【新课标人教版B】2010-2011届高三数学第一轮复习优秀教案系列：第三章数列

2010届高三数学一轮复习精品教案――数列（附高考预测）
一、本章知识结构：
二、重点知识回顾
１．数列的概念及表示方法
（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．
（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．
（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．
（４）n a 与n S 的关系：11(1)
(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．
2．等差数列和等比数列的比较
（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第
2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．
（２）递推公式：110n n n n
a a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*
=+-=∈N ，，．
（４）性质
等差数列的主要性质：
①单调性：0d ≥时为递增数列，0d ≤时为递减数列，0d =时为常数列． ②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当2m n p +=时，有2m n p a a a +=．
③()()n m a a n m d m n *
-=-∈N ，．
④232k k k k k S S S S S --，，，
…成等差数列． 等比数列的主要性质：
①单调性：当1001a q <⎧⎨<<⎩，或101a q >⎧⎨>⎩时，为递增数列；当101a q <⎧⎨>⎩，，，或10
01a q >⎧⎨<<⎩
时，为
递减数列；当0q <时，为摆动数列；当1q =时，为常数列．
②若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q *
=∈N ··，，，．特别地，若2m n p +=，则2
m n p a a a =·． ③
(0)n m n
m
a q m n q a -*=∈≠N ，，． ④232k k k k k S S S S S --，，，…，当1q ≠-时为等比数列；当1q =-时，若k 为偶数，不是等比数列．若k 为奇数，是公比为1-的等比数列．
三、考点剖析
考点一：等差、等比数列的概念与性质
例1. （2008深圳模拟）已知数列.12}{2
n n S n a n n -=项和的前
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求数列.|}{|n n T n a 项和的前
解：（1）当111112,12
11=-⨯===S a n 时；、
当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，
.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、
（2）令.6,,0213*
≤∈≥-=n n n a n 解得又N
当2
212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；
当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时
n a a a a a a ----+++= 87621
.7212)12()6612(222
226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n
综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.
6,7212,
6,1222
n n n n n n T n
点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。

第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．
例２、（2008广东双合中学）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且35a =，
15225S =. 数列}{n b 是等比数列，32325,128b a a b b =+=（其中1,2,3,n =…）.
（I ）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记,{}n n n n n c a b c n T =求数列前项和.
解：（I ）公差为d ， 则⎩⎨
⎧=⨯+=+,
22571515,5211d a d a 12,2,
11-=⎩⎨
⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….
设等比数列}{n b 的公比为q ， ⎪⎩
⎪
⎨⎧=⋅=,128,
82
333q b q b b 则 .2,83==∴q b n n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….
（II ）,2)12(n n n c ⋅-= 23
23252(21)2,n n T n ∴=+⋅+⋅+
+-⋅
.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T
作差：1
15432)12(22222++⋅--+++++=-n n n n T
3112(12)2(21)212
n n n -+-=+--⋅-
31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅
1
(2
3)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)….
点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n 项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。

考点二：求数列的通项与求和
例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为
解：前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n
-个，因此第n 行第3 个
数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为26
2
n n -+．
点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”
，则(5)f = ；()(1)f n f n --=＿＿＿＿
解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1
第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1=41， 所以，f （５）＝４１
f(2)-f(1)=４ ，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６
()(1)f n f n --=4(1)n -
点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。

考点三：数列与不等式的联系
例 5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列{}n a 的首项为3
1
1=
a ，公比q 满足10≠>q q 且。

又已知1a ，35a ，59a 成等差数列。

1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
（1）求数列{}n a 的通项
（2）令n
a n
b 1
3
l o
g =，求证：对于任意n N *
∈，都有
12231
1111
...12n n b b b b b b +≤+++
（1）解：∵315259a a a ⋅=+ ∴24111109a q a a q =+ ∴42
91010q q -+=
∵10≠>q q 且 ∴13
q =
∴113n n
n a a q --== （2）证明：∵13
3log log 3n
a n n
b n === ，
11111
(1)1n n b b n n n n +==-++ ∴
12231111111
111 (11223)
11
n n b b b b b b n n n ++++=-+-++
-=-++ 12231
1111...12n n b b b b b b +∴≤+++
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n 的范围证出不等式。

例６、(2008辽宁理) 在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，
11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）
（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：
11221115
12
n n a b a b a b +++<+++…． 解：（Ⅰ）由条件得2
1112n n n n n n b a a a b b +++=+=，由此可得
2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．
猜测2
(1)(1)n n a n n b n =+=+，．
用数学归纳法证明：
①当n =1时，由上可得结论成立． ②假设当n =k 时，结论成立，即
2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，
那么当n =k +1时，
22
221122(1)(1)(1)(2)(2)k
k k k k k
a a
b a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，．
所以当n =k +1时，结论也成立．
由①②，可知2
(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立．
（Ⅱ）
11115
612
a b =<+．
n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．
故
112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫
+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭...... 111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)
n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭ 综上，原不等式成立．
点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
例７. （2008安徽理）设数列{}n a 满足3*
010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数
（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
（Ⅱ）设103c <<
，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222
*1221,13n a a a n n N c
++>+-∈-
解： (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，
又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈
充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*
n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥
则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3
1110k k a ca c c +=+-≥-=≥
1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立
(2) 设 1
03
c <<
，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，
32
11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴
103
C <<
∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2
1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴
2
1112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=∴
1*
1(3)()n n a c n N -≥-∈∴
(3) 设 103c <<
，当1n =时，2
120213a c
=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1
1(3)0n n a c -≥->
21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 2222
2
2112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -++
+=+
+>--++
+∴
2(1(3))2
111313n c n n c c
-=+->+---
点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。

考点四：数列与函数、概率等的联系
例题８.. (2008福建理) 已知函数3
21()23
f x x x =
+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点2
11(,2)n n n a a a ++-(n ∈
N*)
在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上；
（Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.
(Ⅰ)证明：因为3
21()2,3
f x x x =
+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +
++-∈在函数y =f ′(x )的图象上,
又0(N ),n a n +
>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=
所以2(1)
32=22
n n n S n n n -=+
⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.
(Ⅱ)解:2
()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.
当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而
①当2
12,21,()(2)3
a a a f x f -<-<-<<--=-
即时的极大值为,此时()f x 无极小值；
②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.
点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.
例９ 、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数 列的概率为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差
数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8
个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，
成等差数列的概率为
，选B
点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。

考点五：数列与程序框图的联系
例１０、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,,,,n x x x x ；122008,,,,,n y y y y
（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式n x ；
（Ⅱ）写出y 1，y 2，y 3，y 4，由此猜想出数列{y n }；
的一个通项公式y n ，并证明你的结论; （Ⅲ）求1122(,2008)n n n z x y x y x y x N n =++
+∈*≤．
解：（Ⅰ）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中， ∴12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤ （Ⅱ）y 1=2，y 2=8，y 3=26，y 4=80.
由此，猜想31(*,2008).n
n y n N n =-∈≤
证明：由框图，知数列{y n }中，y n +1=3y n +2 ∴)1(311+=++n n y y ∴
111
3,1 3.1
n n y y y ++=+=+
∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列。

∴n y +1=3·3n －
1=3n
∴n y =3n －1（*,2008n N n ∈≤） （Ⅲ）z n =n n y x y x y x +++ 2211
=1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n －1）（3n －1） =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n －[1+3+…+（2n －1）] 记S n =1×3+3×32+…+（2n －1）·3n ，① 则3S n =1×32+3×33+…+（2n －1）×3n +1 ②
①－②，得－2S n =3+2·32+2·33+…+2·3n －（2n －1）·3n +1 =2（3+32+…+3n ）－3－（2n －1）·3n +1
=2×
13·)12(331)
31(3+-----n n n =113·)12(63++---n n n 63·)1(21--=+n n ∴.33·
)1(1+-=+n n n S 又1+3+…+（2n －1）=n 2
∴12
(1)33(*,2008)n n z n n n N n +=-⋅+-∈≤.
点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。

四、方法总结与2010年高考预测 （一）方法总结
1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。

2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。

3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。

（二）2010年高考预测
1. 数列中n S 与n a 的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意n S 与n a 的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。

但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。

2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。

4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。

今后在这方面还会体现的更突出。

７、数列与程序框图的综合题应引起高度重视。

五、复习建议
在进行数列二轮复习时，建议可以具体从 以下几个方面着手:
1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题； 2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；
3．注意等差、等比数列的前n 项和的特征在解题中的应用； 4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；
5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；
6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；
7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；
8．掌握一些数列求和的方法
(1)分解成特殊数列的和
(2)裂项求和
(3)“错位相减”法求和
9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
以上关于数列二轮复习的几点建议仅供复习时参考，各校应根据自己的实际情况进行增减，四星以下的学校应重在基础，对于数列的综合问题可略讲，甚至不讲．。