甘肃省武威第十八中学高三上学期期末考试——数学文数

甘肃省武威第十八中学 2019届高三上学期期末考试
数学文试题
一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合{}2{|160},5,0,1A x x B =-<=-则（ ）
A. B. C. D. 2．已知（）且，则（ ） A. B. C. D.
3．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx 的定义域和值域相同的是（ ）
A ．y=x
B ．y=lgx
C ．y=2x
D ．y=
4．设α，β为两个不同的平面，直线l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π
3对称的函数是( )
A ．y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3
B ．y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6
C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 2＋π3
D ．y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3
6．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0. 若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )
A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
8．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )
A ．－43
B ．－3
4 C. 3 D ．2
9．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )
A ．向右平移π6个单位长度
B ．向右平移π
3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π
3个单位长度
10
．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且2AC BC CD ===，则球的表面积为 （ ）
A. B. C. D.
11．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )
A ．1
B ．4
C ．2
D ．8
12．已知函数f (x )＝e x x 2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的
取值范围为( )
A ．(－∞，e]
B ．[0，e]
C ．(－∞，e)
D ．[0，e) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，满足约束条件1000x y x y x +-≤-≤≥⎧⎪
⎨⎪⎩
，则的最大值为__________．
14．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 15．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－1
2，－13，则a+ b =__________．
16．学校艺术节对四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位
同学对这四件参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”； 乙说：“作品获得一等奖”； 丙说：“两件作品未获得一等奖”； 丁说：“是作品获得一等奖”．
评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分． 17．(本题满分12分)
已知函数，其中
，，x ∈R ．
（1）求函数y=f （x ）的周期和单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （A ）=2，，且b=2c ，求△ABC 的面积．
18. (本题满分12分)
已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和．
19. (本题满分12分)
如图，在四棱锥P -ABCD 中， AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝
90°.
(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P -ABCD 的体积为8
3，求该四棱锥的侧面积．
20．(本题满分12分)
已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；
(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
21．(本题满分12分)
设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）如果对所有的，都有，求的取值范围.
22．(本题满分10分)
在直线坐标系中，曲线的参数方程为(sin x y α
αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）
．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
sin()4
π
ρθ=+=．
(Ⅰ)写出的普通方程和的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．
期末考试高三文科数学答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．【答案】2 14．【答案】7 15．【答案】—1 16．【答案】 三、解答题
17．(本题满分12分) 【答案】
解： （1）=
，……3分
解得
，k ∈Z ，
函数y=f （x ）的单调递增区间是（k ∈Z ）．………………6分
（2）∵f （A ）=2，∴，即，
又∵0＜A ＜π，∴， ………………8分
∵，由余弦定理得a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=7，①………………10分 b=2c ，②由①②得， ∴． ………………12分
18．(本题满分12分)
【答案】
解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，
10a 1＋10×9
2d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2.
∴{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1．………………6分
(2)b n ＝
1n －
n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12×1－12n ＋1＝n
2n ＋1．………………12分
19．(本题满分12分)
【答案】
解：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 因为AB ∥CD ，所以AB ⊥PD . 又AP ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面P AD .
又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . ……………6分
(2)如图所示，在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面P AD ， 故AB ⊥PE ， 可得PE ⊥平面ABCD .
设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝2
2
x . 故四棱锥P -ABCD 的体积 V P -ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝8
3
，故x ＝2.
从而P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2. 可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为
12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋1
2BC 2sin 60°＝6＋2 3. ……………12分
20．(本题满分12分) 【答案】
解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11， 圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4，
两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4， |r 1－r 2|＝4－11，
∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和C 2相交．........................................................6分 (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离 d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，
故公共弦长为216－9＝27. ................................. .....................12分
21．(本题满分12分) 【答案】
（1）的定义域为，， 当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增. .....................4分
（2）当时， ()22ln 1
x f x ax a x x
≤⇔≥+， 令()()22ln 1
1x h x x x x
=
+≥，则()()233
2ln 122ln 1'x x x x h x x x x ---=-=， 令()()ln 11m x x x x x =--≥，则，当时，， 于是在上为减函数，从而，因此，
于是在上为减函数，所以当时有最大值，
故，即的取值范围是.................................................12分 22．(本题满分10分)
【答案】 解：（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为.
……5分
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值， 即为到的距离的最小值，
()|sin()2|3d π
αα=
=+-.
………………8分
当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为. ………………10分。