乔海燕_qhy_graph3.tree

的矩阵Bk，称为对应于结点vk的基本关联矩阵。
[定理3-2-4] 若Bk是连通图 G=(V,A)的基本关联矩阵，
C= {a1,a2,…,al}（aiA, i=1…l ）构成G中的某条
回路，则C的各边对应的Bk的各列向量线性相关。 [证明] （下页）
15
3.2 关联矩阵
[例] 圈a4,, a5, a6 对应的列线性相关
27
3.4 有根树
[有向树] 一个弱连通有向图，若去掉方向后得到一棵树，则称
此有向图为一棵有向树，记为T。 [有根树] 一棵有向树T，若其中有且仅有一个结点v0的入度为0， 其余结点的入度为1，则称T是一棵以v0为根的有根树或外 向树。其中出度为0的结点称为有根树的叶子。 [定义] 对有向树 T=(V, A)，若 u ,vV且 <u,v> A，则称 u为v 的父亲，v为u的儿子。若从u到v存在有向道路，则称u是v 的祖先，v是u的后代（子孙）。
j2 …jm 行组成的行列式， 是对所有满足 1 j1
j2 … jm n 的排列（ j1, j , …, jm ）求和。 [证明] （略）
23
3.3 生成树的数目
[例 ]
2 1 1 2 1 A , B 0 1 1 3 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 0 1 det( AB ) 1 3 0 1 1 1 1 1 3 1 1 1 13
第三章 树
1
3.1 树的基本概念
[树] 连通图G=(V,E)，若G中不含任何回路，则称G为树。|V|=1时称之为平
凡树。
[有向树] 一个弱连通有向图，若去掉方向后得到一棵树，则称此有向图为 一棵有向树，记为T。 [割边] 图 G=(V,E) 中，eE。设 G=(V,E{e})，若G 的连通分支数目比G多 1，则称e为G的一条割边。
[生成树] G=（V，E），若G的一个生成子图是一棵树，
G中在T中的边称为（关于T的）树枝，G中不在T
中的边称为（关于T的）弦。G中的所有结点和弦 构成的子图称为（关于T的）余树。 余树不一定是树。
5
3.1 树的基本概念
[定理3-1-3] 任何连通图至少有一棵生成树。 [证明] 破圈法构造 [推论1] 设G=（V，E）连通，则|E||V|1 。
6
3.2 关联矩阵
[关联矩阵] G=（V，A）中，设V={v1,v2,…,vn}， A={a1, a2,…, am}，令 B=(bij)nm，其中 1 aj=<vi,vk>A
bij=
1
0
aj=<vk,vi>A
其它
称B为G的关联矩阵。
7
3.2 关联矩阵
[例 ]
v7 a6 a5 v5
a4
v4 a1
r(B)=n-1，n=|V|。
[证明] 因为r(B)n-1, 只要证明 r(B) n-1。设在B中最少的行 向量线性相关数是l，不妨设此线性相关向量组为 V1,
V2, … , Vl。
即存在不为0的ki，i=1,2,…,l，使得 k1V1+ k2V2+… + klVl = 0 由于B中每列只含一个+1和一个-1，欲使上式成立，由行向量 V1, V2 , … , Vl 构成的矩阵的每列必须同含+1和-1元，或只 含0元。 12
v2 a5
a6
v4
a1,a2,,a4对应的子 式为0，a1,a4,a5对 应的子式为1
22
图的关联矩阵 B
3.3 生成树的数目
[定理3-3-1](Binet-Cauchy) 已知A=(aij)mn，B=(bij)nm ，
且 mn，则：
det( AB ) Aj B j
( j)
其中，Aj 是从A中取第 j1, j2 …jm (1 j1 j2 … jm n ) 列组成的行列式， Bj 是从B中取第 j1,
10
3.2 关联矩阵
[定理3-2-2] 图G的关联矩阵B中任一k阶方阵的行列式值为0、
+1或-1。
[证明] 设Bk为B中任有+1和-1，则 Bk不满秩，det(Bk)=0；
② Bi中有某一列只含一个+1或-1，按此列作展开，得到一个
v7 a6 a5 v5
a4
v4 a1
v1
v6
a3 a2
v2
v3 16
a4,, a5, a6 对应的列矩阵各行或者含1和-1，或者全为0
3.2 关联矩阵
[证明] 设B、Bk中与C各边对应的列向量分别构成矩阵 Dnl 、 Dk (n1)l 。
C最多经过 l 个结点，故D中最多有 l 个非0行向量。经
深度同为i 的结点构成树的第i 层；
具有最大深度的结点的深度称为树的深度（高
度）。
30
3.4 有根树
[有序树] 将各树的每个结点的所有儿子按次序排列，
称这样的根树为有根有序树。
有序树的每个结点的出度小于或等于m时，称为m
叉有序树。
有序树的每个结点的出度只为 0或 m 时，称为m
叉正则有序树。
时 lk=l -1，即D1k中最多有l -1个非0行向量，故
r(D1k) l -1 ，或 r(D1k) < l 。 综上，r(D1k) < l ，即D1k中的列向量线性相关，故D中的列向 量也线性相关，定理得证。 [定理3-2-4] 揭示了图的回路与基本关联矩阵之间存在着内 在联系。 18
3.2 关联矩阵
1 1 1 1 0 0 1 0 1
a11 a12
1
0 1 0 0 1 0 1 1 0
a21 albl
28
3.4 有根树
• 根树通常画成倒长的； • 一个 结点的子结点画在它 的下一层，边的方向省略； • “同辈兄弟”画在同一层。
29
3.4 有根树
[树的高度] 设有根树 T=(V, A)，v0为树根。u V的
深度是从v0 开始到达u的有向路的长度，T的高度
是从v到T的叶子的最长路的长度。
根结点深度为0，称为第0层；
（续）作适当列交换，得：
V1 V2 : Vl
C0
V1 : Vl Vl+1 : Vn
其中C式每列同含+1和-1。故原关 联矩阵B 经过上述列交换可得分块矩阵 如图所示. 如果 l n-1， 此时 G 非连
通，矛盾。故 ln.
故 r(B) n-1
C 0 0 D
14
3.2 关联矩阵
[基本关联矩阵] 从连通图 G=(V,A)的关联矩阵Bnm中 去掉与结点vkV对应的一行，得到一个 (n-1)m
[定理3-2-5] 连通图 G=(V,A)，n=|V|，其基本关联矩
阵Bk的任一(n-1)阶子式非零的充要条件是：该子
式各列对应的图G的边构成G的一棵生成树。
[证明]
结合[定理3-2-4]：若此n-1条弧中存在回路，则回 路对应于Bk中相应的列向量线性相关，此n-1条弧 对应于Bk中相应的列向量也线性相关，该(n-1)阶 子式为零，矛盾。
24
3.3 生成树的数目
[定理3-3-2] 设连通图G的基本关联矩阵 Bk，则G的生
成树的数目为 det(BkBkT)
[证明] 由Binet-Cauchy定理有：
det( Bk B ) B j B B
T k T j ( j) ( j)
2 j
Bj为Bk的某(n-1)阶子式。由[定理3-2-5]，当且仅
降一阶子式det(Bk-1)，且det(Bk)=det(Bk-1)或det(Bk)=det(Bk-1)； ③以此类推，直至det(Bk) = det(B2) 或 det(Bk) = -det(B2) ，易 知 B2的值只能为0、+1或-1。 11
3.2 关联矩阵
[定理3-2-3] 连通图 G=(V,A)的关联矩阵B的秩

19
3.2 关联矩阵
充分性：编号法。将该子式各列对应的弧构成的生 成树画成以vk为根的一棵树如图。 vk v11 v21 a11 … …… a1b1 v1b1 a2b2 v2b2 vl bl
20
a21
vl1
…………
3.2 关联矩阵
vk v11 v12 v13 v1b1 v21 vlbl
3.2 关联矩阵
（续）例如，假如 p 列（0<p m, m=|A|）只含一个+1元，该元
所在行为 t 行 (0<t l) ，则有：
k10+ k20+… + kt-10 + kt1 + kt+10 +… + kl0 = 0 此时必须 kt = 0 (t l) ，矛盾。
13
3.2 关联矩阵
过适当重排行序后得到D和Dk形如：
D=
D1 0
l
l行
n-l 行
Dk=
D1k 0
l
lk 行 n-1-lk 行
17
3.2 关联矩阵
① 若C不经过 vk，则从B生成Bk时从D中划去的是全0 (不在
D1中) 的行向量，lk=l，D1k=D1 ，即D1k每列都含+1和-1。
故 D1k不满秩，或 r(D1k) < l ； ② 若C经过vk，则从B生成Bk时从D中划去了D1中的一行，此
[定理3-1-1] 上述e、G中，e是G的一条割边当且仅当e不属于G中任何回路。
2
3.1 树的基本概念
[定理3-1-2] T=(V, E) 是结点数 n=|V| 1 的树，则下述
命题等价：
1) T是无回路的连通图；