21-22版：模块综合试卷(二)(步步高)
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(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.直线3x－ 3 y＋1＝0的倾斜角是
√ A.30°
B.60°
C.120°
D.135°
解析
直线的斜率为 3 ＝ 3
3，对应的倾斜角为 60°.
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1 A.2
1 B.3
√C.14
√D.15
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解析 由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0，1)， 由—D→1B＝(1,1，－1)，得—D→1P＝(λ，λ，－λ)， 又—D→1A＝(1,0，－1)，—D→1C＝(0,1，－1)， 所以P→A＝—D→1A－—D→1P＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， P→C＝—D→1C－—D→1P＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)， 所以∠APC为锐角等价于cos∠APC>0，
解析 建立空间直角坐标系如图，则 C(1,1,0)，C1(1,1,1)，E0，12，1，
所以E→C＝1，12，－1， —CC→1＝(0,0,1)，
所以—CC→1在E→C上的投影的数量为
—→ → CC→1·EC＝
|EC|
1－＋114＋1＝－23，
所以点 C1 到直线 EC 的距离 d＝
|—CC→1|2－—CC→|E→1C·E→| C2＝
则A(1,0,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)， —AB→1 ＝(－1,0,2)，—BC→1 ＝(0,1,2)，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，
—→ —→
则
cos
θ＝
| AB1 —→
·BC1| —→
＝
| AB1 |·| BC1 |
4 5·
5＝45.
∴异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为45.
C.向量—AD→1与向量—A1→B的夹角是 60° D.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积为|A→B·—AA→1·A→D|
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解析 由向量的加法得到：—A1→A＋A—1→D1＋A—1→B1＝—A1→C，
即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上， 圆心到直线的距离 d＝|2k－1＋0＋k2k|≤2 2，计算得到－2 2≤k≤2 2.
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12.设动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1上(含内部)，且 —D→1P＝λ—D→1B ，当 ∠APC为锐角时，实数λ可能的取值是
∵A1C2＝3A1B21， ∴(—A1→C)2＝3(A—1→B1)2，∴A 正确； ∵A—1→B1－—A1→A ＝—AB→1 ，AB1⊥A1C， ∴—A1→C·—AB→1＝0，故 B 正确；
∵△ACD1是等边三角形， ∴∠AD1C＝60°， 又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°， 但是向量—AD→1与向量—A1→B的夹角是 120°，故 C 不正确；
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于
5 A. 5
2 B.5
√C.45
25 D. 5
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解析 如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角 坐标系，
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3.圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上一点到原点的距离的最大值为
A.4
B.5
√C.6
D.7
解析 圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3,4)，半径为1， 圆心到原点的距离为 32＋42＝5， 所以圆上一点到原点的距离的最大值为5＋1＝6.
B.4x52 ＋3y62 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.3x62 ＋2y72 ＝1
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解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 AB 的中点为 Mx1＋2 x2，y1＋2 y2，
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4.在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3 分别是 AC，AB′，
AD′的中点，以{—AO→1，—AO→2，—AO→3}为基底，A—C→′＝x—AO→1＋y—AO→2＋z—AO→3，
则yx11＋＋22 yx22＝＝－1，1，
可得xy11＋ ＋xy22＝ ＝点在x轴上，不合题意. 所以直线 AB 的斜率存在，且 kAB＝yx11－ －yx22，
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2.“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝
－1”的
A.充分不必要条件
√C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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解析 若“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”， 可得(a－3)a＝a＋5， 即a＝－1或a＝5(此时两直线重合，故舍去)， 即a＝－1成立； 若a＝－1，则两条直线分别为x－y＋1＝0，x－y＋4＝0， 故两直线平行成立. 综上可得，“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行” 是“a＝－1”的充要条件.
的离心率为
A. 2
6 B. 2
C. 3
√D.32
解析 抛物线 y2＝－8ax 的准线为 x＝2a，则不妨取 P(2a， 3b)，
∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a， 而 4a2＝|PF2|2＝(2a－c)2＋( 3b)2＝4a2－4ac＋c2＋3(c2－a2)，∴e＝ac＝32.
→ AD
)＋12(A→B＋A—A→′)＋12(A—A→′＋A→D
)＝12A→C ＋12A—B→′ ＋12A—D→′ ＝ —AO→1 ＋—AO→2
＋—AO→3， 对比A—C→′＝x—AO→1＋y—AO→2＋z—AO→3，
可得x＝y＝z＝1.
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10.已知曲线C的方程为 k2x－2 1－3－y2 k＝1(k∈R)，则下列结论正确的是 A.当k＝4时，曲线C为椭圆，其焦距为8
√B.当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为 2 3 3 C.存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
√D.不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆
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直线 OM 的斜率为 kOM＝xy11＋＋22 xy22－－00＝yx11＋ ＋yx22＝－1， 由于 A，B 两点都在椭圆 E 上，则aaxx212222＋＋bbyy212222＝＝11，， 两式作差得x21－a2 x22＋y21－b2 y22＝0，所以yx2121－ －yx2222＝－ba22， 因为 kAB＝kFM＝03＋－11＝12，
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6.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直 线CE的距离为
1 A.3
3 B. 3
√C. 35
6 D. 3
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k2－1<0， 则3－k<0， 无解，故 C 错误；
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若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
k2－1>0，
则3－k<0， k2－1<k－3，
则 k 无解，故 D 正确.
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∵AB⊥AA1， ∴A→B·—AA→1 ＝0， 故|A→B·—AA→1 ·A→D|＝0， 因此D不正确.
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11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)
上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k可以取的
值是
√A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4， 过P所作的圆的两条切线相互垂直，
所以 P，圆心 C，两切点构成正方形，|PC|＝2 2，
解析 当 k＝4 时，曲线 C 的方程为1x52 ＋y2＝1， 故曲线 C 为椭圆，其焦距为 2 15－1＝2 14，故 A 错误； 当 k＝2 时，曲线 C 的方程为x32－y2＝1， 故曲线 C 为双曲线，此时 a＝ 3，b＝1，
所以 c＝2，故离心率为 e＝233，故 B 正确； 若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，
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所以 kABkOM＝yx11－ －yx22·xy11＋＋xy22＝yx2121－ －yx2222＝－ba22＝－12，
所以ba22＝12， c2＝a2－b2＝9，
a2＝18， 解得b2＝9，
则 x，y，z 的值是
√A.x＝y＝z＝1
B.x＝y＝z＝12
C.x＝y＝z＝
2 2
D.x＝y＝z＝2
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解析 A—C→′＝A→B＋B—C→′＝A→B＋B—B→′＋B→C＝A→B＋A—A→′＋A→D＝12(A→B＋
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是
√A.(—A1→A ＋A—1→D1＋A—1→B1)2＝3(A—1→B1)2 √B.—A1→C ·(A—1→B1－—A1→A )＝0
1－49＝
5 3.
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7.已知椭圆E：ax22＋by22＝1(a>b>1)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于 A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
√A.1x82 ＋y92＝1
因此椭圆 E 的标准方程为1x82 ＋y92＝1.
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8.已知F1，F2分别是双曲线 ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲 线与抛物线y2＝－8ax的准线的一个公共点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.直线3x－ 3 y＋1＝0的倾斜角是
√ A.30°
B.60°
C.120°
D.135°
解析
直线的斜率为 3 ＝ 3
3，对应的倾斜角为 60°.
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1 A.2
1 B.3
√C.14
√D.15
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解析 由题设可知，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0，1)， 由—D→1B＝(1,1，－1)，得—D→1P＝(λ，λ，－λ)， 又—D→1A＝(1,0，－1)，—D→1C＝(0,1，－1)， 所以P→A＝—D→1A－—D→1P＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， P→C＝—D→1C－—D→1P＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)， 所以∠APC为锐角等价于cos∠APC>0，
解析 建立空间直角坐标系如图，则 C(1,1,0)，C1(1,1,1)，E0，12，1，
所以E→C＝1，12，－1， —CC→1＝(0,0,1)，
所以—CC→1在E→C上的投影的数量为
—→ → CC→1·EC＝
|EC|
1－＋114＋1＝－23，
所以点 C1 到直线 EC 的距离 d＝
|—CC→1|2－—CC→|E→1C·E→| C2＝
则A(1,0,0)，B1(0,0,2)，B(0,0,0)，C1(0,1,2)， —AB→1 ＝(－1,0,2)，—BC→1 ＝(0,1,2)，
设异面直线AB1与BC1所成的角为θ，
—→ —→
则
cos
θ＝
| AB1 —→
·BC1| —→
＝
| AB1 |·| BC1 |
4 5·
5＝45.
∴异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为45.
C.向量—AD→1与向量—A1→B的夹角是 60° D.正方体 ABCD－A1B1C1D1 的体积为|A→B·—AA→1·A→D|
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解析 由向量的加法得到：—A1→A＋A—1→D1＋A—1→B1＝—A1→C，
即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上， 圆心到直线的距离 d＝|2k－1＋0＋k2k|≤2 2，计算得到－2 2≤k≤2 2.
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12.设动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1上(含内部)，且 —D→1P＝λ—D→1B ，当 ∠APC为锐角时，实数λ可能的取值是
∵A1C2＝3A1B21， ∴(—A1→C)2＝3(A—1→B1)2，∴A 正确； ∵A—1→B1－—A1→A ＝—AB→1 ，AB1⊥A1C， ∴—A1→C·—AB→1＝0，故 B 正确；
∵△ACD1是等边三角形， ∴∠AD1C＝60°， 又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°， 但是向量—AD→1与向量—A1→B的夹角是 120°，故 C 不正确；
5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝2， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值等于
5 A. 5
2 B.5
√C.45
25 D. 5
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解析 如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角 坐标系，
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3.圆(x－3)2＋(y－4)2＝1上一点到原点的距离的最大值为
A.4
B.5
√C.6
D.7
解析 圆(x－3)2＋(y－4)2＝1的圆心为(3,4)，半径为1， 圆心到原点的距离为 32＋42＝5， 所以圆上一点到原点的距离的最大值为5＋1＝6.
B.4x52 ＋3y62 ＝1
C.2x72 ＋1y82 ＝1
D.3x62 ＋2y72 ＝1
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解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 AB 的中点为 Mx1＋2 x2，y1＋2 y2，
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4.在正方体 ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3 分别是 AC，AB′，
AD′的中点，以{—AO→1，—AO→2，—AO→3}为基底，A—C→′＝x—AO→1＋y—AO→2＋z—AO→3，
则yx11＋＋22 yx22＝＝－1，1，
可得xy11＋ ＋xy22＝ ＝点在x轴上，不合题意. 所以直线 AB 的斜率存在，且 kAB＝yx11－ －yx22，
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2.“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”是“a＝
－1”的
A.充分不必要条件
√C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
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解析 若“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行”， 可得(a－3)a＝a＋5， 即a＝－1或a＝5(此时两直线重合，故舍去)， 即a＝－1成立； 若a＝－1，则两条直线分别为x－y＋1＝0，x－y＋4＝0， 故两直线平行成立. 综上可得，“直线(a－3)x＋(a＋5)y＋2a－2＝0与直线x＋ay＋4＝0平行” 是“a＝－1”的充要条件.
的离心率为
A. 2
6 B. 2
C. 3
√D.32
解析 抛物线 y2＝－8ax 的准线为 x＝2a，则不妨取 P(2a， 3b)，
∵|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a， 而 4a2＝|PF2|2＝(2a－c)2＋( 3b)2＝4a2－4ac＋c2＋3(c2－a2)，∴e＝ac＝32.
→ AD
)＋12(A→B＋A—A→′)＋12(A—A→′＋A→D
)＝12A→C ＋12A—B→′ ＋12A—D→′ ＝ —AO→1 ＋—AO→2
＋—AO→3， 对比A—C→′＝x—AO→1＋y—AO→2＋z—AO→3，
可得x＝y＝z＝1.
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10.已知曲线C的方程为 k2x－2 1－3－y2 k＝1(k∈R)，则下列结论正确的是 A.当k＝4时，曲线C为椭圆，其焦距为8
√B.当k＝2时，曲线C为双曲线，其离心率为 2 3 3 C.存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线
√D.不存在实数k，使得曲线C为焦点在y轴上的椭圆
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直线 OM 的斜率为 kOM＝xy11＋＋22 xy22－－00＝yx11＋ ＋yx22＝－1， 由于 A，B 两点都在椭圆 E 上，则aaxx212222＋＋bbyy212222＝＝11，， 两式作差得x21－a2 x22＋y21－b2 y22＝0，所以yx2121－ －yx2222＝－ba22， 因为 kAB＝kFM＝03＋－11＝12，
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6.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直 线CE的距离为
1 A.3
3 B. 3
√C. 35
6 D. 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
k2－1<0， 则3－k<0， 无解，故 C 错误；
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若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
k2－1>0，
则3－k<0， k2－1<k－3，
则 k 无解，故 D 正确.
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∵AB⊥AA1， ∴A→B·—AA→1 ＝0， 故|A→B·—AA→1 ·A→D|＝0， 因此D不正确.
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11.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)
上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k可以取的
值是
√A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 x2＋y2－4x＝0，所以(x－2)2＋y2＝4， 过P所作的圆的两条切线相互垂直，
所以 P，圆心 C，两切点构成正方形，|PC|＝2 2，
解析 当 k＝4 时，曲线 C 的方程为1x52 ＋y2＝1， 故曲线 C 为椭圆，其焦距为 2 15－1＝2 14，故 A 错误； 当 k＝2 时，曲线 C 的方程为x32－y2＝1， 故曲线 C 为双曲线，此时 a＝ 3，b＝1，
所以 c＝2，故离心率为 e＝233，故 B 正确； 若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，
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所以 kABkOM＝yx11－ －yx22·xy11＋＋xy22＝yx2121－ －yx2222＝－ba22＝－12，
所以ba22＝12， c2＝a2－b2＝9，
a2＝18， 解得b2＝9，
则 x，y，z 的值是
√A.x＝y＝z＝1
B.x＝y＝z＝12
C.x＝y＝z＝
2 2
D.x＝y＝z＝2
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解析 A—C→′＝A→B＋B—C→′＝A→B＋B—B→′＋B→C＝A→B＋A—A→′＋A→D＝12(A→B＋
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二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分) 9.已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是
√A.(—A1→A ＋A—1→D1＋A—1→B1)2＝3(A—1→B1)2 √B.—A1→C ·(A—1→B1－—A1→A )＝0
1－49＝
5 3.
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7.已知椭圆E：ax22＋by22＝1(a>b>1)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于 A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
√A.1x82 ＋y92＝1
因此椭圆 E 的标准方程为1x82 ＋y92＝1.
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8.已知F1，F2分别是双曲线 ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲 线与抛物线y2＝－8ax的准线的一个公共点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线