吉林省长春市2021届新高考数学模拟试题(1)含解析

吉林省长春市2021届新高考数学模拟试题（1）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1
ABC 所成角的余弦值为（ ）
A ．3
B ．3
C ．15
D ．10 【答案】C
【解析】
【分析】
在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.
【详解】
在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，
过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，
DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，
DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，
在1111,3,2,5
Rt ADD DD AA AD AD ∆===∴=， 111315cos 55
DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为155
. 故选:C.
【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
2．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B Ð，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．相交但不垂直
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知直线sin 0A x ay c ⋅--=的斜率为，直线sin sin 0bx B y C +⋅+=的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直
考点：直线与直线的位置关系 3．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12 B ．14 C ．15 D ．110
【答案】D
【解析】
【分析】
把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．
【详解】
3本不同的语文书编号为,,A B C ，2本不同的数学书编号为,a b ，从中任意取出2本，所有的可能为：,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab 共10个，恰好都是数学书的只有ab 一种，∴所求概率为110P =． 故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率． 4．若复数21i
z =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i -
B ．2z =
C ．z 的共轭复数为1i --
D ．2z 为纯虚数 【答案】D
【解析】
【分析】
将复数z 整理为1i -的形式，分别判断四个选项即可得到结果.
【详解】
()()()
2121111i z i i i i -===-++-
z 的虚部为1-，A 错误；112z =+=，B 错误；1z i =+，C 错误； ()2212z i i =-=-，为纯虚数，D 正确
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.
5．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：
则下列结论正确的是（ ）.
A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加
B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少
C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍
D ．2016年与2019年艺体达线人数相同
【答案】A
【解析】
【分析】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，通过简单的计算逐一验证选项A 、B 、C 、D.
【详解】
设2016年高考总人数为x ，则2019年高考人数为1.2x ，2016年高考不上线人数为0.3x ，
2019年不上线人数为1.20.280.3360.3x x x ⨯=>，故A 正确；
2016年高考一本人数0.3x ，2019年高考一本人数1.20.260.3120.3x x x ⨯=>，故B 错误； 2019年二本达线人数1.20.40.48x x ⨯=，2016年二本达线人数0.34x ，增加了
0.480.340.410.34x x x
-≈倍，故C 错误； 2016年艺体达线人数0.06x ，2019年艺体达线人数1.20.060.072x x ⨯=，故D 错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.
6．若函数()2
x f x e mx =-有且只有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【答案】B
【解析】
【分析】 由()2x f x e mx =-是偶函数，则只需()2
x f x e mx =-在()0,x ∈+∞上有且只有两个零点即可. 【详解】
解：显然()2
x f x e mx =-是偶函数 所以只需()0,x ∈+∞时，()22
x x f e x e mx mx ==--有且只有2个零点即可 令2
0x e mx -=，则2x
e m x = 令()2x
e g x x =，()()3
2x e x g x x -'= ()()()0,2,0,x g x g x '∈<递减，且()0,x g x +→→+∞
()()()2,+,0,x g x g x '∈∞>递增，且(),x g x →+∞→+∞
()()2
24
e g x g ≥= ()0,x ∈+∞时，()22x x
f e x e mx mx ==--有且只有2个零点， 只需2
4
e m > 故选：B
【点睛】
考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围，基础题.
7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ）
A ．21
B ．22
C ．11
D ．12
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值.
【详解】
解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，
所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =.
故选:A.
【点睛】
本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.
8．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )
A ．15
B ．25
C ．35
D ．110
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出基本事件总数，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6和28恰好在同一组的概率．
【详解】
解：将五个“完全数”6，28，496，8128，33550336，随机分为两组，一组2个，另一组3个， 基本事件总数2353C 10n C ==，
6和28恰好在同一组包含的基本事件个数202123234m C C C C =+=，
∴6和28恰好在同一组的概率42105
m p n =
==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．已知命题p:直线a ∥b ，且b ⊂平面α，则a ∥α；命题q:直线l ⊥平面α，任意直线m ⊂α，则l ⊥m.下列命题为真命题的是（ ）
A ．p ∧q
B ．p ∨（非q ）
C ．（非p ）∧q
D ．p ∧（非q ） 【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断出p 为假命题、q 为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.
【详解】
根据线面平行的判定，我们易得命题:p 若直线//a b ，直线b ⊂平面α，则直线//a 平面α或直线a 在平面α内，命题p 为假命题；
根据线面垂直的定义，我们易得命题:q 若直线l ⊥平面α，则若直线l 与平面α内的任意直线都垂直，命题q 为真命题.
故:A 命题“p q ∧”为假命题；B 命题“()p q ∨⌝”为假命题；C 命题“()p q ⌝∧”为真命题；D 命题“()p q ∧⌝”为假命题.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.
10．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N
*=-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分
B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要 【答案】A
【解析】
【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果.
【详解】
若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->，
即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+
， 又n *∈N ，1322n ∴+
≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A .
【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
11．函数()sin()(0)4f x A x π
ωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3
π
的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向左平移12π个单位
B ．向右平移4π个单位
C ．向左平移
4π个单位 D ．向右平移
34π个单位 【答案】A
【解析】 依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x π
ωω⎛⎫====+ ⎪⎝
⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故应左移π12. 12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是
( )
A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关
B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个
D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势
【答案】D
【解析】
【分析】
根据折线图依次判断每个选项得到答案.
【详解】
由绘制出的折线图知：
在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；
在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；
在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；
在D 中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若2(23)n x x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）.
【答案】4 108
【解析】
Q (
)223n x x --的展开式中所有项的系数之和为256，4256n ∴=，4n ∴=，()()()()4442223
2331n x x x x x x --=--=-+，∴2x 项的系数是()()()243
22114444333108C C C C -+⨯-+⨯-⨯= ，故答案为（1）4，（2）108. 14．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天.
【答案】72
【解析】
【分析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多733607220
-⨯
=天. 故答案为：72.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
15．在ABC V 中，23AB AC =，AD 是BAC ∠的角平分线，设AD mAC =，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】60,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】
设3AB t =，2AC t =，BAD CAD α∠=∠=，由BAD CAD BAC S S S +=△△△，用面积公式表示面积可得到6cos 5m α=，利用0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，即得解. 【详解】
设3AB t =，2AC t =，BAD CAD α∠=∠=，
由BAD CAD BAC S S S +=△△△得：
11132sin 22sin 32sin 2222
t mt t mt t t ααα⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 化简得6cos 5
m α=， 由于0,2πα⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
， 故60,5m ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
. 故答案为：60,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.
16．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；
因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；
因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()().f x x a a R =-∈
（1）当2a =时，若()32f x x M +-≥恒成立，求M 的最大值；
（2）记()2121f x x x ≤+--的解集为集合A ，若112
A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦,，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）
43；（2）5-12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
, 【解析】
【分析】
（1）当2a =时，由题意得到232x x M -+-≥，令()232g x x x =-+-，分类讨论求得函数的最小值，即可求得M 的最大值. （2）由1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2121f x x x ≤+--恒成立，转化为22x a x -+≤≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，得到max min (2)(2)x a x -≤≤+，即可求解.
【详解】
（1）由题意，当2a =时，由()32f x x M +-≥，可得232x x M -+-≥， 令()232g x x x =-+-，则只需min ()g x M ≥， 当23x <
时，()44g x x =-； 当223
x ≤≤时，()2g x x =； 当2x >时，()44g x x =-；
故当23x =
时，()g x 取得最小值43，即M 的最大值为43
. （2）依题意，当1,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()2121f x x x ≤+--恒成立，
即2121x a x x -+-≤+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 所以2121x a x x -+-≤+，即2x a -≤，即22x a -≤-≤， 解得22x a x -+≤≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立， 则max min (2)(2)x a x -≤≤+，所以512
a -≤≤， 所示实数a 的取值范围是512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，. 【点睛】
本题主要考查了含绝对值的不等式的解法，以及不等式的恒成立问题的求解与应用，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力.
18．已知函数()ln 1g x x mx =--. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）若函数()()f x xg x =在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明12ln ln 2x x +>. 【答案】（1）若0m ≤，则()g x 在定义域内递增；若0m >，则()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
上单调递减（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）1()mx
g x x
-'=
，分0m ≤，0m >讨论即可； （2）由题可得到121212121212
ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-=
===+-，故只需证121212ln ln 2
x x x x x x ->-+，
()12x x <，即1
121
22
1
ln 21x x x
x x x -<⋅+，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.
【详解】 由已知，'
1()mx
g x x
-=
，
若0m ≤，则()g x 在定义域内递增； 若0m >，则()g x 在10,
m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,m ⎛
⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
（2）由题意2
()ln f x x x mx x =--，0x >
对()f x 求导可得'
()ln 2,0f x x mx x =->
从而1x ，2x 是()f x '
的两个变号零点，因此
121212
121212
ln ln ln ln ln ln 2x x x x x x m x x x x x x +-=
===+- 下证：
121212
ln ln 2
x x x x x x ->-+，()12x x <
即证1
12
12
2
1
ln
21x x x x x x -<⋅+ 令1
2
x t x =
，即证：()(1)ln 22h t t t t =+-+，(0,1)t ∈ 对()h t 求导可得'
1()ln 1h t t t =+-，(0,1)t ∈，2
1
()t h t t -''=
，因为01t << 故''
()0h t <，所以'
()h t 在(0,1)上单调递减，而'
(1)0h =，从而'
()0h t > 所以()h t 在(0,1)单调递增，所以()(1)0h t h <=，即()0h t < 于是12ln ln 2x x +> 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.
19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA AB ⊥，6PA =，8AB =，10PD =，
N 为PC 的中点，F 为棱BC 上的一点.
（1）证明：面PAF ⊥面ABCD ；
（2）当F 为BC 中点时，求二面角A NF C --余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）5
61
61
-. 【解析】 【分析】
（1）要证明面PAF ⊥面ABCD ，只需证明PA ⊥面ABCD 即可；
（2）以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系，分别计算出面ANF 法向量1n u r
，面PBC 的法向量2n u u r
，再利用公式计算即可.
【详解】
证明：（1）因为底面ABCD 为正方形，所以8AD AB == 又因为6PA =，10PD =，满足222PA AD PD +=， 所以PA AD ⊥
又PA AB ⊥，AD ⊂面ABCD ，AB Ì面ABCD ，
AB AD A ⋂=，
所以PA ⊥面ABCD .
又因为PA ⊂面PAF ，所以，面PAF ⊥面ABCD .
（2）由（1）知AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建系如图所示，
则()0,0,0A ，()0,0,6P ，()8,0,0B ,()8,8,0C ，()0,8,0D 则()4,4,3N ，()8,4,0F .
所以()8,4,0AF =u u u r ，()4,4,3AN =u u u r ，()0,8,0BC =u u u r ，()8,8,6PC =-u u u r
，
设面ANF 法向量为()1111,,n x y z =u r ，则由1100n AF n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v
u v u u u v 得11111840
4430x y x y z +=⎧⎨++=⎩，
令11z =得134x =，13
2y =-，即133,,142n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
u r ；
同理，设面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =u u r
，
则由2200n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v
u u v u u u v 得2222886080
x y z y +-=⎧⎨=⎩，
令24z =得23x =，20y =，即()23,0,4n =u u r
，
所以121212
33014cos ,61n n n n n n ⨯++⨯⋅<>===u r u u r u r u u r u r u u r ， 设二面角A NF C --的大小为θ，则
12cos cos ,61
n n θ=-<>=-u r u u r 所以二面角A NF C --
余弦值为61
-. 【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
20．已知函数()()ln()x f x x a x a e x =++++.
（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程； （2）讨论函数()()x
h x f x e x =--的单调性；
（3）当0a =时，若方程()()x
h x f x e x m =--=有两个不相等的实数根12,x x ，求证：
12ln()ln 21x x +>-.
【答案】（1）310x y -+=；（2）当1a x a e -<<
-时，()h x 在1,a a e ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上是减函数；当1x a e >-时，
()h x 在1,a e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数；（3）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）当1a =时，()(1)ln(1)x f x x x e x =++++，求得其导函数 ()f x ' ，(0)(0)f f '
，，可求得函数()
f x 的图象在0x =处的切线方程；
（2）由已知得()()()ln()()x
h x f x e x x a x a x a =--=++>-，得出导函数()ln()1h x x a '
=++，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；
（3）当0a =时，()ln h x x x =，()ln 1h x x =+'，由（2）得()h x 的单调区间，以当方程()h x m =有两
个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，且有1211
0,1x x e e <<<<，10m e
-<<，构造函数
()()21,0H x h x h x x e e ⎛⎫⎛
⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不
等式可得证. 【详解】
（1）当1a =时，()(1)ln(1)x
f x x x e x =++++，
所以 ()ln(1)11ln(1)2x x f x x e x e '=++++=+++ ，(0)3,(0)1f f '
∴==， 所以函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为13(0)y x -=-，即310x y -+=；
（2）由已知得()()()ln()()x
h x f x e x x a x a x a =--=++>-，()ln()1h x x a '
∴=++，令()0h x '=，
得1
x a e
=
-， 所以当1a x a e -<<
-时，()'0h x <，当1
x a e
>-时，()0h x '>， 所以()h x 在1,a a e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上是减函数，在1,a e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数；
（3）当0a =时，()ln h x x x =，()ln 1h x x =+'，由（2）得()h x 在10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，
所以11()h x h e e ⎛⎫
≥=- ⎪
⎝⎭
，且0x →时，()0h x →，当x →+∞时，()h x →+∞，(1)0h =， 所以当方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ，不妨设12x x <，且有1211
0,1x x e e <<<<，
10m e
-<<， 构造函数()()2221=ln ln ,0H x h x h x x x x x x e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-----<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则
()22ln H x x x e ⎛⎫
'=+- ⎪⎝⎭
，
当10x e <<时，2
22212x x e x x e e ⎛⎫
+- ⎪⎛⎫-≤= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪
⎝⎭，
所以()0H x '<， ()H x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，且10H e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()100H x x e ⎛
⎫∴><< ⎪⎝⎭，
由1
10,x e << ()()11120H x h x h x e ⎛⎫
=--> ⎪⎝⎭
，
()()()121212121,,,h x h x h x x x h x e e e e ⎛⎫
∴=>->-> ⎪⎝⎭Q 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
()21121222
,,ln ln 21x x x x x x e e
∴>
-+>∴+>-. 所以12ln()ln 21x x +>-. 【点睛】
本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.
21．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B Ð的大小；
（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.
【答案】（1）3
π
；（2. 【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得1
cos 2
B =
，根据()0,B π∈可求得结果；（2）利用余弦定理可得224a c ac +-=，利用基本不等式可求得()max 4ac =，代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】
（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+
A B C π++=Q ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠
2cos 1B ∴=，即1
cos 2
B =
由()0,B π∈得：3
B π
=
（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=
又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-= 即()max 4ac =
∴三角形面积S 的最大值为：1
4sin 2
B ⨯=【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.
22．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率为2，左、右焦点分别为1,F 2F ，点D 在椭圆C 上，
12DF F △
的周长为2.
（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过圆2
2
2
:3
E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求证：AOB ∠为定值.
【答案】（1）2
212
x y +=（2）见解析
【解析】 【分析】 (1)
由2
c e a =
=
，周长222a c +=,
解得a =1b c ==即可求得标准方程. (2)通过特殊情况l 的斜率不存在时,求得2
AOB π
∠=
,再证明l 的斜率存在时0OA OB ⋅=u u u r u u u r
,即可证得
AOB ∠为定值.通过设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆方程联立,借助韦达定理求得
()()12121212OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u r u u u r
,利用直线l 与圆相切,
即d =
=
求得,m k 的关系代入,化简即可证得=0OA OB ⋅u u u r u u u r
即可证得结论.
【详解】 （1
）由题意得c e a =
=
，周长222a c +=，且222a c b -=.
联立解得a =
1b c ==，所以椭圆C 的标准方程为22
12
x y +=.
（2）①当直线l
的斜率不存在时，不妨设其方程为x =
，
则,,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭33B ⎛- ⎝⎭
， 所以0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r ，即2
AOB π∠=.
②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()11,,A x y ()22,B x y ，
由()()
222
2
2
21422012
y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，
()2
2
8210k m ∆=-+>，2124,21k x m x k =-++2122
22
21
m x x k -=+，
由直线l 与圆E 相切，得22
3220d m k =
=
--=. 所以()()()()22
1212121212121OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++u u u r u u u r ()(
)222
2
222
222
211
43220121212k m k m
m k m k k k
+---=
-+==+++. 从而OA OB ⊥u u u r u u u r ，即2
AOB π∠=.
综合上述，得2
AOB π
∠=为定值.
【点睛】
本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.
23．在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒，cos AMC ∠=. （1）求sin B ；
（2）若12
MC BM =u u u u r u u u u r
，4AC =，求MC .
【答案】（1（2）4 【解析】 【分析】
（1）B AMC BAM =∠-∠，利用两角差的正弦公式计算即可；
（2）设MC x =，在ABM ∆中，用正弦定理将AM 用x 表示，在ACM ∆中用一次余弦定理即可解决. 【详解】
（1）∵cos 5
AMC ∠=
，
∴sin AMC ∠=
， 所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠
sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM =∠⋅∠-∠⋅∠
=
=
. （2）∵12
MC BM =u u u u r u u u u r ，
∴设MC x =，2BM x =， 在ABM ∆中，由正弦定理得，
sin 45sin BM AM
B
=︒，
=，
∴AM x =
， ∵2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠，
∴222445x x x x =
+-⋅∴4MC x ==. 【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.。