高中数学必修2第2章221第二课时圆的一般方程课件(36张)3

垂直平分线的方程是 y－32＝17(x－12)，即 x－7y＋10＝0，同
理，得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x＋y＋5＝0，由
x－7y＋10＝0
2x＋y＋5＝0
得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长是 r＝
－3－02＋1－52＝5. 所以，过 A、B、C 三点的圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝ 25，化为一般方程是 x2＋y2＋6x－2y－15＝0，圆心为(－3,1)， 半径为 5
5E＋F＋25＝0， ∴D－2E＋F＋5＝0，
－3D－4E＋F＋25＝0.
D＝6， 解得E＝－2，
F＝－15.
∴过三点 A、B、C 的圆的一般方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
∴－D2 ＝－3，－E2＝1，圆心为(－3,1)，
半径 r＝12 D2＋E2－4F＝5.
方法归纳 (1)与圆的标准方程一样,圆的一般方程也含有三个独立参数， 因此，必须具备三个独立条件，才能确定圆的一般方程． (2)如果已知条件和圆心或半径无直接关系，一般设出圆的一 般方程，利用待定系数法求解．
解析：圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)所求直线与直线x＋ y＝0垂直，故所求直线的斜率k＝1,所求直线方程为y＝x＋1， 即x－y＋1＝0.
4．(2014·云南玉溪一中期末)若方程 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表 示圆，则 m 的取值范围是__m_＜__12___．
解析：表示圆的条件是：(－1)2＋12－4m＞0，即 m＜12.
kk2－2a1，0为圆心，以k2k－a 1
为半径的圆． 当 k＝1，即 k2－1＝0 时， 方程(k2－1)x2＋(k2－1)y2－2k2ax＋k2a2＝0 变为－2ax＋a2＝0， 即 x＝a2，表示线段 OA 的垂直平分线．
[感悟提高] (1)平面内的一动点按照某处限制条件运动，它经 过的路线就是这个点运动形成的轨迹(曲线)．在坐标系中，这 个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是点的轨迹方程，轨迹 和轨迹方程是平面解析几何的重要内容．求动点 P 的轨迹方程 的步骤如下： ①建立适当的坐标系，用(x，y)表示曲线上一点 M 的坐标； ②列出适合条件 P 的点 M 的集合 P＝{M|P(M)}； ③用坐标表示 P(M)，列出方程 f(x，y)＝0；
2．本题还有其他解法吗？请给出另外的解法． 解：还有其他解法，以下给出其中的两种． 法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)， B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都 满足方程，于是有
0－a2＋5－b2＝r2 1－a2＋－2－b2＝r2
a＝－3 ，解此方程组，得b＝1 ，
1．圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的圆心坐标是(_－__1_,2_)___，半 径长是__2 ______． 解析：法一：将圆的方程 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 配方得标准方 程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，则圆心坐标是(－1,2)，半径长是 2. 法二：设圆心坐标是(a，b)，则 a＝－22＝－1，b＝－－24＝2， 故圆心坐标是(－1,2)，半径长是 22＋－242－4×3＝ 2.
2 a2－2a＋2
|a|
.
方法归纳 判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程 是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的 特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2 ＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右 端是否为大于零的常数．
1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆， 若能表示圆，求出圆心和半径． 解：法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D ＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示 圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，
2 ． 圆 x2 ＋ y2 ＋ ax ＝ 0 的 圆 心 的 横 坐 标 为 1 ， 则－a2 等 于 _解__析_：__将__圆．x2＋y2＋ax＝0 化为标准方程为(x＋a2)2＋y2＝a42，由 已知得－a2＝1，∴a＝－2.
x－y＋1＝0 3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的 直线方程是__________________．
1．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 左边配方，并把常数项移到右边， 得(x＋D2 )2＋(y＋E2)2＝D2＋E42－4F. (1)当__D_2_＋__E_2_－__4_F__＞__0__时，方程表示以(－D2 ，－E2)为圆心，12
D2＋E2－4F为半径长的圆； (2)当__D_2_＋__E_2_－__4_F__＝__0__时，方程只有实数解 x＝－D2 ，y＝－E2， 所以表示一个点(－D2 ，－E2)．
判断圆的方程 下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半 径长． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2 ＋ y2 ＋ x ＋ 2 ＝ 0 ； (4)ax2 ＋ ay2 － 4(a － 1)x ＋ 4y ＝ 0(a≠0)． (链接教材P111练习T4)
பைடு நூலகம்
技法导学 直接法求轨迹方程
已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(a,0)(a≠0)距离的比 为 k(k≠0)的点的轨迹，求此曲线的方程，并判断曲线的形状．
[解] 设 M(x，y)是曲线上的任意一点，
即 M 属于集合 P＝MOAMM＝k
.
由两点间的距离公式知点 M 所适合的条件可以表示为
x－x2a＋2y＋2 y2＝k，两边平方得x－x2a＋2y＋2 y2＝k2.
半径为 r＝12 D2＋E2－4F＝ 5|m－2|. 法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当 m＝2 时，它表示一个点； 当 m≠2 时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，－m)， 半径为 r＝ 5|m－2|.
用待定系数法求圆的一般方程 求过三点 A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的一般 方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． (链接教材 P109 例 3) [解] 设所求的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵A、B、C 三点都在圆上，
(3)当__D_2_＋__E_2_－_4_F__＜_0____时，方程没有实数解，因而方程 不表示任何图形． 因此，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做 圆的一般方程． 2．待定系数法求圆的方程的步骤 (1)根据题意选择圆的标准方程或一般方程(选择标准方程或 一般方程的一般原则是：若有与圆心坐标或圆的半径长相 关的条件，设标准方程，否则设一般方程)； (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； (3)解出a，b，r或D，E,F,代入标准方程或一般方程即得．
3．已知两定点A(－2,0)、B(8,0)，动点P在圆C：(x－3)2＋ y2＝1上移动． (1)求证：AP2＋BP2恒为定值； (2)据(1)猜测：对任意圆C′，当两定点A、B与点C′满足 什么关系时，AP2＋BP2恒为定值．
解：(1)证明：设 P(x，y)，则 AP2＝(x＋2)2＋y2，BP2＝(x－8)2 ＋y2，于是 AP2＋BP2＝(x＋2)2＋y2＋(x－8)2＋y2 ＝2(x2＋y2－6x)＋68. ∵P(x，y)在圆上，∴(x－3)2＋y2＝1， 即 x2＋y2－6x＝－8， ∴AP2＋BP2＝2×(－8)＋68＝52. (2)当点 C′平分线段 AB 时，AP2＋BP2 恒为定值．
化简得(k2－1)x2＋(k2－1)y2－2k2ax＋k2a2＝0.
当 k≠1，即 k>1 或 0<k<1 时，k2－1≠0， ∴x2＋y2＋－k22－k21ax＋kk22－a21＝0， ∵k42k－4a122－k42k－2a12 ＝k42k－2a122>0，
∴所求曲线的方程是 x2＋y2＋－k22－k21ax＋kk22－a21＝0，曲线表示以
－3－a2＋－4－b2＝r2
r2＝25
所以，过 A、B、C 三点的圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝ 25，化为一般方程是 x2＋y2＋6x－2y－15＝0，圆心为(－3,1)， 半径为 5.
法二：因为 A(0,5)，B(1，－2)，所以线段 AB 的中点的坐标为
(12，32)，直线 AB 的斜率 kAB＝－1－2－05＝－7，因此线段 AB 的
[解] (1)2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同，故原方 程不能表示圆； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 项，故原方程不能表示圆； (3)∵D2＋E2－4F＝1－8＝－7＜0，∴原方程不能表示圆； (4)法一：∵a≠0，∴原方程可化为 x2＋y2－4aa－1x＋4ay＝0， 即[x－2a－ a 1]2＋(y＋2a)2＝4[a－a122＋1]＞0，
由①可知，x2＋y2－2y＝2x－1， 将其代入②有， PA2＋PB2＋PC2＝3(2x－1)－8x＋25 ＝－2x＋22. 因为(x－1)2≤1，所以 0≤x≤2. 所以 18≤－2x＋22≤22. 故 PA2＋PB2＋PC2 的最大值为 22，最小值为 18.
方法归纳 (1)直角坐标系是沟通“数”与“形”的桥梁，通过建立适当的 平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平 面几何问题转化为代数问题． (2)若点 P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上，则不仅有(x0－ a)2＋(y0－b)2＝r2，而且还有(x0－a)2≤r2，(y0－b)2≤r2，即 a－ r≤x0≤a＋r，b－r≤y≤b＋r.
圆的方程的综合应用 已知△ABC中，CB＝3，CA＝4，AB＝5，点P 是△ABC内切圆上一点，求PA2＋PB2＋PC2的最大值和 最小值． (链接教材P112练习T11)
[解] 由已知，△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形． 如图所示，建立直角坐标系，使 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,0)，B(0,3)，C(0,0)． 设内切圆半径为 r，点 P 的坐标为(x，y)，则有 2r＋AB＝CA ＋CB，所以 r＝1. 故内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，化简得， x2＋y2－2x－2y＋1＝0，① 又因为 PA2＋PB2＋PC2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝ 3x2＋3y2－8x－6y＋25，②
第2章 平面解析几何初步
第二课时 圆的一般方程
学习导航
第2章 平面解析几何初步
学习 目标
1.了解圆的一般方程的特点． 2.理解方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图 形．(难点) 3.掌握圆的两种方程的互化，依据不同条件利用 待定系数法求圆的方程的步骤．(重点)
学法 指导
通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条 件的探究，提高探索、发现、分析、解决问题 的能力；体验数形结合、化归与转化等数学思 想方法；通过求圆的方程，培养用配方法和待 定系数法解决问题的能力.
④化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； ⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 简记为：建系、列式、代换、化简、证明． (2)注意：求轨迹方程只需求出动点的坐标所满足的条件即可， 而轨迹需要说明曲线的形状、位置、大小等有关量.
名师解题 圆中的参数范围问题
已知方程 x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈ R)所表示的图形是圆． (1)求 t 的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点 P(3,4t2)恒在所给圆内，求 t 的取值范围．
∴原方程表示圆，圆心坐标为(2aa－1，－2a)，半径长 r＝
2 a2－2a＋2
|a|
.
法二：∵a≠0，∴原方程可化为 x2＋y2－4aa－1x＋4ay＝0，
∵D2＋E2－4F＝16aa－2 12＋1a62＝16a－a122＋16＞0，
∴原方程表示圆，圆心坐标为(2aa－1，－2a)，半径长 r＝