概率纸简介

概率纸
probability paper
一类依特定的概率分布而制作的坐标纸。

对于每个连续的分布函数，都可以设计一种坐标纸，使该分布函数在其上的图形呈一条直线。

因此，概率纸常依概率分布来命名，例如正态概率纸、对数正态概率纸，威布尔概率纸和伽玛概率纸等。

利用概率纸，可根据样本对总体分布的类型进行检验，对分布参数进行估计，以及进行其他简便快速的统计推断。

概率纸的原理和方法,可以用图1的正态概率纸为例来说明。

正态概率纸的横轴（常表为轴）采用一般的等距刻度；而在纵轴等距刻度=(-)/处标以数值
[257-1],式中(>0)与是选定的常数;是标准正态分布函数。

在这张坐标纸上，一个均值为，标准差为的正态分布的图像,是一条通过点(，0.5)而
斜率为1/的直线。

若有了样本1,2,…,,则对每个,首先用样本对分布函数在点的
值()作一估计()然后把点(,()标在正态概率纸上。

若这些点很靠近一直线, 则说明总体分布很接近正态分布。

在很大时,可以用经验分布函数（见样本）估计（
）。

若较小，则先将样本观测值按从小到大的次序排列为
[257-2]。

然后用/(+1)估计(()),也可使用
[257-3]或中位秩数值表。

例如，从某种规格的一批电阻中，随机抽取=15只，实际测量的电阻值按从小到大
的次序排列的数值()及相应的(()值由公式[257-4]计算，见表[]。

将上述15对数据(()),(())（=1,2,…,15）标在正态概率纸上，它们基本上成直线排列(图1[正态概率纸]
)。

这说明这批电阻的电阻值大体上遵从正态分布。

用目测的方法配置一条尽可能靠近
所有这些点的直线，则在直线上相应于()=50％点的横坐标值 2.05(欧姆)可以作为均
值的估计；相应于()=15.9％（正态分布下小于－的概率）的点的横坐标值1.74(欧姆)可以作为-的估计得到的估计值=2.05-1.74=0.31(欧姆)。

其他连续分布的概率纸的构造与使用方法，与正态概率纸相同。

不同的地方只在于坐
标轴上的刻度。

例如，对数正态概率纸的横轴采用对数刻度，纵轴刻度与正态概率纸相
同威布尔概率纸(见图2[威布尔概率
纸]
)
的横轴(常表为轴)用对数刻度,纵轴则是按ln[kg2]ln(1-())(刻度,其中()是位置参数为0的威布尔分布函数。

在图上根据观测值配置直线后，如需估计分布参数等数字特征，还需用到印在概率纸上方和右上方的附加尺。

以上两种概率纸在寿命数据统计分析中应用相当广泛。

利用概率纸作图，对定时或定数截尾的不完全数据也适用，因为此时对一部分值,()仍可估计。

近年来，有一种称为累积危险率纸的坐标纸，可以处理各种类型的不完全数据。

它的构造也随分布而异，但用累积危险率Λ()代替()，除了估计Λ()的方法不同外，其他使用方法与一般概率纸基本相同。

统计分析纸,也即二项概率纸（图3[统计分析
纸]
），它是另一种常用的概率纸，它的形式和构造与连续分布的概率纸不同，它是由在坐标轴都为平方根刻度的坐标纸上，加上一个四分之一圆及若干附加尺而构成的。

它的基
本原理是R.A.费希尔提出的反正弦变换,若遵从二项分布（，），费希尔在1922年
证明了当→∞时，[260-1]的渐近分布是正态分布，而且渐近方差1/4与总体参数无关。

据此，他首先指出平方根纸可以用作统计推断。

后来经过若干改进和补充，逐渐成为目前使用的形式。

统计分析纸可用于对百分率的检验，泊松分布均值的检验，符号检验以及制定抽样检验方案和控制图等。

利用概率纸作统计推断具有直观、简单、使用方便等优点，故虽然精度差些，仍受到应用工作者的重视。

参考书目
刘璋温、戴树森、方开泰编：《概率纸浅说》，科学出版社，北京，1980。

J. R. King，Probability Charts for Decision Makin,Industrial Press,New York,1971.
戴树森。