图论模型

图论模型
此模型解决的是垃圾清运路线的最佳方案。

1、收集路线方案：用中国邮递员问题解决
达到最佳经济效益和环保效果的垃圾清运路线问题是在车辆限载约束条件下的最优路径选择的问题，同时本项目涉及到深圳市南山区38个垃圾中转站，而每个中转站所覆盖的收集区域的选取需要满足最大覆盖域（即总体能够消耗最少资源来覆盖整片区域），收集区域的划分又要同时考虑实地情况（地形、路线、用地性质、人流量、垃圾量等）。

1.1模型建立：
为简化问题讨论，在转运站覆盖区域的划分的问题上，需要运用“最大覆盖”及“模糊划分”的思想，具体划分出每个转运站所对应 的片区的近似最优划分。

将问题简化后，所要求解的问题就是每个垃圾中转站所对应的每个小分区的街道所构成的收集网络的垃圾收运车辆优化路线的问题，也就是要求每一条街道至少有一辆垃圾收运车经过并且车辆重复走过的街道的总长度最小化的问题。

对于这个问题，我们采用图论模型，将每个小分区的街道及收集点简化成网络图（也叫赋权图）。

对于网络图中的圈用圈点来表示，计算各个圈点的垃圾量（也即围成圈的街道上的垃圾量的和），将相邻（有公共顶点）的圈点用线连接起来，这就构成了圈点图。

遵循以垃圾中转站为圆心沿径向发散求最小生成树的原则将圈点图中相邻的圈点组块，使得每块的垃圾量近似于垃圾收运车载限，对应于圈点分块，网络图分开成了各个子网络图，对于每一个子网络图即可利用欧拉回路求得其最小路径线路。

现在给出最短欧拉回路求解举例：
图代表的是其中一个收集子网络图，其中直线表示车辆需要经过的街道，线上的数字表示该街道的长度，该子网络图各条街道的垃圾量之和近似于收集车辆的载限。

现要求的是车辆经过每一条街道至少一次的最短回路，现在对这个问题分步求解：
第一步：找出图中的奇点，如图中橙色小圆点所在处为奇点。

第二步：将各对奇点沿街道连接起来，使得连接奇点的所有街道总长度最小。

如
下图绿色线条：
第三步：得出经过每条街道至少一次的最短路径长度为所有街道的总长加上连接奇点的街道的长度。

所求出的就是街道构成的收集子网络最短欧拉回路。

1.2模型评价：
采用中国邮递员问题求最短路径法能简单快速求出最优运送路线。

但此方法只能用于局部最优路线的规划，所以，对于涉及到大区域的规划，则需要做很多前期工作，将大区域逐步细分，在各个细分的小区域范围内做局部规划，再将每个小区域的最优规划组合，得到总体的近似最优规划。

2、转运路线方案：路径最短的汉密尔顿圈求解
达到最佳经济效益和环保效果的垃圾清运路线问题是在车辆限载约束条件下的最优路径选择的问题。

现在要考虑38个垃圾转运站运输厨余垃圾到处理中心的最优清运路线，转运清运路线的规划需要考虑地形、路线、垃圾量以及车辆限载等因素。

由于只用2台大型厨余设备就覆盖了整个南山区，运输路线可用两点之间的直线距离来近似代替。

于是，将问题简化后，所要求解的问题就是每个厨余垃圾处理中心所对应的垃圾转运站的转运路线优化的问题，也就是要求每个转运站至少有一辆拖车经过并且车辆非满载情况下重复走过的路线的总长度最小化的问题。

2.1模型建立
对这个问题，我们采用图论模型，将厨余垃圾处理中心以及对应的转运站的集合简化成点网络图（也叫赋权图），点与点之间的连线表示路径长度。

若点上的厨余垃圾量超过车辆限载，则将能使车辆满载的厨余垃圾取最短路径送往处理中心。

剩下的不能使车辆满载的厨余垃圾，则集合各个点，使每个集合的垃圾量近似于拖车的载限。

对应于集合起来的点，点网络图分开成了各个子点网络图，则问题转化为分别对子点网络图构成的汉密尔顿图求一条能通过集合内各个顶点的路径最短的汉密尔顿圈。

对于路径最短的汉密尔顿圈的求解，采用的是逐步筛选最近目的地法。

具体步骤：一：从出发点开始，选取离出发点最近的一点为目的地；二：以到达的目的地再作为出发点，对未经过的点重复一的步骤；三：最终回到出发点。

四：得出的备选路线方案中，选取总路径最短的方案为最优方案。

现举一例：
图代表的是其中一个子点网络图，其中的黄色方形表示厨余处理中心，各个不同颜色的小椭圆表示转运站，线上的数字表示两点间的路径长度，转运站里面剩下的需转运的厨余垃圾量之和近似于拖车的载限。

现要求的是一个能连通方形以及各个小椭圆的路径最小的汉密尔顿圈。

现在对这个问题分步求解：第一步：从方形出发，选取离出发点最近的小椭圆作为目的地。

第二步：再以到达的小椭圆再作为出发点，再次选取未经过的距出发点最近的小椭圆作为目的地，依次下去，最终回到方形。

得到备选路线方案：
方案一具体路线总长为：3+5+4+9+3=24
方案二：
方案二具体路线总长为：3+6+5+4+7=25
该例初定两种备选方案后便终止了，比较这两种方案具体路线总长后决定方案一的路线是最优的。

2.2模型评价：
采用逐步筛选最近距离点法求解总路径最短的汉密尔顿圈能有效减小算法运行的步数，使之很快收敛到最优解。

但此方法只能用于局部最优路线的规划，所以，对于涉及到大区域的规划，则需要做很多前期工作，将大区域逐步细分，在各个细分的小区域范围内做局部规划，再将每个小区域的最优规划组合，得到总体的近似最优规划。