2024-2025学年江苏盐城盐都区九年级五校联考11月期中数学试题及答案

2024年秋学期九年级数学期中考试试卷
一、选择题（每题3分，计24分）
1．下列方程，属于一元二次方程的是（）
A．x2﹣xy＝1 B．x2﹣2x+3＝0 C．D．2（x+1）＝x
2．一元二次方程x2﹣3＝2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）
A．1，﹣2，﹣3 B．1，﹣2，3 C．1，2，3 D．1，2，﹣3
3．若m、n是关于x的方程2x2﹣4x+1＝0的两个根，则的值为（）
A．4 B．﹣4 C．D．
4．电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）A．3(1+x)=18 B．3(1+x)2=18 C．3+3(1+x)2=18 D．3+3(1+x)+3(1+x)2=18
5．下列说法正确的是（）
A．三点确定一个圆B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弦相等D．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝40°，则∠AED的度数为（）
A．110°B．115°C．120°D．105°
7．如图，圆O的半径是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中点，则弦AB的长为（）
A．B．C．4 D．6
8．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（6，8），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）
A ．13
B ．14
C ．12
D ．28
二、填空题（每题3分，计30分）
9．写一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根： （写出一个即可）．
10．关于x 的方程x 2+kx +1＝0有两个相等的实数根，则k 值为 ．
11．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则4m 2﹣6m +2022的值为 ．
12．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝8，EB ＝2，则⊙O 的半径为 ． 13．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子各个面的点数分别为1，2，3，4，5，6，则朝上的点数是奇数的概率是 ．
14．为迎接全市的禁毒知识竞赛，某校进行了相关知识测试，经过层层预赛，小洋和小亮进入了最后的决赛，如图，是他们6次的测试成绩，若要从中选一名测试成绩稳定的同学去参加竞赛，则应选 .（填“小
洋”或“小亮”）
．
第12题 第14题
15． 如图，在正六边形ABCDEF 中，AH FG ∥，BI AH ⊥，垂足为点I ．若20EFG ∠=°，则ABI ∠=
．
16．如图，60BAC ∠=°，45ABC ∠=°，AB =，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画O 分别交AB 、AC 于E 、F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为______．
17．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n 行有n 个点，容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．当三角点阵中点数之和是300时，则三角点阵点的行数为 ．
18．如图，在矩形ABCD 中，12AB =，16BC =，点E F 、分别是边AB BC 、上的动点，且10EF =，点G 是EF 的中点，连接AG CG 、，则四边形AGCD 面积的最小值为 ．
第15题 第16题 第17题 第18题
三、解答题（共9题，计96分）
19．解方程：
（1）36x 2﹣1＝0；
（2）x 2+10x +21＝0；
20．初一某班16名男生在体检时测量了身高．以160cm 为基准，记录男生们的身高，超过160cm 记为正，不足160cm 记为负．前15名男生的相对身高（单位：cm ）记录如表，第16名男生身高为171cm ． 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 相对身高
7− 4+ 0 16+ 2+ 3− 1+ 5− 序号
9 10 11 12 13 14 15 16 相对身高 9− 3+ 4− 7+ 1+ 2− 1+ m
(1)表格中m ＝ ；
(2)该班最高的男生与最矮的男生身高相差 cm ；
(3)计算该班男生的平均身高．
21．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出人，建造时，在BC 上用其它材料做了宽为2米的两扇小门，在EF 上用其它材料做了宽为1米的一扇小门．
（1）设花圃的一边AB 长为x 米，请你用含x 的代数式表示另一边AD 的长为___________米；
（2）若此时花圃的面积刚好为254m ，求此时花圃的长与宽．
22．如图，在四边形ABCD 中，,AC BD 相交于点E ，且AB AC AD ==，经过A ，C ，D 三点的O 交BD 于点F ，连接CF ．
(1)求证：CF BF =；
(2)若CD CB =，求证：CB 是O 的切线．
23．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+10＝0的两实数根．
（1）求m 的取值范围；
（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求m 的值和△ABC 的周长．
24．定义：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若根的判别式24b ac −是一个完全平方数（式），则此方程
叫“完美方程”．
(1)判断下列方程一定是“完美方程”的是 ；（直接填序号）
①2430x x −−=；②220x mx m ++−=；③()210x b x b +++=；
(2)若关于x 的一元二次方程222(1)20x m x m m −−+−=
①证明：此方程一定是“完美方程”；
②设方程的两个实数根分别为1x ，()212x x x <，是否存在实数k ，使得()12,P x x 始终在函数3y kx k =−+的图像上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．
25．某电商销售一款秋季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件．为了庆祝二十大的胜利召开，未来30天，这款时装将开展“喜迎二十大，每天降1元”的促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．
(1)这30天内该电商第几天的利润最大？最大利润是多少？
(2)为了回馈社会，在这30天内，该电商决定每销售一件时装，向希望工程捐a 元（0,a >）．要使每天捐款
后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，求a 的取值范围．
26.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ．
（1）求证：点D 是边BC 的中点．
（2）记的度数为α，∠C 的度数为β．探究α与β的数量关系．
27．如图①，在四边形ABCD 中，9086BAD D AD CD AB m ∠=∠=°===，，，．过A B C ，，三点的O 的圆心位置和半径，随着m 的变化而变化．解决下列问题：
【特殊情形】
（1）如图②，当0m =时，圆心O 在AD 上，求O 的半径．
【一般情形】
（2）（Ⅰ）当2m =时，求O 的半径；
（Ⅱ）当0m >时，随着m 的增大，点O 的运动路径是； （填写序号）
①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线
【深入研究】
（3）如图③，连接AC ，以O 为圆心，作出与CD 边相切的圆，记为小O ．当小O 与AC 相交且与BC 相离时，直接写出m 的取值范围．
参考答案
1-4BAAD 5-8DACD
9.x 2+2x +1＝0（答案不唯一） 10.±2 11.2023 12.5 13.½ 14.小亮 15.50° 16.18.142
19.解：（1）36x 2﹣1＝0，
36x 2＝1，
，
解得，；
（2）x 2+10x +21＝0，
x 2+10x ＝﹣21，
x 2+10x +25＝﹣21+25，即（x +5）2＝4，
x +5＝±2，
解得x 1＝﹣3，x 2＝﹣7；
20.（1）解：由题意得，17116011m =−=+，
故答案为：11+；
（2）解：16(9)16925cm +−−=+=，
即该班最高的男生与最矮的男生身高相差25cm ，
故答案为：25；
（3）解：
1(740162315934712111)16016×−++++−+−−+−++−+++ 11616016
=×+ 161cm =
答：该班男生的平均身高为161cm ．
21.1）()273x −
（2）长为9米，宽为6米
22.（1）证明：AB AC = ，
ACB ABC ∴∠=，
AB AD = ，
ADB ABD ∴∠=∠，
又ADB ACF ∠=
∠ ， ACF ABD ∴∠=∠，
ACB ACF ABC ABD ∴∠−∠=−∠，即：BCF CBF ∠=
∠， CF BF ∴=；
（2）证明：连接CO 并延长交O 于G 点，再连接GF ，
CG 为O 直径，
90GFC ∴∠=°，
90G GCF ∴∠+∠=°，
CDB G ∠=∠ ，
90CDB GCF ∴∠+∠=°，
CD CB = ，
CDB CBD ∴∠=∠，
CF BF = ，
BCF CBD ∴∠=∠，
BCF CDB ∴∠=∠，
90BCF GCF ∴∠+∠=°，
90BCG ∴∠=°，
CG BC ∴⊥，
CB ∴是O 的切线．
23.解：（1）根据题意得Δ＝4（m +1）﹣4（m 2+10）≥0，
解得；
（2）当腰长为7时，则x ＝7是一元二次方程x 2﹣2（m +1）x +m 2+10＝0的一个解， 把x ＝7代入方程得49﹣14（m +1）+m 2+10＝0，
整理得m 2﹣14m +45＝0，
解得m 1＝9，m 2＝5，
当m ＝9时，x 1+x 2＝2（m +1）＝20，解得x 2＝13，
则三角形周长为13+7+7＝27；
当m ＝5时，x 1+x 2＝2（m +1）＝12，解得x 2＝5，
则三角形周长为5+7+7＝19；
当7为等腰三角形的底边时，则x 1＝x 2，所以
，方程化为4x 2﹣44x +121＝0，
解得
，三边长为， 其周长为， 综上所述，m 的值是9或5或，这个三角形的周长为27或19或18． 24.（1）解：①2430x x −−=，
()()2
24441328b ac −=−−××−= ，不是完全平方数，
2430x x ∴−−=
不是“完美方程”； ②220x mx m ++−=， ()()22224424824b ac m m m m m −=−−=−+=
−+ ，不是完全平方式，
220x mx m ∴++−=不是“完美方程”；
③()210x b x b +++=， ()()2222414211b ac b b b b b −+−−+− ，是完全平方式，
()210x b x b ∴+++=
是“完美方程”； 故答案为：③；
（2）解：①证明：222(1)20x m x m m −−+−=
()()
2222242142484484b ac m m m m m m m −=−−−=−+−+= ，且4是完全平方数， ∴此方程一定是“完美方程”；
②存在，理由如下：
222(1)20x m x m m −−+−= ，
()()20x m x m ∴−−−=
， 0x m ∴−=或()20x m −−=
， x m ∴=或2x m =−，
设方程222(1)20x m x m m −−+−=
的两个实数根分别为1x 、()212x x x <，
12x m ∴=−，2x m =，
()12,P x x 始终在函数3y kx k =−+的图像上，
()23m k m k ∴=−−+，
313
m k m −∴==−， 即存在实数k ，使得PP (xx 1,xx 2)始终在函数3y kx k =−+的图像上，k 的值为1 25.解：（1）设销售利润为w 元，销售时间为x 天，
由题意可知，(11040)(420),w
x x =−−+ 242601400x x =−++
24(32.5)5625,x =−−+
∵50,a =
−< ∴函数有最大值，
∴当30x =时，w 取最大值为24302603014005600w =−×+×+=元， ∴第30天的利润最大，最大利润是5600元；
（2）设未来30天每天获得的利润为y ，时间为t 天，根据题意，
得(11040)(204)(204),y t t t a =−−+−+
化简，得24(2604)140020,y t a t a =
−+−+− 每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大， ∴260429.5,2(4)
a −−>×− 解得，6,a
又∵0,a >
即a 的取值范围是：06a <<．
26.（1）证明：如图，连接AD ，
∵AB 是⊙O 的直径，点D 在圆上，
∴∠ADB ＝90°，
即AD ⊥BC ，
∵AB ＝AC ，
∴BD ＝CD ，
即点D 是BC 的中点；
（2）解：β﹣α＝45°； 如图，连接OE ，
∵的度数为α，
∴∠AOE ＝α，
∵OA ＝OE ，
∴∠OAE ＝，
∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴∠CAD ＝∠OAE ＝45°﹣α， ∵∠CAD +∠C ＝90°，
∴45°﹣α+β＝90°
即β﹣α＝45°．
27.（1）解：连接OC ，在O 中，设OA O =C r =，则8OD r =−． 在Rt OCD 中，90D ∠=︒，
∴222OD CD OC +=，即222(8)6r r −+=．解得254
r =． （2）（I ）解：过点O 分别作,OF AB OE CD ⊥⊥，连接,OC OB ，
∵OF 过圆心，OF AB ⊥， ∴1AF BF ==．
∵90A D OFA ∠=
∠=∠=°， ∴四边形AFED 是矩形．
∴1AF DE ==．
∴5CE CD DE =−=．
设OE x =，则8OF x =−，
在Rt COE 中222OE CE OC +=， 在Rt BOF 中222OF BF OB +=， ∴2222OE CE OF BF +=+，即2225(8)x x +=−21+． 解得52
x =，
∴2221254OC OE CE =+=，即r OC == （II ）过点O 分别作,OF AB OE CD ⊥⊥，连接,OC OB ，如图：
由（I ）知：1,82
BF
AF DE m EF AD =====， 16,2CE CD DE m ∴=−=− 设OE x =，则8OF x =−，
∵OC OB =，
∴2222OE CE OF BF +=+， 即2
222116(8)24x m x m +−=−+ ， 整理得：1438
m x +=， ∵0,m O >到AD 的距离12DE
m =， 类比平面直角坐标系内xy 的几何意义， ∴O 的轨迹是一条射线，
故答案为：①；
（3）过O 作EF CD ⊥，交CD 于E ，交AB 于F ，过O 作OM AC ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接O ,C OB ，过B 作BG CD ⊥于G ，如图：
由（II ）知，1438
m OE +=， ()
222
225420,64OC CE OE m m ∴+−+ 8,6,AD CD ==
10,AC ∴= 15,2
CM AC ∴== ()22222525420256464OM OC CM m m ∴=−=−+−=()2444,m m −− ,,,BG CD AD CD DG AB ⊥⊥∥ ∴四边形ABGD 是矩形，
,8,DG AB m BG AD ∴====
6,CG m ∴=−
222212100,BC CG BG m m ∴=+=−+
()
2221112100,24CN BC m m ∴==−+ ()22221992900,64ON OC CN m m ∴=−=+− 小O 与AC 相交且与BC 相离， ,OM OE ON ∴<<
222,OM OE ON ∴<< 即()()222251431444992900,64864m m m m m + −−<<+− 解得：1123m <<
．。