人教A版高中数学选修2-3课件2.2.2事件的相互独立性(2)
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(1)易知 C＝AB，则 P(C)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3. (2)易知 D＝A B ∪ A B，则 P(D)＝P(A B ∪ A B)＝P(A B ) ＋P( A B)＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5. (3)易知 E ＝ A B ，则 P( E )＝P( A B )＝P( A )P( B )＝ 0.5×0.4＝0.2， 故 P(E)＝1－P( E )＝0.8.
2.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，
取出后再放放回回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红 球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的 2个球都是白球的概率．
解析： 记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A， “第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2 个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次 取出后再放回，A、B、C都是相互独立事件．
)＋
P( A )P(B) 1－P(A)P(B)
3.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5， 购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相 互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的 概率．
(2)在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B， 它们的概率分别为P(A)、P(B)，那么：
A、B 中至少有一个发生的事件为 A∪B； A、B 都发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .
一批零件中有10个合格品，2个次品，安装机器时从 这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出 的是次品，则不再放回。Z````x```xk
（1）求最多取2次零件就能安装的概率；
（2）求在取得合格品前已取出的次品数X的分布列。
[题后感悟] (1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形： 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的 概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝ P(A1)P(A2)…P(An)．
例 1．从甲袋中摸出 1 个红球的概率是13，从乙袋中摸出 1 个红球的概率是12，从两袋中各摸出 1 球，则
(1)两个球都是红球的概率是________； (2)两个球都不是红球的概率是________； (3)两个球不都是红球的概率是________； (4)两个球至少有 1 个红球的概率是________．
解析： 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商 品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B) ＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购 买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中 的一种”；
记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两 种商品中的一种”．
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计 甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合 格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的 100 m 跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．
【错解】 ∵A 与 B 相互独立，且只有 A 发生的概率和 只有 B 发生的概率都是14，
∴P(A)＝P(B)＝14， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝14×14＝116.
【错因】 在 A 与 B 中只有 A 发生是指 A 发生和 B 不 发生这两个事件同时发生，即事件 A B 发生．搞清事件的关 系，利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC3522·CC2522＝130·110＝1300. 故第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球
都是红球(2的 )P(概CA率)＝是P1(C03)0P. (A)＝CC31C5221·CC3522＝160×130＝590 故第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球，第 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2
复杂事件的概单事件的概率，求较复杂事件的概率； 类型2.简单事件的概率未知，先利用古典概型求之，再求较 复杂事件的概率。
二.计算方法 将复杂事件通过分类转化为几个互斥事件的和；
通过分步转化为几个事件的概率的积。
练考题、验能力、轻巧夺冠
它们之间的概率关系如下表所示
P(A∪B) P(AB) P( A B )
A、B 互斥, P(A)＋P(B) 0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A B ∪ A B)
P(A)＋P(B)
P(A B ∪ A B∪ A B ) 1
A、B 相互独立 1－P( A )P( B )
P(A)P(B) P( A )P( B ) P(A)P( B
(3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝25×34×23＋25×14×13 ＋35×34×13＝2630. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 综合(1)(2)(3)可知 P1 最大． 所以出现恰有 1 人合格的概率最大．
解析： 设 A 表示“从甲袋摸出一球是红球”，B 表示 “从乙袋中摸出一球是红球”，则 P(A)＝31，P(B)＝12，P( A ) ＝23，P( B )＝21.
于是两个球都是红球的概率为 P1＝P(AB)＝P(A)P(B)＝13×12＝16.
两个球都不是红球的概率为
P2＝P( A B )＝P( A )P( B )＝23×12＝13.
两个球不都是红球的概率为
P3＝1－P(AB)＝1－61＝65.
两个球中至少有 1 个红球的概率为
P4＝1－P( A B )＝1－31＝32.
答案：
1 (1)6
1 (2)3
5 (3)6
2 (4)3
(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形
是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠
[解题过程] 记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格” 分别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，则 P(A) ＝25，P(B)＝43，P(C)＝31.
设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k＝0,1,2,3) (1)三人都合格的概率： P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝52×43×31＝110. (2)三人都不合格的概率： P0＝P( A B C )＝P( A )·P( B )·P( C )＝53×41×32＝110.
1．如何判定两个事件相互独立？ (1)定义法：如果A、B同时发生的概率等于事件A发生的概 率与事件B发生的概率的积，则事件A、B为相互独立事件． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影 响． (3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断，A与B相互独立．
2．如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”？
次取出的 2 个球都是白球的概率是590.
(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元 件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个 正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作 的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ()
A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576
【正解】 在相互独立事件 A 和 B 中，只有 A 发生，即 事件 A B 发生，只有 B 发生即事件 A B 发生．
∵A 和 B 相互独立， ∴A 与 B ， A 和 B 也相互独立． ∴P(A B )＝P(A)P( B )
＝P(A)[1－P(B)]＝14， ① P( A B)＝P( A )P(B) ＝[1－P(A)]P(B)＝14. ② ①－②得 P(A)＝P(B). ③ ①③联立可解得 P(A)＝P(B)＝12. ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14.
军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
()
1
3
A.2
B.5
2
3
C.3
D.4
解析： 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概 率 P1＝21；第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢， 其概率 P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为 P1＋P2＝43.
答案： DZ```x```xk
相互独立事件
互斥事件
一个事件的发生与否对另 定义 一个事件发生的概率没有
影响
两个事件不可能同时发生 即AB＝∅
概率 A与B相互独立等价于P(AB) 若A与B互斥，则P(A∪B)＝
公式 ＝P(A)P(B)
P(A)＋P(B)反之不成立
◎设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生的概 率和只有 B 发生的概率都是41，求事件 A 和事件 B 同时发生 的概率．
2.一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，
取出后再放放回回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红 球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的 2个球都是白球的概率．
解析： 记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A， “第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2 个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次 取出后再放回，A、B、C都是相互独立事件．
)＋
P( A )P(B) 1－P(A)P(B)
3.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5， 购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相 互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的 概率．
(2)在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、 “至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都 不发生”、“不都发生”等词语的意义，已知两个事件A、B， 它们的概率分别为P(A)、P(B)，那么：
A、B 中至少有一个发生的事件为 A∪B； A、B 都发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为 A B ； A、B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B； A、B 中至多有一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B .
一批零件中有10个合格品，2个次品，安装机器时从 这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出 的是次品，则不再放回。Z````x```xk
（1）求最多取2次零件就能安装的概率；
（2）求在取得合格品前已取出的次品数X的分布列。
[题后感悟] (1)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形： 如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的 概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝ P(A1)P(A2)…P(An)．
例 1．从甲袋中摸出 1 个红球的概率是13，从乙袋中摸出 1 个红球的概率是12，从两袋中各摸出 1 球，则
(1)两个球都是红球的概率是________； (2)两个球都不是红球的概率是________； (3)两个球不都是红球的概率是________； (4)两个球至少有 1 个红球的概率是________．
解析： 记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商 品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B) ＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购 买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中 的一种”；
记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两 种商品中的一种”．
某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计 甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合 格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的 100 m 跑的成绩进行一次检测，则
(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．
【错解】 ∵A 与 B 相互独立，且只有 A 发生的概率和 只有 B 发生的概率都是14，
∴P(A)＝P(B)＝14， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝14×14＝116.
【错因】 在 A 与 B 中只有 A 发生是指 A 发生和 B 不 发生这两个事件同时发生，即事件 A B 发生．搞清事件的关 系，利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC3522·CC2522＝130·110＝1300. 故第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球
都是红球(2的 )P(概CA率)＝是P1(C03)0P. (A)＝CC31C5221·CC3522＝160×130＝590 故第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球，第 2
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2
复杂事件的概单事件的概率，求较复杂事件的概率； 类型2.简单事件的概率未知，先利用古典概型求之，再求较 复杂事件的概率。
二.计算方法 将复杂事件通过分类转化为几个互斥事件的和；
通过分步转化为几个事件的概率的积。
练考题、验能力、轻巧夺冠
它们之间的概率关系如下表所示
P(A∪B) P(AB) P( A B )
A、B 互斥, P(A)＋P(B) 0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A B ∪ A B)
P(A)＋P(B)
P(A B ∪ A B∪ A B ) 1
A、B 相互独立 1－P( A )P( B )
P(A)P(B) P( A )P( B ) P(A)P( B
(3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝25×34×23＋25×14×13 ＋35×34×13＝2630. 恰有一人合格的概率： P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2630－110＝2650＝152. 综合(1)(2)(3)可知 P1 最大． 所以出现恰有 1 人合格的概率最大．
解析： 设 A 表示“从甲袋摸出一球是红球”，B 表示 “从乙袋中摸出一球是红球”，则 P(A)＝31，P(B)＝12，P( A ) ＝23，P( B )＝21.
于是两个球都是红球的概率为 P1＝P(AB)＝P(A)P(B)＝13×12＝16.
两个球都不是红球的概率为
P2＝P( A B )＝P( A )P( B )＝23×12＝13.
两个球不都是红球的概率为
P3＝1－P(AB)＝1－61＝65.
两个球中至少有 1 个红球的概率为
P4＝1－P( A B )＝1－31＝32.
答案：
1 (1)6
1 (2)3
5 (3)6
2 (4)3
(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形
是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠
[解题过程] 记“甲、乙、丙三人 100 米跑成绩合格” 分别为事件 A，B，C，显然事件 A，B，C 相互独立，则 P(A) ＝25，P(B)＝43，P(C)＝31.
设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k＝0,1,2,3) (1)三人都合格的概率： P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝52×43×31＝110. (2)三人都不合格的概率： P0＝P( A B C )＝P( A )·P( B )·P( C )＝53×41×32＝110.
1．如何判定两个事件相互独立？ (1)定义法：如果A、B同时发生的概率等于事件A发生的概 率与事件B发生的概率的积，则事件A、B为相互独立事件． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影 响． (3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断，A与B相互独立．
2．如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”？
次取出的 2 个球都是白球的概率是590.
(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三类不同的元 件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个 正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作 的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ()
A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576
【正解】 在相互独立事件 A 和 B 中，只有 A 发生，即 事件 A B 发生，只有 B 发生即事件 A B 发生．
∵A 和 B 相互独立， ∴A 与 B ， A 和 B 也相互独立． ∴P(A B )＝P(A)P( B )
＝P(A)[1－P(B)]＝14， ① P( A B)＝P( A )P(B) ＝[1－P(A)]P(B)＝14. ② ①－②得 P(A)＝P(B). ③ ①③联立可解得 P(A)＝P(B)＝12. ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14.
军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
()
1
3
A.2
B.5
2
3
C.3
D.4
解析： 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概 率 P1＝21；第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲赢， 其概率 P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为 P1＋P2＝43.
答案： DZ```x```xk
相互独立事件
互斥事件
一个事件的发生与否对另 定义 一个事件发生的概率没有
影响
两个事件不可能同时发生 即AB＝∅
概率 A与B相互独立等价于P(AB) 若A与B互斥，则P(A∪B)＝
公式 ＝P(A)P(B)
P(A)＋P(B)反之不成立
◎设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有 A 发生的概 率和只有 B 发生的概率都是41，求事件 A 和事件 B 同时发生 的概率．