高考数学二轮复习专题三三角函数31三角函数的图象与性质课件文

π
6
C.y=2sin +
π
6
B.y=2sin 2-
π
3
D.y=2sin +
-16-
答案：A
解析： 由题图知,A=2,周期 T=2
π
3
-
π
6
=π,
2π
=2,y=2sin(2x+φ).
π
所以 ω=
方法一:因为函数图象过点
2π
π
+φ=2kπ+ (k∈Z).
3
2
所以
π
,2
3
,
所以 2=2sin 2 ×
y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,只需把(ωx+φ)看作一个整体代入 y=sin
x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正数.
2.对于形如 y=asin ωx+bcos ωx 型的三角函数,要通过引入辅助
角化为 y= 2 + 2 sin(ωx+φ) cos =
来求解.

2 +2
D.
1
2- ,2
4
3
+
4
,k∈Z
-13-
答案： D
解析： 不妨设 ω>0,由函数图象可知,其周期为 T=2×
2π
=2,解得

5 1
4 4
=2,所以
1 1
2 4
ω=π. 所以 f(x)=cos(πx+φ). 由图象可知,当 x=
3
时,f(x)取得最小值,即
4
f
3
4
3π
+φ=2kπ+π(k∈Z),
π
6
将函数 y=2sin 2x 的图象向左平移 个单位得到函数 f(x)=2sin 2 +
π
6
=2sin 2 +
π
3
,故选项 D 错.
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题后反思 1.求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角
函数的奇偶性,往往是在其定义域内,先对三角函数解析式进行恒等
变形,把三角函数式化简成 y=Asin(ωx+φ)的形式,再求解.求
2
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题后反思对于给定区间上函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最
值问题,常用的方法是:首先要求出(ωx+φ)的取值范围,然后将(ωx+φ)
看作一个整体 t,利用 y=Asin t 的单调性求解.另外借助函数
y=Asin(ωx+φ)的图象求最值也是常用方法.
,sin φ=

2 +2
的形式
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对点训练 1(2017 全国Ⅱ,文 3)函数 f(x)=sin 2
的最小正周期为(
A.4π
π
+
3
)
B.2π
C.π
答案：C
2π
2
解析： 由题意可知最小正周期 T= =π,故选 C.
π
D.
2
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三角函数图象的变换
π
3
+ .
π
6
令 k=0,得 φ=- ,所以 y=2sin 2-
π
6
,故选
A.
π
6
方法二:因为函数图象过点 - ,-2 ,
所以-2=2sin 2 × π
6
π
6
+ , 所以 2× π
6
π
6
π
2
+φ=2kπ- ,k∈Z,
即 φ=2kπ- ,k∈Z.令 k=0,得 φ=- , 所以 y=2sin 2-
倍(纵坐标 y 不变);
②沿 y 轴伸缩时,纵坐标 y 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)为原来的 A
倍(横坐标 x 不变).
2.注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导
公式化为同名函数再平移.
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对点训练 2 将函数 y=2sin 2
所得图象对应的函数为(
A.y=2sin 2
C.y=2sin
π
+
4
π
24
π
+
6
1
的图象向右平移 个周期后,
4
)
B.y=2sin 2
D.y=2sin
π
23
π
+
3
-11-
答案：D
1
4
π
4
解析： 由已知周期 T=π,右移 T= 后得 y=2sin 2 π
6
=2sin 2-
π
3
的图象,故选 D.
π
4
+
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3.1
三角函数的图象与性质
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三角函数的性质
【思考1】 求三角函数周期、单调区间的一般思路?
【思考2】 求某区间上三角函数最值的一般思路?
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例 1 已知函数 f(x)=2
下列结论正确的是(
3sin(π-x)cos x-1+2cos2x,其中 x∈R,则
或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)
的值进行判断.
-24-
1.(2017 山东,文 7)函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为(
A.
π
2
2π
3
B.
C.π
)
D.2π
答案：C
解析： 因为 y= 3sin 2x+cos 2x=2
π
6
,
2π
2
所以其最小正周期 T= =π.
【思考】 对三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象进行了平移或伸
缩变换后,其对应的解析式发生了怎样的变化?
例 2 函数 y=sin x至少向右平移
3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象
个单位长度得到.
-8-
答案：
π
3
解析： 因为 y=sin x- 3cos x=2sin -
π
3
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由三角函数的图象求其解析式
【思考】 依据三角函数图象求其解析式的基本方法是什么?
例 3 函数 f(x)=cos(ωx+φ)的部分图
象如图所示,则 f(x)的单调递减区间为
(
)
1
4
A. π- ,π +
1
4
3
4
,k∈Z
B. 2π- ,2π +
C.
1
- ,
4
3
+
4
3
4
,k∈Z
,k∈Z
象有两种方法,一是先平移再伸缩,二是先伸缩再平移,要弄清楚是平
移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象;平移前后两个函数的名称
是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;当由 y=Asin
ωx 的图象得到 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的图象时,需平移的单位数应为


,而不是|φ|.
-23-
,
所以函数 y=sin x- 3cos x 的图象可由函数 y=2sin x 的图象至少向右
π
平移 个单位长度得到.
3
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题后反思 1.平移变换理论
(1)平移变换:
①沿 x 轴平移,按“左加右减”法则;
②沿 y 轴平移,按“上加下减”法则.
(2)伸缩变换:
1
①沿 x 轴伸缩时,横坐标 x 伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的
所以 f(x)的最小正周期
2π
T=
2
(2)由(1)知 f(x)= 2sin 2 +
π
2
π
2
(k∈Z).
π
4
π
2
2π- ,2π +
π
2
π
4
=
π
+
4
π
.

,
π
依题意, =π,解得

ω=1.
.函数 y=sin x 的单调递增区间为
3π
8
π
8
由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
2.将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中
的哪一个点.例如,正弦型函数的图象中的“第一点”(即图象上升时与
x 轴的交点)为 ωx0+φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可.
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对点训练 3 函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图
所示,则(
)
π
3
A.y=2sin 2-
π
2
当 x= 时,f
π
2
π π
3 6
当 x∈ - ,
=2sin π +
时,2x∈ -
f(-x)=2sin -2 +
π
6
π
6
π
6
,
=-1,不是 f(x)的最值,故选项 A 错;
2π π
,
3 3
, 2 +
=-2sin 2-
π
6
π
6
π π
2 2
∈ - ,
,故选项 B 正确;
≠-f(x),则 f(x)不是奇函数,故 C 错;
π
6
.故选 A.
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三角函数的图象与性质的综合应用
【思考】 如何求给定区间上函数 y=Asin(ωx+φ)的最值?
例 4 已知函数 f(x)=2
3sin
π
+
2 4
cos
π
+
2 4
-sin(x+π).
(1)求 f(x)的最小正周期;
π
6
(2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数
g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
-18-
解 (1)∵f(x)= 3sin
1
sin
2
=2sin +
π
3
,
π
+
2
+sin x = 3cos x+sin x=2
3
cos
2Leabharlann +∴f(x)的最小正周期为 2π.
π
6
(2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,
π
π

8
π

8
+
+
π
4
π
4
)
-26-
3.把函数 y=sin 5-
π
2
π
4
的图象向右平移 个单位,再把所得函数图象
1
2
上各点的横坐标缩短为原来的 ,所得的函数解析式为(
A.y=sin 10C.y=sin
3π
4
3π
102
B.y=sin 10D.y=sin
7π
2
7π
104
)
-27-
答案：D
π
4
4
=cos
3π
4
=
+ =-1,
π
4
π
4
令 k=0,得 φ= ,所以 f(x)=cos π +
π
4
令 2kπ≤πx+ ≤2kπ+π(k∈Z),
结合选项知选 D.
5
4
解得 φ=2kπ+ (k∈Z).
解得
所以函数 f(x)=cos π +
+
π
4
π
4
.
1
4
3
4
解得 2k- ≤x≤2k+ (k∈Z).
)
A.f(x)图象的一条对称轴是
B.f(x)在区间
π π
- ,
3 6
π
x=
2
上单调递增
C.f(x)是最小正周期为 π 的奇函数
D.将函数 y=2sin 2x
象
π
的图象向左平移 个单位得到函数
6
f(x)的图
-4-
答案： B
解析： 由题意,f(x)=2 3sin xcos x+cos 2x
= 3sin 2x+cos 2x=2sin 2 +
解析： 先将原函数的图象向右平移 个单位,得到函数
y=sin 5
π
4
π
2
=sin
1
2
7π
54
的图象;再把所得函数图象上各点的
横坐标缩短为原来的 ,得到函数 y=sin 10-
7π
4
的图象.
-28-
4.(2017 全国Ⅱ,文 13)函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值
为
.
答案： 5
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对点训练 4 已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小
正周期为 π.
(1)求 ω 的值;
(2)求 f(x)的单调递增区间.
-21-
解 (1)因为 f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx= 2sin 2
1
4
的单调递减区间为 2- ,2 +
3
4
(k∈Z).
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题后反思 1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,
用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定 A,由周期确定 ω,
由图象上特殊点的坐标来确定 φ,只有限定 φ 的取值范围,才能得出
唯一解,否则 φ 的值不确定,解析式也就不唯一.
3
sin2
2
1
+ cos2
2
=2sin 2 +
-25-
2.(2017 天津耀华中学高三模拟)函数 y=Asin(ωx+φ) > 0,|| <
π
,∈R
2
的部分图象如图所示,则函数表达式为(
A.y=-4sin
C.y=4sin
π π
8
4
π π
8
4
答案：B
B.y=-4sin
D.y=4sin
解析： 因为 f(x)=2cos x+sin x
= 5
2
cos
5
+
1
sin
5
= 5sin(x+φ)(其中 tan φ=2),
所以 f(x)的最大值为 5.
3.函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的性质主要有:(1)奇偶性,当 φ=kπ(k