福建省龙岩市大禾中学2019-2020学年高三数学文月考试卷含解析

福建省龙岩市大禾中学2019-2020学年高三数学文月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设则（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
2. 将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任意房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择的安排方式的总数为（）
A. 900
B.1500
C. 1800
D.1440
参考答案：
B
略
3. 设、、是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥，b∥，则a∥b；②若a∥，b∥，a∥b，则∥；
③若a⊥，b⊥，a⊥b，则⊥；④若a、b在平面内的射影互相垂直，则a⊥b. 其中正确命题是
A. ④
B. ③
C. ①③
D. ②④
参考答案：
B
略
4. 设，且，则“函数”在R上是增函数”是“函数”在R
上是增函数”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
参考答案：
D.
函数在R上是增函数，即；但当时,函数在R上不是增函数. 函数在R上是增函数时,可有,此时函数在R上不是增函数.
5. 函数的定义域为（）.
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
6. 函数是R的奇函数，a，b是常数．不等式
对任意恒成立，求实数k的取值范围为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
先根据奇偶性求出，然后判断函数的单调性，结合性质把
转化为，求解的最小值可得.
【详解】因为是的奇函数，所以，所以；
因为，所以可得，
此时，易知为增函数.
因为
所以，即，
因为，所以.故选A.
【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，最值问题常用基本不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
7. 已知是偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，如果在
上恒成立，则实数的取值范围是( )
A．[－2,1] B．[－2,0] C．[－5,1] D．[－5,0]
参考答案：
B
8. ，若在上恒成立，实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
9. 已知全集U=R，集合A={x|＞0}，B={x|y=}，则A∩B=（）
A．（1，2）B．（2，3）C．[2，3）D．（1，2]
参考答案：
D
10. 设，则（）
A．若
B.
C. D.
参考答案：
2
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知变量具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，
若y关于x的回归方程为，则m= ．
参考答案：
3.1
由题意得，代入到线性回归方程，得.
∴
∴
故答案为3.1.
12. 设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
参考答案：
﹣1；≤a＜1或a≥2。

考点：函数的零点；分段函数的应用．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．
解答：解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
13. 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程
为．
参考答案：
14. 向量、满足，，与的夹角为，则___________.
参考答案：
略
15. 在中，分别是的对边，若,则．
参考答案：
16. .已知函数定义在上，对任意的，已知
，则
参考答案：
1
略
17. 已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数有________个
参考答案：
8
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表：
20至50岁
（1
（2）若全小区节能意识强的人共有350人，则估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再是这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率。

参考答案：
（1）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，与相差较大，所以节能意识强弱与年龄有关……3分
（2）年龄大于50岁的有（人）……6分（列式2分，结果1分）
(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的有人…………7分
年龄大于50岁的有4人………………8分
记这5人分别为,从这5人中任取2人,所有可能情况有10种,列举如下
…1 0分
设表示事件“这5人中任取2人，恰有1人年龄在20岁至50岁”，则中的基本事件有
共4种…………………11分
故所求概率为……………………12分
19. 已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣
a2=1，a3+b3=13
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式
（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质．
【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a n}和{b n}的通项公式代入c n=a n b n，然后直接利用错位相减法求数列{c n}前n 项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d＞0），数列{b n}的公比为q，
由已知得：，解得：，
∵d＞0，∴d=2，q=2，
∴，
即；
（Ⅱ）∵c n=a n b n=（2n﹣1）2n，
∴①，
②，
②﹣①得：
=﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1+（2n﹣1）×2n+1
=
=6+（2n﹣3）×2n+1．
20. 随着大数据统计的广泛应用，给人们的出行带来了越来越多的方便．郭叔一家计划在8月11日至8月20日暑假期间游览上海Disney主题公园．通过上网搜索旅游局的统计数据，该Disney主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．郭叔预计随机的在8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．
（Ⅰ）求郭叔连续两天都遇上拥挤的概率；
（Ⅱ）设X是郭叔游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（直接写出结论不要求证明，计算）
参考答案：
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B9：频率分布折线图、密度曲线；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（I）设A i表示第i天开始游览公园，则连续两天拥挤的概率为P（A4）+P
（A7）；
（II）根据图表计算各种情况的可能性，得出分布列；
（III）当连续三天的舒服度相差最大时，方差最大．
【解答】解：设A i表示事件“郭叔8月11日起第i日连续两天游览主题公园”（i=1，2，…，9）．
根据题意，
（Ⅰ）设B为事件“郭叔连续两天都遇上拥挤”，则B=A4∪A7
所以．
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，
，
，
．
所以X的分布列为：
故X的期望．
（Ⅲ）有图可知，8月12，8月13，8月14连续三天游览舒适度的方差最大．
21. (本小题满分12分)
已知以函数f(x)＝mx3－x的图象上一点N(1，n)为切点的切线倾斜角为.
(1)求m、n的值；
(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)≤k－1995，对于x∈[－1,3]恒成立？若存在，求出最小的正整数k，否则请说明理由．
参考答案：
(本小题满分12分)
(1)f′(x)＝3mx2－1，
f′(1)＝tan＝1，
∴3m－1＝1，∴m＝.
从而由f(1)＝－1＝n，得n＝－，
∴m＝，n＝－.
(2)存在．
f′(x)＝2x2－1＝2(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0得x＝±.
在[－1,3]中，当x∈[－1，－]时，
f′(x)＞0，f(x)为增函数，
当x∈[－，]时，
f′(x)＜0，f(x)为减函数，
此时f(x)在x＝－时取得极大值．
当x∈[，3]时，
此时f′(x)＞0，f(x)为增函数，
比较f(－)，f(3)知f(x)max＝f(3)＝15.
∴由f(x)≤k－1995，知15≤k－1995，
∴k≥2010，即存在最小的正整数k＝2010，
使不等式在x∈[－1,3]上恒成立．
略
22. （本题满分12分）
函数,.其图象的最高点
与相邻对称中心的距离为,且过点.
(1)求函数的表达式;
(2)在△中，、、分别是角、、的对边,,,角C为锐角.且满足,求的值.
参考答案：
(Ⅰ). ∵最高点与相邻对称中心的距离为,则,即, ∴,∵,∴,又过点,∴,
即,∴.∵,∴,∴.…………………… (6分)
(Ⅱ),由正弦定理可得,
∵,∴,
又,,∴,由余弦定理得
,∴. (6分)。