2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章 4.3.2 对数的运算

4.3.2对数的运算
学习目标核心素养
1.理解对数的运算性质．(重点)
2．能用换底公式将一般对数转化成自然
对数或常用对数．(难点)
3．会运用运算性质进行一些简单的化简
与证明．(易混点)
1.借助对数的运算性质化简、求值，培养
数学运算素养．
2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素
养.
问题：(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？
(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？
提示：(1)∵log24＝2，log28＝3，log232＝5，
∴log24＋log28＝log2(4×8)＝log232；
log232－log28＝log2
32
8
＝log24；
log232－log24＝log2
32
4
＝log28.
(2)lg 10＝1，lg 100＝lg 102＝2，lg 1 000＝lg 103＝3，lg 104＝4，可见lg 10n ＝n lg 10＝n.
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；
(2)log a M
N＝log a M－log a N；
(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，log a(M＋N)＝log a M＋log a N，log a(MN)＝log a M·log a N 是否成立？
提示：不一定．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有log a b＝log c b log c a.
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)log2x2＝2log2x. ()
(2)log a[(－2)×(－3)]＝log a(－2)＋log a(－3)．()
(3)log a M·log a N＝log a(M＋N)．()
(4)log x2＝
1
log2x. ()
[答案](1)×(2)×(3)×(4)√
2．计算log84＋log82等于()
A．log86B．8 C．6 D．1 D[log84＋log82＝log88＝1.]
3．计算log510－log52等于()
A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 C[log510－log52＝log55＝1.]
4．log a b·log b c·log c a＝________.
1[log a b·log b c·log c a＝lg b
lg a·
lg c
lg b·
lg a
lg c
＝1.]
对数运算性质的应用
(1)12lg 3249－4
3lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋2
3lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)
lg 2＋lg 3－lg 10
lg 1.8
.
[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋
1
2(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋1
2lg 5 ＝12lg 2＋1
2lg 5 ＝1
2(lg 2＋lg 5) ＝1
2lg 10 ＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝1
2(lg 2＋lg 9－lg 10)
lg 1.8
＝lg 1810
2lg 1.8 ＝lg 1.82lg 1.8
＝12.
1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟进训练]
1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；
(2)2
3lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解] (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)2
3lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
对数的换底公式
(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．
[解] (1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323
＋log 5222
＋log 52)＝⎝
⎛
⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13. (2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185.
又log189＝a，
∴log3645＝
log1845
log1836
＝
log185＋log189
1＋log182
＝
a＋b
2－log189
＝
a＋b
2－a
.
(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)
[解]∵log189＝a，∴log183＝
a
2.又log185＝b，
∴log915＝
log1815
log189
＝
log183＋log185
log189
＝
a
2
＋b
a
＝
a＋2b
2a.
1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：log a b·log b a＝1，log an b m＝
m
n log a b，log a b＝
1
log b a
等．
[跟进训练]
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解](1)原式＝
lg 3
lg 2·
lg 5
lg 3·
lg 16
lg 5
＝lg 16
lg 2
＝4lg 2
lg 2
＝4.
(2)原式＝⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg 2
lg 3
＋lg 2
lg 9⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg 3
lg 4
＋lg 3
lg 8
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg 2
lg 3
＋lg 2
2lg 3⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
lg 3
2lg 2
＋lg 3
3lg 2
＝3lg 2
2lg 3·
5lg 3
6lg 2
＝5
4.
对数运算性质的综合应
用
[探究问题]
1．若2a
＝3b
，则a
b 等于多少？
提示：设2a ＝3b ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，∴a
b ＝log 23. 2．对数式log a b 与log b a 存在怎样的等量关系？ 提示：log a b ·log b a ＝1， 即log a b ＝1log b
a .
【例3】 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1
b ＝2，求
c 的值． [思路点拨]
求c 的值
[解] ∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴1a ＝log c 3，1
b ＝log
c 5， ∴1a ＋1
b ＝log
c 15.
由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.
1．把本例条件变为“3a ＝5b ＝15”，求1a ＋1
b 的值． [解] ∵3a ＝5b ＝15，∴a ＝log 315，b ＝log 515， ∴1a ＋1
b ＝log 153＋log 155＝log 1515＝1.
2．若本例条件改为“若a ，b 是正数，且3a ＝5b ＝c ”，比较3a 与5b 的大小． [解] ∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴3a －5b ＝3log 3c －5log 5c
＝3lg c
lg 3－5lg c
lg 5
＝
lg c(3lg 5－5lg 3)
lg 3lg 5
＝lg c(lg 125－lg 243)
lg 3lg 5<0，
∴3a<5b.
应用换底公式应注意的两个方面
(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.
(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.
1．记牢2个知识点
(1)对数的运算性质；(2)换底公式．
2．掌握2种方法
(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．
(2)利用结论log a b·log b a＝1，log an b m＝m
n log a b化简求值更方便．
1．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：
(1)(log a x)n＝n log a x；
(2)(log a x)n＝log a x n；
(3)log a x＝－log a 1 x；
(4)n
log a x＝
1
n log a x；
(5)log a x
n＝log a
n
x.
其中正确的有()
A．2个B．3个
C．4个D．5个
A[根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．] 2．计算log92·log43＝()
A．4B．2
C.1
2D．
1
4
D[log92·log43＝lg 2
lg 9·
lg 3
lg 4
＝lg 2
2lg 3·
lg 3
2lg 2
＝1
4.]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()
A.b
a B.
a＋b
a
C．ab D．a＋b B[∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝lg 6
lg 2
＝
lg 2＋lg 3
lg 2
＝
a＋b
a.]
5．计算：(1)log535－2log57
3＋log57－log51.8；
(2)log27
48＋log212－
1
2log242－1.
[解](1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log59
5
＝log55＋log57－
2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log27
48
＋log212－log242－log22
＝log27×12
48×42×2＝log21
22
＝log22－3
2
＝－
3
2.。