矩阵的相似对角化-文档资料

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3 1 例如，矩阵A= 有两个不同的特征值l1=4,l2=-2, 5 -1 1 1 其对应特征向量分别为x1= ，x2= . -5 1
1 1 取P=(x1, x2)= ，则 1 -5 P-1AP =-5 -1 1 — 6 -1 1 3 1 5 -1 1 1 4 0 = ， 1 -5 0 -2
所以A与对角矩阵相似.
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|， A与B有相同的特征多项式， 所以它们有相同的特征值.
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l1 0 0 0 l2 0
0 0 ln
因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
-2 0 问题：若取P=(x2, x1)，问L=？ L＝ . 0 4
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推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件. 例如，A=
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是
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A的特征向量，并且这n个特征向量线性无关.
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充分性. 设x1，x2，，xn为A的n个线性无关的特征向量， 它们所对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则有 Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 令 P=(x1, x2, , xn)，则 AP =A(x1, x2, , xn) =(Ax1, Ax2, , Axn) =(l1x1, l2x2, , ln xn) = (x1, x2, , xn) =PL . P-1AP=L， 即矩阵A与对角矩阵L相似.
第2节 相似矩阵与矩阵的相似对角化
一、相似矩阵及其性质 二、n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 例如， A= 3 1 ， B= 4 0 ，P= 1 1 ， 5 -1 0 -2 1 -5 相似关系是矩阵间的一种等价关系，满足 -1AP 因为 P 自反性： A~ A -20 -4 1 1 5~1 3B ~ 1A 1 1 1 1 对称性： 若 A B ， 则 =- — =-— 2 -2 1 -5 6 -1 1 5 -1 1 -5 6 传递性：若A~B，B~C，则 A~C -24 0 4 0 1 =- — = ， 6 0 12 0 -2 所以A~B .
解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B), |A|=|B| , 即
2x =14 2 , 2x-3 1y =4-6 2
解得
1 - 1 0 ,求|A|. 例2. 设3阶方阵A相似于 D = 2 2 0 0 0 3
x = -17 y = -12
讨论： 根据定理证明，怎样取可逆矩阵 P及对角矩阵L ？ 提示： 设 ξ1，ξ2，，ξn为A 的 n个线性无关特征向量，它们所 对应的特征值依次为l1，l2，，ln，则取 P=(ξ1, ξ2, , ξn)， L=diag(l1 , l2 , , ln)。
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证明：必要性. 设存在可逆矩阵P=(x1, x2, , xn)使 P-1AP=L， l1 0 0 l2 0 则有 A(x1, x2, , xn)= (x1, x2, , xn) 0 ， 0 0 ln (Ax1, Ax2, , Axn) = (l1 x1, l2 x2, , lnxn)
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注意：有相同特征值的同阶矩阵未必相似
反例
1 A = 0
1 1
1 B = 0
0 1
注意：单位矩阵只能和它自己相似
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2 3 1 2 1 2 = = 例1. 若矩阵 A ,B 相似，求x,y. y x 3 4
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定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 相似矩阵还具有下述性质： (1)相似矩阵有相同的秩； ( r(A)=r(B) ) (2)相似矩阵的行列式相等； ( |A|=|B| ) (3)相似矩阵的迹相等； ( tr(A)=tr(B) ) (4)相似矩阵或都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们 的逆矩阵也相似. |A|=|B|， 且B-1=(P-1AP)-1 =P-1A-1(P-1)-1 =P-1A-1P . 易见，
.
解：由于矩阵A和D相似，所以|A|=|D|, 即 |A|=|D|＝12.
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2.2 n阶矩阵与对角矩阵相似的条件
引理：n阶方阵A～diag(l1 , l2 , , ln）则l1 , l2 , , ln是A的特征值 定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.