初中数学多边形与平面镶嵌

初中数学——多边形与平面镶嵌
一、选择题。

1.只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是（）
A.正十边形
B.正八边形
C.正六边形
D.正五边形
2.一个四边形截去一个角后内角个数是（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.3个或4个或5个
3.已知一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
4.如图，四边形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2√3，AD=2，则四边形ABCD的面积是（）
A.4√2
B.4√3
C.4
D.6
5.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定满足（）
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线相等且相互平分
6.如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为（）
A.4
B.5
C.6
D.8
7.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个多边形的边数为 ( )
A. 19
B. 10
C. 11
D. 12
9.一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
10.如图，一束平行太阳光线FA 、GB 照射到正五边形ABCDE 上，50ABG ∠=︒，则FAE ∠的度数是（ ）
A.22︒
B.32︒
C.50︒
D.130︒
11.若一个五边形有三个内角都是直角，另两个内角的度数都等于α，则α等于( )
A. 30
B. 120
C. 135
D. 108
12.已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A.9
B.10
C.11
D.12
二、填空题。

13.若将多边形边数增加1倍，则它的外角和是__________度.
14.一个多边形的每一个内角都是108°，你们这个多边形的边数是 ．
15.请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．
A ．一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．
B ．用计算器计算：sin15°32' （精确到0.01）
16.若一个多边形的每个外角都是 72° ，则这个多边形是 边形.
三、解答题。

17.
（1）如图，在四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC，CE 平分∠DCB.若∠A+∠B=140°，求∠DEC 的度数;
（2）如图，四边形ABCD 沿MN 折叠，使点C 、D 落在四边形ABCD 内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，将四边形ABCD 沿着直线MN 翻折，使得点D 落在四边形ABCD 外部的D′处，点C 落在四边形ABCD 内部的C′处，写出∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B 之间的关系.
ABC DEF的顶点都在小正方形的顶点处．
18.如图所示，每个小正方形的边长为1,,
()1将ABC平移，使点A平移到点,F点,B C的对应点分别是点','
FB C；
B C，画出'' ()2画出DEF关于DF所在直线对称的'
DE F；
()3直接写出四边形'''
B C FE的面积是_ ．
19.一个正多边形中，一个内角的度数是它相邻的一个外角的度数的3倍.
(1)求这个多边形的每一个外角的度数；
(2)求这个多边形的边数.
20.如果一个多边形的每一个外角都相等，且比内角小36︒，求这个多边形的边数和内角和.
21.如图所示，求证360
∠+∠+∠+∠+∠+∠=
A ABC C D DEF F
22.如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD．
(1)求证AB+CF=BF；
(2)若∠ABC=70°，求∠DAE的度数．
参数答案
1.C
【解析】1.正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满。

因此
A、正十边形每个内角是(10−2)×180°
10=144°，不能整除360°，不能单独进行镶
嵌，不符合题意；
B、正八边形每个内角是(8−2)×180°
8=135°，不能整除360°，不能单独进行镶
嵌，不符合题意；
C、正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能整除360°，可以单独进行镶嵌，符合题意；
D、正五边形每个内角是(5−2)×180°
5=108°，不能整除360°，不能单独进行镶
嵌，不符合题意。

故选C.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面图形的镶嵌的相关知识，掌握用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面图形的镶嵌．
2.D
【解析】2.解答：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
分析：截去一个角，有多种截法，要注意分类讨论.
【考点精析】本题主要考查了多边形内角与外角的相关知识点，需要掌握多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°才能正确解答此题．
3.B
【解析】3.解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2）•180°=360°，
n﹣2=2，
n=4．
故选B．
【考点精析】本题主要考查了多边形内角与外角的相关知识点，需要掌握多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°才能正确解答此题．
4.C
【解析】4.作辅作线，构造直角三角形，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后四边形ABCD的面积。

分别延长CD，BA交于点E．
∵∠DAB=135°，
∴∠EAD=∠C=∠E=45°，
∴BE=BC=2√3，AD=ED=2，
∴四边形ABCD的面积=S
△EBC -S
△ADE
=1
2
BC•BE-1
2
AD•DE=6-2=4
故选C.
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和三角形的面积的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；三角形的面积=1/2×底×高才能正确解答此题．5.C
【解析】5.解：已知：如下图，
四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥H G；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
所以答案是：对角线互相垂直．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用矩形的判定方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．
6.C
【解析】6.解：设外角为x，则相邻的内角为2x，由题意得，2x+x=180°，解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
【考点精析】掌握多边形内角与外角是解答本题的根本，需要知道多边形的内
角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°．
7.B
【解析】7.试题分析：这个多边形的边数是360÷72=5，
故选：B ．
8.D
【解析】8.设多边形的边数为n ，根据题意，得（n ﹣2）•180=5×360，解得n=12，则这个多边形的边数是12．故选D.
9.C
【解析】9.解：设这个多边形的边数是n ，根据题意得，（n -2）•180°=2×360°+180°， n =7．故选C ．
10.A
【解析】10.
先根据正五边形的性质求出EAB ∠的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵ABCDE 为正五边形，
∴108EAB ∠=︒，
∵太阳光线互相平行，
∴FA ∥GB ，
又50ABG ∠=︒，
∴=180=1805010822FAE ABG EAB ∠︒-∠-∠︒-︒-︒=︒,
故选：A ．
11.C
【解析】11.
多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，因为所给五边形有三个角是直角，另两个角都等于α，列方程可求解．
依题意有
3×90+2α=（5-2）•180，
解得α=135．
故选C ．
12.B
【解析】12.
先根据多边形的外角和等于360︒可得其内角和的度数，再根据多边形的内角和公式即可得．
设这个多边形的边数为n ，
这个多边形的内角和是外角和的4倍，
∴其内角和为36041440︒⨯=︒，
由多边形的内角和公式得：180(2)1440n ︒-=︒，
解得10n =，
故选：B ．
13.360
【解析】13.试题解析：∵任意多边形的外角和都是360度，
∴多边形的边数增加1，它的外角和还是360°．
14.5
【解析】14.解：180﹣108=72，
多边形的边数是：360÷72=5．
则这个多边形是五边形．
所以答案是：5．
【考点精析】通过灵活运用多边形内角与外角，掌握多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°即可以解答此题．
15.十二；0.27
【解析】15.解：A ．∵一个多边形的每个内角都等于150°，
∴这个多边形的外角为30°，
∵360°÷30°=12，
∴这个多边形是十二边形．
所以答案是：十二；
B ．sin15°32'≈0.27．
所以答案是：0.27．
【考点精析】关于本题考查的多边形内角与外角，需要了解多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°才能得出正确答案．
16.5
【解析】16.根据多边形的外角和为360°，且每个外角都为72°，可得360°×72°=5，由此可知这个多边形为5边形.
故答案为：5.
根据多边形的外角和为360°，且每个外角都为72°，可得这个多边形的边数. 17.
（1）∠A+∠B=140°，∴∠ADC+∠ABC=360°-(∠A+∠B)=220°，
∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠DCB.
∴∠EDC+∠ECD= 12 (∠ADC+∠ABC)=110°，
∴∠DEC=180°-(∠EDC+∠ECD)=70°，
（2）∵∠AMD′=180°-2∠DMN,
∠BNC′=180°-2∠CMN，
又∠A+∠B=∠DMN+ CMN
∴∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）
（3）∵2∠DMN -∠AMD′=180°则2∠DMN=∠AMD′+180°
∠BNC′=180°-2∠CMN，则2∠CMN=180°-∠BNC′
又∠A+∠B=∠DMN+ CMN
∴∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360°
【解析】17.（1）根据四边形的内角和得出 ∠ADC+∠ABC=360°-
(∠A+∠B)=220°， 根据角平分线的定义及角的和差得出 ∠EDC+∠ECD= 12 (∠ADC+∠ABC)=110°， 进而即可利用三角形的内角和由 ∠DEC=180°-(∠EDC+∠ECD) 算出答案；
（2） ∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B） ，理由如下：根据翻折的性质及平角的定义得出 ∠AMD′=180°-2∠DMN,①∠BNC′=180°-2∠CMN ②，根据四边形的内角和得出 ∠A+∠B=∠DMN+ CMN ③，由①+②，并将③代入即可得出结论： ∠AMD′+∠BNC′=360°-2（∠A+∠B）；
（3）∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360° ，理由如下：根据平角的定义及翻折的性质得出 2∠DMN -∠AMD′=180°则2∠DMN=∠AMD′+180° ①，
∠BNC′=180°-2∠CMN，则2∠CMN=180°-∠BNC′ ②，根据四边形的内角和得出∠A+∠B=∠DMN+ CMN ③，由①+②，并将③代入即可得出结论：∠AMD′-∠BNC′=2（∠A+∠B）-360°。

【考点精析】本题主要考查了三角形的内角和外角和多边形内角与外角的相关知识点，需要掌握三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180°.多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°才能正确解答此题．
18.（1）见解析；（2）见解析；（3）8．
【解析】18.
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）根据四边形'''B C FE 的面积=B C E E C F S S '''''+列式计算即可.
()()12如图所示；
(3) 四边形'''B C FE 的面积=B C E E C F S
S '''''+=11144322
⨯⨯+⨯⨯=8， 故答案为：8.
19.(1)45°；(2)8.
【解析】19. (1)根据相邻的内角和外角互补结合已知条件即可求得答案；
(2)根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
(1)180×13+1
=45°， 答：这个多边形的每一个外角的度数为45°；
(2)360°÷45°=8，
答：这个多边形的边数为8.
20.5；540︒.
【解析】20.
先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个内角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．
解：设多边形的一个外角为x 度，则一个内角为（x+36）度，依题意得
x+x+36=180，
解得x=72．
边数=360°
÷72°=5． 内角和=（5-2）×
180°=540°. 故这个多边形的边数为5，内角和是540°．
21.证明见解析.
【解析】21.
在△CDG 和△BEG 中，由三角形外角定理可知∠C+∠D=∠GBE+∠GEB ，再根据四边形内角和为360°即可得解．
证明：连接BE
DGB C D ∠=∠+∠,DGB CBE DEB ∠=∠+∠
∴C D ∠+∠=CBE DEB ∠+∠
A ABC C D DEF F ∴∠+∠+∠+∠+∠+∠
A ABC CBE DE
B DEF F =∠+∠+∠+∠+∠+∠
360A ABE BEF F =∠+∠+∠+∠=︒
22.（1）见解析；（2）35°
【解析】22.
（1）根据角平分线的性质，过D 作AB 的垂线交AB 的延长线于点G ，连接CD 即可证明； （2）先求出∠ADC 的度数，再利用DE 垂直平分AC 求出∠ADE 即可求出∠DAE 的度数． （1）过D 作AB 的垂线交AB 的延长线于点G ，连接CD ，
∵BD 平分∠ABC ，DG ⊥AB ，DF ⊥BC ，
∴DG =DF ，
∵DE 垂直平分AC ，
∴DA=DC ，
在Rt △ADG 和Rt △CDF 中
DA=DC DG=DF ⎧⎨⎩
∴Rt △ADG ≌Rt △CDF （HL ）； ∴AG=CF ，
∵DG ⊥AB ，DF ⊥BC
∴∠BGD=∠BFD=90°
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠GBD=∠FBD
在△BDG 和△BDF 中
BGD=BFD GBD=FBD BD BD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩
∴△BDG ≌△BDF （AAS ）
∴BG=BF ，
∴AB+CF=BF
（2）∵四边形BFDG 的内角和为360° ∴∠FDG=180°-∠ABF=180°-70°=110° 由（1）知Rt △ADG ≌Rt △CDF ∴∠GDA=∠CDF
∴∠FDG=∠ADC=110° 又∵DA=DC ，DE ⊥AC ，
∴∠ADE=∠CDE=
1ADC 2
∠=55° ∴∠DAE=35°。