河南省新乡平顶山许昌高三数学第三次调研考试(理) 新人教版

平顶山新乡许昌—高三第三调研考试 理科数学
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3页至8页，全卷共8页，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题） 注意事顷：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答题标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{||1|4,}P x x x R =-<∈，{|ln(2)}Q x y x ==+，则P Q ⋂= A 、(2,)-+∞
B 、(3,5)-
C 、(2,5)-
D 、(5,)+∞
2．设向量a 与b 的夹角为θ且(3,3)a =，2(1,1)b a -=-，则cos θ=
A 310
B 10
C 、310
10
-
D 、1010
-
3．已知1
()y f
x -=是函数()
21log ,(0,1]()21,1,x x x f x x -∈⎧=⎨-∈+∞⎩的反函数，则1
(3)f -的值是
A 、8
B 、3
C 、2log 3
D 、2
4． 已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题 ①若m α⊥，//m β，则αβ⊥ ②如果m α⊥，m β⊥，则//αβ
③如果,m n αα⊂⊄，m ，n 是异面直线，那么n 不与α相交。

④若m αβ⋂=，//n m 且n α⊄，n β⊄，则//n α且//n β。

其中真命题的个数是
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5．设0a >，0b >，则下列不等式中不恒成立．．．．
的是 A 、1
1
()()4a b a
b ++≥
B 、2
2
11
a a a a
+
≥+ C 、1
||2a b a b
-+≥-
D 、2
2
2
()2()a b a b +≤+
6．已知双曲线2
2
13
y x -=的焦点1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为
A 、
634
17
B 、
51
17
C 、
125
D 、
512
7．已知()f x 在(,)-∞+∞上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，2(log 3)b f =-，
0.5(0.2)c f -=，则a 、b 、c 的大小关系是
A 、c b a <<
B 、b c a <<
C 、c a b <<
D 、a b c <<
7．已知4
(,0),cos 2
5
x x π
-=
，则tan 2x = A 、
724
B 、7
24
-
C 、247
D 、247
-
8．α，(0,
)2
π
β∈，3cos()2
β
α-
=
，1
sin()22
αβ-=-，则cos()αβ+的值等 A 、3-
B 、12
-
C 、
12
D 39．在等边三角形ABC 中，M 、N 、P 分别为AB 、AC 、BC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得面AMN 与面MNCB 所在二面角的余弦值为
1
3
，则直线AM 与NP 所成角的大小为 A 、90° B 、60°
C 、1arccos
3
D 、3 10．设变量x 、y 满足约束条件1
1,21
x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
则目标函数y z x y =+的取值范围是
A 、1[,1)3
B 、1[,1]3
C 、3[,1)5
D 、3[,1]5
11．已知函数3()sin(
)3cos(),44
f x x x x R ππ
=--+∈，则()f x 是 A 、周期为π，且图象关于点(
,0)12
π
对称
B 、最大值为2，且图象关于点(
,0)12
π
对称
C 、周期为2π，且图象关于点(,0)12π
-
对称 D 、最大值为2，且图象关于512
x π
=对称
12．过点(3,1)P -且方向向量为(2,5)a =-的光线经直线2y =-反射后通过抛物线2
y mx =，(0)m ≠的焦点，则抛物线的方程为
A 、2
2y x =- B 、2
3
2
y x =-
C 、2
4y x =
D 、2
4y x =-
第II 卷（非选择题） 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将本人姓名、考生号、考场号填写II 卷正面相应位置中。

2.
本卷共10小题共90分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案直接填在题中横线上。

13．若复数z 满足(2)(z i z i =-是虚数单位)，则z = ___________________.
14．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面为_________. 15．某购物广场前要建造一个花圃，花圃分为6个部分，现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法共有_______种
（用数字作答）
16． 在下列命题中：
①方程||||1x y +=表示的曲线所围成区域为面积为2； ②与两个坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y x =±；
③与两定点(1,0)-、(1,0)距离之和等于1的点的轨迹为椭圆；
④与两定点(1,0)-、(1,0)距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线。

正确的命题的序号是________.（注：把你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（本小题满分10分）
在△ABC ，角A ，B ，C 所对边分别a 、b 、c ，且tan 21tan A c
B b
+=。

（I ）求角A
（II ）若(0,1)m =-，2
(cos ,2cos )2
C
n B =，试求||m n +的最小值
18．（本小题满分12分）
高二下学期，学校计划为同学们提供A 、B 、C 、D 四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习（受条件限制，不允许多选，也不允许不选）。

（I ）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率； （II ）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
（III ）求3位同学中，选择A 选修课人数ξ的分布列与数学期望。

19．（本小题满分12分）
如图，已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 中点，12BC AA =。

（I ）证明11//AB DBC 平面
（II ）求异面直线11AB BC 与所成的角
（III ）求以1BC 为棱，1DBC 与1CBC 为面的二面角的度数。

20．（本小题满分12分）如图点(,)n n n A x y 是曲线2
2y x =（0y ≥）上的点，点(,0)n n B a 是x 轴上的
点，△n-1n n B A B 是以(,)n n n A x y 为直角顶点的等腰三角形，其中1n =，2，3，……，0B 为坐标原点。

（I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）求数列12n n b -=，求最小正整数m ，使得对任意的*
n N ∈，当n m >时，n n a b <成立。

21．（本小题满分12分）
设函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中0a > （I ）求函数()f x 的单调区间；
（II ）设()f x 的最小值为()g a ，证明：1
()0g a a
-<<。

22．（本小题满分12分）
设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线。

（I ）求椭圆的方程；
（II ）过定点(,0)M m （22m -<<，0m ≠为常数）作斜率为k （0k ≠）的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，问在x 轴上是否存在一点N ，使直线NA 与NB 的倾斜角互补？若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由。

参考答案
一．选择题：
(1)C (2)A (3)B (4)C (5)C (6)C (7)A (8)B (9)A (10)B (11)B (12)D
二．填空题：
(13)1i +，(14)3π，(15) 120， (16)①②④． 三．解答题：
(17)（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C
B b B A B
+=⇒+=
， …………………2分 即
sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=
，∴1
cos 2
A =． ………4分 ∵0πA <<，∴π
3
A =
． ………………5分 （Ⅱ）m +n 2
(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2
C
B B
C =-=， …………………6分 ∴|m +n |222222π14cos cos cos cos (
)1[cos2cos(2)]323
B C B B B B π
=+=+-=++- 1131π
1[cos2cos22]1sin(2)2226B B B B =+-=--． ………………8分
∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈，从而ππ7π2666
B -<-<．
∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2
取得最小值12．
所以，|m +n |min 2
=
………………10分 (18)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M ，
则3
433
()48
A P M ==． …………………2分
（Ⅱ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N ，
则222
43239
()416
C C A P N ==
． …………………5分 （Ⅲ）由题意，ξ的取值为0、1、2、3．
则33327
(0)464P ξ===，1
333327(1)464C P ξ⨯⨯===，233
39(2)464
C P ξ⨯===， 311
(3)464
P ξ==
=
．（每个1分） …………………9分 ∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
2764 2764 964 164
…………………10分
∴27279112364643
06444
6E ξ+⨯+⨯+⨯==⨯
． …………………12分 (19)（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，∴四边形B 1BCC 1是矩形． 连结B 1C 交BC 1于E ，则B 1E =EC ．
连结DE ，在△AB 1C 中， ∵AD=DC ，∴DE ∥AB 1，
又AB 1⊄平面DBC 1，DE ⊂平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1． ……4分 （Ⅱ）设D 1是A 1C 1的中点，则DD 1⊥平面ABC ．
所以，以DB 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴（如图）建立空间直角坐标系．
设AB =2，则(3,0,0)B ，(0,1,0)C ，(0,1,0)A -，1(3,0,2)B ，1(0,1,2)C ． ∴1(3,1,2)AB =，1(3,1,2)BC =-， ∵113120AB BC ⋅=-++=，∴11AB BC ⊥，
即，AB 1与BC 1所成的角为90°． ………8分 （Ⅲ）∵BC 的中点31
(
,,0)22
F ，∴33
(
,,0)22
AF =， ∴可取平面CBC 1的法向量为1(3,3,0)n =--． 设平面BC 1D 的法向量为2(,,)n x y z =，
则221,,n DB n DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒ 30,
20,
x y z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ ∴可取2(0,2,1)n =-． ∵121212322
cos ,2123
n n n n n n ⋅=
==⋅⋅，
∴面DBC 1与面CBC 1所成的二面角为45°． ……………12分 (20)（本小题满分12分）
解：（I ）∵点(,)n n n A x y 在曲线2
2(0)y x y =≥上，∴2(,)2n n n y A y ，2
111(,)2
n
n n y A y ---．
∵△1n n n B A B -是等腰直角三角形，∴22
1122
n n
n n y y y y ---=+， ………3分 ∵10n n y y -+≠，∴12n n y y --=．
由22,
y x y x ⎧=⎨=⎩
可以解得112x y ==，
∴22(1)2n y n n =+-=，*
n ∈N ． ………5分 ∴2222
n
n y x n ==，∴2(1)n n n a x y n n =+=+，*n ∈N ． ………7分 （II ）∵当8n =时，8144a =，8128b =，当9n =时，9180a =，9256b =，……，
可以猜想，当*
n ∈N 且8n >时，n n a b <成立．下面用数学归纳法证之． ……9分
设9n k =>时，k k a b <成立，即，1
2
2(1)k k k ->+成立，
当1n k =+时， 1
12224(1)2(1)(2)2(1)(2)k k k b k k k k k k -+==⨯>+=++++-
∵9k >，∴(1)(2)0k k +->，∴11k k a b ++<成立．
综上，8m =时，对任意的*
n ∈N ，当n m >时，n n a b <成立． ………12分
(21)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知可得函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，而1
()
()1
a x a f x x -'=
+． ……………2分 ∵0a >，1x >-，∴当11x a -<<时，()0f x '<，当1
x a >时，()0f x '>．……4分
∴函数()f x 的单调递减区间是1(1,)a -，单调递增区间是),1
(+∞a
． ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，)(x f 的最小值为11
()()1(1)ln(1)g a f a a a
==-++，0a >． …………6分
要证明1()0g a a -<<，只须证明
111
ln(1)1a a a
<+<+成立． ……………7分 设()ln(1)1
x
x x x ϕ=+-+，(0,)x ∈+∞． ……………8分
则22
11()01(1)(1)
x x x x x ϕ'=
-=>+++ ， ∴()x ϕ在区间(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即ln(1)1
x
x x +>
+．
取1x a =
得到11ln(1)1a a
<++成立． ……………10分 设()ln(1)x x x ψ=+-，(0,)x ∈+∞，同理可证ln(1)x x +<． 取1x a =
得到11ln(1)a a +<成立．因此，1
()0g a a
-<<． ……………12分 (22)（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得22,
4,
a c a c
=⎧⎪
⎨=⎪⎩ 解之得2,1,a c =⎧⎨=⎩ 从而3b =
∴椭圆方程为22
143
x y +=． ……4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为()y k x m =-，
联立方程得22
1,43
(),x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
消去y 得22222
(34)84120k x mk x k m +-+-=，……6分 ∵2
4
2
2
2
2
2
6416(3)(34)48(4)1440m k k m k k m ∆=--+=-+>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,0)N n ，
则2122834mk x x k +=+，22122
412
34k m x x k
-=+，（*） 因为直线NA 与NB 的倾斜角互补等价于0NA NB k k +=， ………8分 所以
12120y y x n x n +=--，即1212()()0k x m k x m x n x n
--+=--， ………9分 即12122()()20x x m n x x mn -+++=，
将（*）式代入上式得
222
22
824()8203434m k m n mk mn k k -+⨯-+=++， 整理得4mn =，∵0m ≠，∴4n m =，所以，N 点存在，且坐标为4
(,0)m
， 因此，存在点N 4
(
,0)m
使得直线NA 与NB 的倾斜角互补． ………12分。