(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第四节二次函数与幂函数实用课件文

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[方法技巧] 求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法， 选择规律如下：
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二次函数的图象 确定二次函数图象的三要点
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[例 2] 如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象 的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝ －1.给出下面四个结论：
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4.[考点二]若
a＝12
2 3
，b＝15
2 3
，c＝12
1 3
，则
a，b，c
的大小关
系是________．
2
解析：∵y＝x 3
(x＞0)是增函数，∴a＝12
2 3
＞b＝15
2 3
.∵y＝12x
是减函数，∴a＝12
2 3
＜c＝12
1 3
，所以
b＜a＜c.
答案：c＞a＞b
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第四节 二次函 数(hánshù)与幂 本节主要包括 2 个知识点：
1.幂函数；
2.二函次函数数. (hánshù)
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突破点(一) 幂函数
0321突破点(二) 二次函数(hánshù)
课时达标(dá biāo)检测
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01 突破点（一） 幂函数
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基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
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2．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
图象
a＜0
定义域 值域
奇偶性
R
4ac4－a b2，＋∞
－∞，4ac4－a b2
b＝0 时为偶函数，b≠0 时既不是奇函数
也不是偶函数
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(x)＝ax2＋bx＋c
a＞0
a＜0
单调性 最值
在 _－__∞__，__－__2_ba__ 上 单 在 __－__∞__，__－__2b_a_ 上
1.[考点二]已知函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且 x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 m 的值为________． 解析：∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又∵函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m2＋m－3＞0，∴m＝2. 答案：2
∴a＞c＞b.
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(2)因为幂函数
y＝x
1 3
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
且
x＞0，y＞0；x＜0，y＜0.不等式(a＋1)
1 3
＜(3－2a)
1 3
等价于
a＋1＞3－2a＞0 或 3－2a＜a＋1＜0 或 a＋1＜0＜3－2a.
解得23＜a＜32或 a＜－1. [答案] (1)a＞c＞b (2)(－∞，－1)∪23，32
c＝7.
∴所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
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法二(利用顶点式)：设 f(x)＝a(x－m)2＋n. ∵f(2)＝f(－1)， ∴抛物线的对称轴为 x＝2＋2－1＝12，∴m＝12. 又根据题意，函数有最大值 8，∴n＝8， ∴f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
[方法技巧] 研究二次函数单调性的思路
(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究 二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．
(2)若已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间 A 上单调递减(单调 递增)，则 A⊆－∞，－2baA⊆－2ba，＋∞，即区间 A 一定在 函数对称轴的左侧(右侧)．
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幂函数的性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义； (2)幂函数的图象过定点(1,1)； (3)当 α＞0 时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0， ＋∞)上单调递增； (4)当 α＜0 时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞) 上单调递减； (5)当 α 为奇数时，幂函数为奇函数；当 α 为偶数时，幂 函数为偶函数．
(0，＋∞)
值域 R
[0，＋∞)
(－∞，0)∪ R [0，＋∞)
(0，＋∞)
奇偶性 奇
偶
奇 非奇非偶
奇
x∈_[_0_，____＋___∞___)
x∈(0，＋∞)时，
单调性 增 时，增；x∈ 增 (_－___∞___，___0__]时，减
增
减；x∈
(_－__∞__，__0_)时，减
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在
第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；
(2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；
(3)如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点；
(4)当 α 为奇数时，幂函数的图象关于原点对称；当 α 为偶
数时，幂函数的图象关于 y 轴对称．
4α＝2，∴α＝12，∴f(x)＝x
1 2
，
则 f(x)的图象如③中所示．
(2)由题意得 m2－2m－2＝1，∴m＝－1 或 3，即 f(x)＝
x－2 或 f(x)＝x2.
因为该函数的图象与坐标轴没有交点，所以 m＝－1.
[答案] (1)③ (2)－1
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[方法技巧]
幂函数图象的规律
幂函数的图象 [例 1] (1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则下列图象是 幂函数 y＝f(x)的图象的序号是________．
(2)若幂函数 f(x)＝(m2－2m－2)xm－1 的图象与坐标轴没有 交点，则实数 m＝________.
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[解析]
(1)令
f(x)＝xα，则
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法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a－2a4－a 1－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
1．幂函数的定义 形如 y＝xα (α∈R )的函数称为幂函数，其中 x 是 自变量 ，α 为 常数 ．对于幂函数，只讨论 α＝1,2,3，12，－1 时的情形． 2．五种幂函数的图象
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3．五种幂函数的性质
函数 y＝x
性质
y＝x2
y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
定义域 R
R
(－∞，0)∪ R [0，＋∞)
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基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ，图象的对称轴是 x＝ －2ba，顶点坐标是－2ba，4ac4－a b2； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ，图象的对称轴是 x ＝m，顶点坐标是(m，n)； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ，其中 x1，x2 是方 程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，图象的对称轴是 x＝x1＋2 x2.
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考法(二) 二次函数的最值 二次函数的最值问题主要有三种类型：“轴定区间定”、 “轴动区间定”、“轴定区间动”．解决的关键是弄清楚对称 轴与区间的关系，要结合函数图象，依据对称轴与区间的关系 进行分类讨论．
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[例 4] 已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时有 最大值 2，求 a 的值．
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[方法技巧] 幂值大小比较的常见类型及解题策略
(1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较． (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较． (3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较 两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小．
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能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
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二次函数的图象与性质的应用 考法(一) 二次函数的单调性 [例 3] 已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－4,6]上是单 调函数； (2)当 a＝1 时，求 f(|x|)的单调区间． [解] (1)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a， 所以要使 f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6， 即 a≤－6 或 a≥4. 所以实数 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．
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(2)当 a＝1 时，f(x)＝x2＋2x＋3， ∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为 x∈[－6,6]， 且 f(x)＝xx22＋－22xx＋＋33，，xx∈∈[0－，66，]，0]， ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6，0]．
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求二次函数的解析式 [例 1] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1， 且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式． [解] 法一(利用一般式)： 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
4a＋2b＋c＝－1， 由题意得a4－ ac4－ba＋b2c＝＝8－，1，
a＝－4， 解得b＝4，
①b2＞4ac；②2a－b＝1； ③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正确的结论是________．(填所有正确结论的序号)
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[解析] ∵二次函数的图象与 x 轴交于两点， ∴b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确； 对称轴为 x＝－1，即－2ba＝－1,2a－b＝0，②错误； 结合图象知，当 x＝－1 时，y＞0， 即 a－b＋c＞0，③错误； 由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a， 又函数图象开口向下，∴a＜0，∴5a＜2a， 即 5a＜b，④正确． [答案] ①④
1
1
5.[考点二]1.1 2 ，0.9 2 ，1 的大小关系为_________________．
1
1
1
解析：∵0＜0.9＜1＜1.1，∴0.9 2 ＜1 2 ＜1.1 2 ，
1
1
即 0.9 2 ＜1＜1.1 2 .
1
1
答案：0.9 2 ＜1＜1.1 2
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02 突破点(二) 二次函数(hánshù)
调递减，在
单调递增，在
__－__2b_a_，__＋__∞__ 上 单 调 __－__2b_a_，__＋__∞__ 上 单
递增
调递减
当 x＝－2ba时，ymin＝ 当 x＝－__2_ba__时，ymax
4ac－b2 ___4_a_____
4ac－b2 ＝ 4a
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考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
3. [考点一、二] (2018·昆 明 模 拟 ) 已 知 幂 函 数 f(x) ＝ (n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞) 上是减函数，则 n 的值为________． 解析：由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，经检验只有 n＝1 符合题意．答案：1
[解] 函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋ 1，对称轴方程为 x＝a.
当 a＜0 时，f(x)max＝f(0)＝1－a， ∴1－a＝2，∴a＝－1. 当 0≤a≤1 时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1， ∴a2－a＋1＝2，即 a2－a－1＝0，∴a＝1±2 5(舍去)． 当 a＞1 时，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2.
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2.[考点一](2018·苏北模拟)已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象 与 x 轴，y 轴无交点，且关于原点对称，则 m 的值为______． 解析：由题意 m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3，∵m∈N*， ∴m＝1,2.又幂函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，当 m＝1 时，y＝x－4 为偶函数；当 m＝2 时，y＝x－3 为奇函数， 满足条件，所以 m＝2. 答案：2
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[例 2]
(1)设
a＝35
2 5
，b＝25
3 5
，c＝25
2 5
，则
a，b，c
的
大小关系是________．
(2)
若
(a
＋
1)
1 3
＜
(3
－
2a)
1 3
，
则
实
数
a
的取值范围是
________．
2
[解析] (1)∵y＝x 5 (x＞0)为增函数，∴a＞c.
∵y＝25x(x∈R )为减函数，∴c＞b.