浙江省嘉兴市嘉兴一中2013届高三数学一模试卷 理 新人教A版

嘉兴市嘉兴一中2013届高三一模数学理科试卷
一．选择题（本题共10个小题，每题5分，共50分） 1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,4}U A B ===，则()U A
C B
A ．｛1，3｝
B ．
｛2，4｝ C ．｛1，
2，3，5｝ D ．｛2，5｝ 2．若某多面体的三视图如图所示，则此多面体的体积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ． 12
3．已知等比数列{}n a 中，12345640,20a a a a a a ++=++=，则前9 项之和等于（ ）
A ．50
B ．70
C ．80
D ．90 4．已知m a 、都是实数，且0a ≠，则“{,}m a a ∈-”是“||m a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．右图所示的程序框图中的输出结果是 ( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
6．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，则下列正确的是A ．若m ∥,n α∥α，则m ∥n B ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β C ．若m ∥,n α∥β，则α∥βD ． 若,m n αα⊥⊥，则m ∥n 7．设向量,a b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=
⋅-=，则|2|a b +＝( )
A ．2
B ．．4 D ．
8．设变量,x y 满足约束条件220
22010
x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，则11y s x +=+的取值范围是（ ）
A ．3[1,]2
B ．1[,1]2
C ．[1,2]
D ．1[,2]2
9．在正实数集上定义一种运算*：当a b ≥时，a *3b b =；当a b <时，a *2b b =， 则满足3*27x =的x 的值为( )
A ．3
B ．1或9
C ．1
D ．3或10．过双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作圆222
x y a +=的切线FM （切点为M ），
交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点, 则双曲线的离心率是（ ）
(C) 2
二．填空题（本题共7个小题，每题4分，共28分）
正视图
侧视图
俯视图
11．曲线sin cos y x x =+在点(
,1)2
π
处的切线斜率为 ▲ .
12．已知复数132z =-
+,满足210az bz ++=(a,b 为实数),则a b += ▲ . 13. 平面上两定点A,B 之间距离为4,动点P 满足2PA PB -=,则点P 到AB 中点的距离的最小值为 ▲ .
14. 随机变量X 的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若1
2
EX =，则DX 的值是 ▲ ．
15．已知圆2
2
:2O x y +=，圆2
2
:(1)(3)1M x y -+-=，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线PA ，若直线PA 与圆M 的另一个交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线PA 的斜率是 ▲ .
16．已知关于x 的方程2
2
||90x a x a ++-=只有一个实数解，则实数a 的值为 ▲ . 17. 形如45132这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由数字0，1，2，3，4，5，6，7可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 ． ▲ ．
三．解答题（本题共5题，满分72分）
18．（本题满分14分）已知1(sin ,)2
m A =与(3,sin 3)n A A =+
共线，其中A 是△
ABC 的内角．
（1）求角A 的大小；
（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.
19．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足113,33(*)n
n n a a a n N +=-=∈，数列{}n b 满足
3n n n b a -=.
（1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）设3
12345
2
n n a a a a S n =
++++
+，求满足不等式
211
1284n n S S <<的所有正整数n 的
值.
20．（本题满分14分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，ACD ∆是正三角形， 且2AD DE AB ==.
（1）设M 是线段CD 的中点，求证：AM ∥平面BCE ； （2）求直线CB 与平面ABED 所成角的余弦值.
21．（本题满分15分）如图，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线2
1:(0)C y ax a =>和圆22
2:(1)5C x y ++=都相切，F 是1C 的焦点.
（1）求m 与a 的值；
（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点作抛物线1C 的切线，直线交y 轴于点B ，以,FA FB 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线1C 于,P Q 两点，求NPQ ∆的面积S 的取值范围.
22。

（本题满分15分）已知函数()ln f x x x x =+． （1）求函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程；
（2）若k ∈Z ，且()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （3）当4n m >≥时，证明(
)()m
n
n m mn
nm >．
嘉兴一中2011年高三三模数学（理科）参考答案： 1－10 AABBC DBDDA
11. －1 12. 2 13. 1 14.
5
12
15. 1或－7 16. 3 17. 721
18．解：（1）因为m //n ,
所以3sin (sin )02
A A A ⋅+-=.
所以1cos 232022A A -+-=，
12cos 212
A A -=，
即 ()
πsin 216
A -=. …………………4分
因为(0,π)A ∈ , 所以()
ππ11π2666A -∈-，
. 故
ππ262
A -=，
π3
A =.……………7分
（2）由余弦定理，得 224b c bc =+-.
又1sin 2ABC S bc A ∆==， …………………9分
而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立） …………11分
所以1sin 42ABC S bc A ∆===. ………………………12分
当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.…14分
19.（1）证明：由3n n n b a -=得3n n n a b =，则1
113n n n a b +++=。

代入133n n n a a +-=中，得111333n n n
n n b b +++-=，
即得11
3
n n b b +-=。

所以数列{}n b 是等差数列。

………………6分 （2）解：因为数列{}n b 是首项为1
1131b a -==，公差为13
等差数列，
则121(1)33n n b n +=+-=，则1
3(2)3n n n n a b n -==+⨯。

………………8分
从而有132
n n a
n -=+，
故21
31213311333
3452
132
n n n n n a
a
a a S n ---=+++
+=++++==+-。

…………11分 则223113131
n n n n
n S S -==-+，由2111284n n S S <<，得111
128314n <<+。

即33127n
<<，得14n <≤。

故满足不等式
211
1284
n n S S <<的所有正整数n 的值为2，3，4。

………………14分
20（I ）证明：取CE 中点N,连接MN,BN
则MN ∥DE ∥AB 且MN=
2
1
DE=AB ∴四边形ABNM 为平行四边形∴AM ∥BN ………....4分 ∴AM ∥平面BCE ………………………....6分 （Ⅱ）解：取AD 中点H,连接BH ，
∵ACD ∆是正三角形， ∴CH ⊥AD …....8分 又∵⊥AB 平面ACD ∴CH ⊥AB ∴CH ⊥平面ABED ....10分
∴∠CBH 为直线 CB 与平面ABED 所成的角………....12分
设AB=a,则AC=AD=2a , ∴BH=2a BC=5a
cos ∠CBH=510
5
2=
=BC BH ………………....14分 21
D
E
D
E
22。

（1）解：因为()ln 2f x x '=+，所以()12f '=，
函数()f x 的图像在点(1,1)处的切线方程21y x =-；…………3分
（2）解：由（1）知，()ln f x x x x =+，所以()(1)k x f x -<对任意1x >恒成立，即
ln 1
x x x
k x +<
-对任意1x >恒成立．…………4分
令()ln 1x x x g x x +=
-，则()()
2
ln 2
1x x g x x --'=-，……………………4分 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()11
10x h x x x
-'=-
=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………………5分
因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．
当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，…6分
所以函数()ln 1
x x x
g x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．
所以()()()()
()000000min
001ln 123,411
x x x x g x g x x x x ++-==
==∈⎡⎤⎣⎦
--．…………7分
所以()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是3．………………………8分 （3）由（2）知，()ln 1
x x x
g x x +=
-是[)4,+∞上的增函数，……………9分
所以当4n m >≥时，ln ln 11
n n n m m m
n m ++>
--．…………………10分 即()()()()11ln 11ln n m n m n m -+>-+．
整理，得()ln ln ln ln mn n m m mn m n n n m +>++-．………………11分 因为n m >， 所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+．…………………12分 即ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+．即()()
ln ln mn m mn n n m m n >．………………13分 所以(
)()m
n
n m mn
nm >．………………………14分。