2
-
-
＝105，
∴当40≤x≤60时，W随x的增大而增大，
∴当x＝60时，W
最大
＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，当60＜x≤90时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，
∵﹣3＜0，对称轴x＝
390
6
-
-
＝65，
∵60＜x≤90，
∴当x＝65时，W
最大
＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，
∵3675＞3600，
∴当x＝65时，W
最大
＝3675，
答：这种商品的销售单价定为65元时，月利润最大，最大月利润是3675．【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键．
13．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+5
3
x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣
2）．点E是直线y=﹣1
3
x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．
【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=21
4
，M坐标为（
3
2
，3）；（3）F坐标为（0，﹣
3
2
）．
【解析】
【分析】
1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，确定出二次函数解析式，与一次函数解析式联立求出E坐标即可；
（2）过M作MH垂直于x轴，与直线CE交于点H，四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大，构造出二次函数求出最大值，并求出此时M坐标即可；
（3）令y=0，求出x的值，得出A与B坐标，由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC 与三角形BOF相似，由相似得比例求出OF的长，即可确定出F坐标．
【详解】
（1）把C（0，2），D（4，﹣2）代入二次函数解析式得：
20
162
3
2
a c
c
⎧
++=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
解得：
2
a
3
2
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，即二次函数解析式为y=﹣
2
3
x2+
5
3
x+2，
联立一次函数解析式得：2225
233y x y x x ﹣﹣=+⎧⎪
⎨=++⎪⎩， 消去y 得：﹣
13x+2=﹣23x 2+5
3
x+2， 解得：x=0或x=3， 则E （3，1）；
（2）如图①，过M 作MH ∥y 轴，交CE 于点H ，
设M （m ，﹣23m 2+53m+2），则H （m ，﹣1
3
m+2）， ∴MH=（﹣
23m 2+53m+2）﹣（﹣13m+2）=﹣2
3
m 2+2m ， S 四边形COEM =S △OCE +S △CME =12×2×3+1
2
MH•3=﹣m 2+3m+3， 当m=﹣
a b =32时，S 最大=214，此时M 坐标为（3
2
，3）； （3）连接BF ，如图②所示，
当﹣
23x 2+53x+20=0时，x 1
=4，x 2
=4， ∴
OA=
4，
OB=4
， ∵∠ACO=∠ABF ，∠AOC=∠FOB ， ∴△AOC ∽△FOB ，
∴OA OC
OF OB =
，即4OF = ，
解得：OF=3
2
，
则F坐标为（0，﹣3
2
）．
【点睛】
此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
14．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．。