高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 高考解答题专项二 三角函数中的综合问题

2
1 2 2 1 2
= (b +c )- a ,得
2
4
a=2 3.
+ |2
由
1
S△ABC=2bcsin
A 和 b +c -a =2bccos A,得
2
得 tan A=- 3<0,故 A∈
又因为
1
S△ABC=2bcsin
2
π
,π
2
2
,有
2π
A= .
3
A,所以 bc=4.
由 b2+c2=8 和 bc=4,得 b=c=2.
2 + 2 sin(ωx+φ)的形式.
对点训练 2 已知函数 f(x)=2cos
π
5π
(x+24 )+cos(2x-12 ).
2
(1)求函数图象的对称轴方程;
(2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.
解由于 f(x)=2cos
π
5π
π
5π
(x+24)+cos(2x-12)=cos(2x+12)+1+cos(2x-12)
例2.设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).
(1)求函数
π 2
y=[f(x+ )] 的最小正周期;
2
(2)求函数
π
π
y=f(x)f(x- )在区间[0, ]上的最大值.
4
2
解(1)由题得 f(x)=sin x+cos x=
π
2sin(x+4),则
π 2
y=[f(x+2)] =[
3π 2
3π
三角形的中线与角平分线问题
例4.(2023福建厦门二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
2a-c=2bcos C.
(1)求B;
(2)A的角平分线与C的角平分线相交于点D,AD=3,CD=5,求AC和BD.
解 (1)因为2a-c=2bcos C,
由正弦定理得2sin A-sin C=2sin Bcos C.
高 考
解答题
专项二
三角函数中的综合问题
考情分析
三角函数是高考的必考内容,在近几年的高考试卷中,三角函数解答题可能
是常规考题,也可能是结构不良试函数的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,对学生的综
合素养要求较高,一般处在解答题的前两个题目位置,对逻辑推理、数学运
2
C= 3 ,求
b.
3
S1-S2+S3= ,sin
2
1
B= .
3
解(1)边长为 a
3 2
的正三角形的面积为 4 a ,边长为
边长为 c 的正三角形的面积为
故 S1-S2+S3=
3 2
c,
4
3 2 2
3
2
(a -b +c )= ,即
4
2
a2-b2+c2=2.
又 b2=a2+c2-2accos B,故 accos B=1,∴cos B>0.
π
+6
.当 x∈
π π
,
6 2
时,
方法总结三角函数图象与性质问题的解法
(1)基本策略:首先通过恒等变换将函数解析式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,
然后利用整体换元思想解决相应的性质问题.
(2)易错提醒:①求单调区间时,如果系数ω<0,应先利用诱导公式,将系数化
为正数,再进行求解;当A<0时,原函数的单调区间与函数y=sin(ωx+φ)的单
6
2
π
π 5π
时,2x-6∈ 6 , 6
,
f(x)取得最大值,最大值为 1.
π
φ=- ,
6
若选②,则有
π
2×6+φ=kπ(k∈Z),解得
以 f(x)=sin 2
π
−3
.
当 x∈
π π
,
6 2
π
时,2x-3∈
所以当
π
2x3
π
,即
2
=
π
π
φ=kπ-3(k∈Z).又因为|φ|<2,所以
2π
0, 3
,
5π
算、数学建模等多个数学核心素养都有较深入的考查.
考点一
三角函数的图象与性质问题
π
例 1.在①函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称,②函数 y=f(x)的图象关于点
3
π
2π
P( ,0)对称,③函数 y=f(x)的图象经过点 Q( ,-1)这三个条件中任选一个,补充
6
3
在下面问题中并解答.
π
函数取最大值
2
2
1+ 2 .
π
x∈[0, ]可得
2
π
x=2sin(x+4)sin
1-cos2
2
2·
+ sin
2
2
x=2sin
2
2x= sin
2
π
π 3π
2x- ∈[- , ],所以当
4
4 4
π
2x4
2
x·
( 2 sin
2x-
=
2
cos
2
π
,即
2
x
2x
3π
x= 时,
8
方法点拨利用恒等变换研究三角函数性质
14
5 3
sin∠DAB= ,在△ABD
14

中,
sin∠
=

,所以
sin∠
15 3
BD=
.
7
方法总结三角形中的中线、角平分线问题的处理策略
对点训练4锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,
已知 3bcos C=2asin A- 3ccos B.
(1)求A;
(2)若b=2,D为AB的中点,求CD的取值范围.
π
2π
由∠ADC=3,得∠ADB= 3 ,
1
所以sin
=

,故 csin
2π
sin
3
3
B= 2 .
②
将②式代入①式,得 a=4.
在△ADB 中,由余弦定理得 AB =c =AD +BD
2
即 c =1 +2 -2×1×2×
2
2
2
在△ABD 中,cos
sin
3
B= ,tan
2 7
1
-2
2
2
7+4-1
3
B= ,
2 7
(2)在△ABC 中,由 =
1
= (||2+| |2+2
4
1

2
1
2 1
+ 2 ,得|| =4 |
· ).
由余弦定理得 2 · =||2+| |2-| |2.
故||
1
=4(2||2+2| |2-| |2),
2
即 AD
在△ADC 中,由余弦定理知 b =1 +2
2
在△ABD 中,c =AB =1 +2
2
在△ABC 中,cos
tan
3
B= .
5
2
2
2
π
-2×1×2×cos3=3.
2
2π
-2×1×2×cos 3 =7.
2
2 +2 -2
B= 2
=
7+16-3
2 7×4
=
5
>0,故 B∈
2 7
π
0, 2
,有 sin
1 2 2 2
S△ABC=4(b +c -a )tan
A,
方法总结利用正余弦定理解三角形的基本策略
对点训练 3 记△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,以 a,b,c 为边长的
三个正三角形的面积分别为 S1,S2,S3,且
(1)求△ABC 的面积;
(2)若 sin Asin
③3sin
①③.
3
φ+2=0,sin
1
φ=-2,则
π
π
=0,则6+φ=kπ,k∈Z.又-2<φ<0,所以
π
π
φ=2kπ-3.又-2<φ<0,所以
φ=kπ+(-1)
k
π
−6
π
φ=-6.
π
φ=-3.
π
,k∈Z.又-2<φ<0,所以
π
φ=-6.因此选
(2)由(1)知,f(x)=3sin 2
所以 g(x)=3sin 2
由 sin
故
1
B= ,得
3
cos
1
S△ABC= acsin
2
2 2
B= ,故
3
1
B=
2
×
3 2
4
1
ac=
cos
1
3
× =
2
.
8
=
3 2
,
4
b 的正三角形的面积为
3 2
b,
4
2
(2)由正弦定理可得si n 2 =
故
3
b=2sin
1
B=2.

sin sin
=
3 2
4
2
3
=
9
,
4
考点四
2 7×2
5
2π
-2AD·
BDcos ,
3
=7,得 c= 7.
2 +2 -2
B= 2·
3
B= .
5
2
=
=
2 7
>0,故 B∈
π
0, 2
,则
方法 2(余弦定理)
因为 AD 为△ABC 的中线,所以
1

π
S△ABC=2S△ADC=2×2 × 2×1×sin3
=
3
a=
4
3,故
a=4.
问题:已知函数 f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ(ω>0,|φ|<2)的最小正周期为 π,
且
π π
,判断函数 f(x)在区间(6 , 2 ) 内是否存在最大值?若存在,求出最大
值及此时的 x 值;若不存在,说明理由.
解 由于 f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin(ωx+φ),
△ABC 面积为 3,D 为 BC 的中点,且 AD=1.
π
(1)若∠ADC=3 ,求
tan B;
(2)若b2+c2=8,求b,c.
解(1)方法 1(正弦定理+余弦定理)
由题意可知
1
S△ABC= acsin
2

在△ABD 中,有sin
=
B= 3,故 acsin B=2 3.①

,
sin∠
3π
2
2sin(x+ 4 )] =2sin (x+ 4 )=1-cos(2x+ 2 )=1-sin
的最小正周期
2π
T= 2 =π.
2x,所以该函数
π
(2)由题意,y=f(x)f(x-4)=
+
2
cos
2
+
2
π
2
=sin(2x- )+ .由
2
4
2
π
2sin(x+4)· 2sin
x)= 2sin x+ 2sin xcos x=
由已知函数 f(x)的最小正周期
若选①,则有
π
π
2× +φ=kπ+ (k∈Z),解得
3
2
所以 f(x)=sin 2
所以当
π
2x6
2π
T= =π,得

=
π
−6
π
,即
2
.当 x∈
π π
,
6 2
π
x= 时,函数
3
ω=2,所以 f(x)=sin(2x+φ).
π
π
φ=kπ- (k∈Z).又因为|φ|< ,所以
调区间恰好相反,应注意转换.
②求函数在区间[a,b]上的最值和值域时,不能错误地认为最大值和最小值
就是1和-1,也不能认为最值一定在区间端点a,b处取得,而应该依据x∈[a,b]
求出ωx+φ的取值区间,然后结合正弦函数的图象来确定函数的最值以及取
得最值时自变量的值.
π
对点训练 1 已知函数 f(x)=3sin(2x+φ)(-2<φ<0)同时满足下列 3 个条件中的 2
π
π
π
2sin(2x- )+1.令- +2kπ≤2x3
2
3
≤
π
+2kπ(k∈Z),
2
π
5π
π
5π
解得-12+kπ≤x≤12+kπ(k∈Z).故函数的单调递减区间是[-12+kπ,12+kπ](k∈
Z).
考点三
利用正余弦定理解三角形问题
例3.(2023新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
x= 时,函数
12
f(x)取得最大值,最大值为 1.
π
φ=-3,所
若选③,则有
2π
π
2× 3 +φ=2kπ-2(k∈Z),解得
π
又因为|φ|<2,所以
π
π 7π
2x+6∈ 2 , 6
π
k=1,φ=6,所以
11π
φ=2kπ- 6 (k∈Z).
f(x)=sin 2
,
显然,函数 f(x)在该区间上没有最大值.
个.
π
5π
3 个条件依次是:①f(x)的图象关于点(12,0)对称;②当 x=12时,f(x)取得最大值;
3
③0 是函数 y=f(x)+2的一个零点.
(1)试写出满足题意的2个条件的序号,并说明理由;
(2)求函数g(x)=f(x)+6cos2x的值域.
解 (1)①f
π
12
=3sin
π
+

6
5π
π
②2×12+φ=2kπ+2,k∈Z,则
=3
3
sin 2
2
因为 sin 2
π
−6
1
+ 2 cos 2
π
+6
π
−6
,
2
+6cos x=3
π
π
sin 2cos 6 − cos 2sin 6
+3=3sin 2
π
+6
+3.
∈[-1,1],所以 g(x)∈[0,6],
故函数 g(x)的值域为[0,6].
+3(1+cos 2x)
考点二
三角恒等变换与三角函数的综合
所以2sin(B+C)-sin C=2sin Bcos C,