数学-安徽省江淮十校2018届高三第三次(4月)联考试题(理)(解析版)

安徽省江淮十校2018届高三第三次（4月）联考数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 已知，则关于复数的说法，正确的是（）
A. 复数的虚部为
B.
C. D. 复数所对应的点位于复平面的第四象限
3. 已知函数最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
4. 下列命题中，真命题是（）
A. ，有
B.
C. 函数有两个零点
D. ，是的充分不必要条件
5. 若，，，则（）
A. B. C. D.
6. 若双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程是（）
A. B. C. D.
7. 执行如图所示的程序框图，当输入的时，输出的结果不大于的概率为（）
A. B. C. D.
8. 已知实数，满足不等式组，若直线把不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则（）
A. B. C. D.
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提出如下问题：“今有刍童，下广两丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈，问积几何？”翻译成现代文是“今有上下底面皆为长方形的草垛，下底（指面积较小的长方形）宽丈，长丈；上底（指面积较大的长方形）宽丈，长丈；高丈.问它的体积是多少？”现将该几何体的三视图给出如图所示，则该几何体的体积为（）立方丈.
A. B. C. D.
10. 若直角坐标系内、两点满足：（1）点、都在图象上；（2）点、关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”.已知
函数，则的“和谐点对”有（）
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
11. 设函数，，如果在上恒成立，则的最大值为（）
A. B. C. D.
12. 用种不同的颜色对正四棱锥的条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题
13. 已知，，且，则向量与向量的夹角是__________．
14. 在的展开式中，的系数是__________．
15. 设为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线、之间的距离，记作.若：，：，则__________．
16. 在中，设，分别表示角，所对的边，为边上的高.若，则的最大值是__________．
三、解答题
17. 已知数列的前项的和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项的和.
18. 四棱锥中，，且平面，，，是棱
的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
19. 近年电子商务蓬勃发展，年某网购平台“双”一天的销售业绩高达亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出次
成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对快递的满意率为，
其中对商品和快递都满意的交易为次.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？
（2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.
附：（其中为样本容量）
20. 已知离心率为的椭圆焦点在轴上，且椭圆个顶点构成的四边形面积为，过点
的直线与椭圆相交于不同的两点、.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，且（为坐标原点）.求当时，实数的取值
范围.
21. 已知函数.
（1）若在点处的切线与直线垂直，求函数的单调递减区间；（2）若方程有两个不相等的实数解、，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.
23. 设函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集是，求正整数的最小值.
【参考答案】
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】，，则，故选C.
【解析】依题意，则，故，故，故复数z的虚部为4，，，复数z所对应的点（-5，4）位于复平面的第二象限，综上所述，故选B
3. 【答案】A
【解析】，所以
，从而选A.
4. 【答案】D
【解析】x=0时ln x=0,A错误；当sin x=-1时，，B错误；有三个零点，x=2,4,还有一个小于0，C错误；当，时，一定有，但当，时，也成立，故D正确,选D.
5. 【答案】A
【解析】，，，.选A.
6. 【答案】C
【解析】，所以渐近线的方程为，故选C.
7.【答案】C
【解析】由程序框图可知，当输入x时，输出结果为，所以当，，所以输出的结果不大于75的概率，故选C. 8. 【答案】B
【解析】不等式组对应平面区域是以A(-1,0),B(1,-1),C(0,2)为顶点的三角形（如图），因为过定点A（-1，0），由题意直线过BC的中点E，所以斜率，选B.
【解析】将几何体上底面的4个顶点投影在下底面，连接垂足和下底的顶点，将几何体分割，中间为一个长方体（体积），每个侧面都可以分割为2个三菱锥和1个三菱柱，体积为，所以几何体体积为.选A.
10. 【答案】B
【解析】作出函数（）的图像关于原点对称的图像，看它与函数的交点个数即可，观察可得交点个数为2.选B.
11. 【答案】D
【解析】，令得，
取，，则恒成立，所以可以取得最大值，选D.
12. 【答案】C
【解析】从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色，有=360种不同的方案，接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数.
不使用新的颜色，有2种颜色分类方案；
使用1种新的颜色，分为2类；
第一类，染一条边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案.
使用2种新的颜色，分为4类；
第一类，染两条邻边，有种方案；第二类，染两条对边，有种方案；第三类，染三条边，有种方案；第四类，染四条边，有2种方案.
因此不同的染色方案总数为,选C.
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】,填.
14.【答案】
【解析】，填165.
15.【答案】
【解析】的图像关于对称，所以只需求出曲线上的点到的距离的最小值，对应的函数为，所以斜率为1的切线方程对应的切点为（1，），从而切线方程为，与的距离为，所以
,填.
16.【答案】
【解析】有题设条件，所以，又
所以，得，其中，令，则，所以的最大值是.
三、解答题
17.解：（1），，所以，
得.
（2），所以，
所以.
错位相减得，
.
所以.
18.（1）证明：取中点，连接、，
∵是中点，∴，且.
又因为，∴.又∵，∴，∴四边形是平行四边形.∴，又，∴是等边三角形，∴，∵平面，，∴
平面，∴，∴平面，∴平面.
（2）解：取中点，则，平面，以为原点建立如图所示的直角坐标系.
各点坐标为，，，，，.
可得，，，；
设平面的法向量，则得，
取，
设平面的法向量，则得，
取，
于是，
注意到二面角是钝角，因此，所求二面角的余弦值就是.
19.解：（1）列联表：
，
由于，所以没有的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”.（2）每次购物时，对商品和快递都满意的概率为，且的取值可以是，，，.
；；
；.
的分布列为：
所以.
或者：由于，则.
20.解：（1）设椭圆的方程为，由题意可知，得，；
又顶点构成四边形的是菱形，面积，所以，，椭圆方程为. （2）设直线的方程为或，，，，
当的方程为时，，与题意不符.
当的方程为时，由题设可得、的坐标是方程组的解.
消去得，所以，即，
则，，，
因为，所以，
解得，所以.
因为，即，
所以当时，由，得，，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线不存在：
当时，，，
因为点在椭圆上，所以，
化简得，因为，所以，则.
综上，实数的取值范围为.
21.解：（1）的定义域为，，可得，令得，所以的单调递减区间是和. （2）由，
∵，只要证，
只需证，
不妨设，即证，令，
只需证，令，
则在上恒成立；
所以在上单调递增，，即证.
22.解：（1）曲线的直角坐标方程是，化成极坐标方程为；
曲线的直角坐标方程是..
（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，代入得，又，所以，因此.
23.解：（1）不等式，解得，所以解集是. （2），注意到是正整数，有，
所以，令，解得，所以正整数的最小值是.。