2015-2016年河南省洛阳市孟津一中高一上学期期末数学试卷(文科)与答案Word版

2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高一（上）期末数学试卷
（文科）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5.00分）已知两个集合，则A∩B=（）A．A B．B C．{﹣1，1}D．∅
2．（5.00分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5.00分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）
A．4 B．C．D．
4．（5.00分）已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是（）
A．B．C．0 D．﹣
5．（5.00分）已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）
6．（5.00分）函数的单调增区间是（）
A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）
7．（5.00分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31，之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
8．（5.00分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥n则n∥α；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是（）
A．③④B．②④C．①②D．①③
9．（5.00分）过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°
10．（5.00分）多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）（单位cm）
A．B．C．D．32
11．（5.00分）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值
范围是（）
A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]D．{﹣1}
12．（5.00分）设f（x）定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5.00分）奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[﹣2，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．
14．（5.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的斜率是．
15．（5.00分）已知5x+12y=60，则的最小值是．
16．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m 有3个零点，则实数m的取值范围是．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
18．（12.00分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．
（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
19．（12.00分）圆C过点M（5，2），N（3，2）且圆心在x轴上，点A为圆C 上的点，O为坐标原点．
（1）求圆C的方程；
（2）连接OA，延长OA到P，使得|OA|=|AP|，求点P的轨迹方程．20．（12.00分）已知y=f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，求a的取值范围．
21．（12.00分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三
角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．
（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；
（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．
22．（12.00分）设函数f（x）=log2（1+a•2x+4x），其中a为常数
（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围．
2015-2016学年河南省洛阳市孟津一中高一（上）期末数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．（5.00分）已知两个集合，则A∩B=（）A．A B．B C．{﹣1，1}D．∅
【解答】解：由A中y=，得到1﹣x2≥0，
解得：﹣1≤x≤1，即A=[﹣1，1]，
由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≤0，且x﹣1≠0，
解得：﹣1≤x＜1，即B=[﹣1，1），
则A∩B=[﹣1，1）=B，
故选：B．
2．（5.00分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离d=，
则|AB|=2=2，
当k=1时，|AB|=，即充分性成立，
若|AB|=，则，
即k2=1，解得k=1或k=﹣1，即必要性不成立，
故“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5.00分）两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）
A．4 B．C．D．
【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，
∴，解得m=2．
因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，
即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．
∴两条直线之间的距离为d===．
故选：D．
4．（5.00分）已知直线PQ的斜率为，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是（）
A．B．C．0 D．﹣
【解答】解：直线PQ的斜率为，可知：直线PQ的倾斜角为120°，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的倾斜角为60°，因此斜率是．
故选：A．
5．（5.00分）已知实数a＞1，0＜b＜1，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）
【解答】解：∵a＞1，
∴函数f（x）=a x+x﹣b为增函数，
又0＜b＜1，
∴f（﹣1）=﹣1﹣b＜0，f（0）=1﹣b＞0，
∴函数f（x）=a x+x﹣b在（﹣1，0）内有零点，
故选：B．
6．（5.00分）函数的单调增区间是（）
A．（﹣1，1]B．（﹣∞，1）C．[1，3） D．（1，+∞）
【解答】解：令t=﹣x2+2x+3＞0，求得﹣1＜x＜3，可得函数的定义域为（﹣1，3），
且y=，故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为[1，3），
故选：C．
7．（5.00分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31，之间的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解答】解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：A．
8．（5.00分）设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；
②若m∥α，m∥n则n∥α；
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
其中的正确命题序号是（）
A．③④B．②④C．①②D．①③
【解答】解：对于①，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故①错误；
对于②，若m∥α，m∥n则n可能在α内；故②错误；
对于③，若m⊥α，m∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故③正确；
对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m⊥β；故④正确；
故选：A．
9．（5.00分）过直线y=2x上一点P作圆M：的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：连接PM、AM，可得当切线l1，l2关于直线l对称时，
直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，
∵圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=，
∴点M坐标为（3，2），半径r=，
点M到直线l：2x﹣y=0的距离为PM==，
由PA切圆M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM==，
得∠APM=30°，
∴∠APB=2∠APM=60°．
故选：C．
10．（5.00分）多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）（单位cm）
A．B．C．D．32
【解答】解：由已知中的三视图，画出几何体的直观图如下：
该几何体是一个以△ABC为底面，在DA为高的三棱锥，
底面△ABC的底边长为高均为4cm，故底面面积S=，
棱锥的高DAA=4cm，
故棱锥的体积V==cm3，
故选：B．
11．（5.00分）已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值
范围是（）
A．（﹣1，2）B．[﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]D．{﹣1}
【解答】解：函数f（x）=的值域为R，
由y=log2x是增函数，
∴y=（2﹣a）x+3a也是增函数，
故得2﹣a＞0，
解得：a＜2，
∵函数f（x）的值域为R，
（2﹣a）×1+3a≥log21，
解得：a≥﹣1．
∴实数a的取值范围是[﹣1，2）．
故选：B．
12．（5.00分）设f（x）定义在实数集R上的函数，满足条件y=f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，，则的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵y=f（x+1）是偶函数，
∴f（﹣x+1）=f（x+1），
即函数f（x）关于x=1对称．
∵当x≥1时，，为减函数，
∴当x≤1时函数f（x）为增函数．
∵f（）=f（）=f（）=f（），且，
∴，
即．
故选：A．
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5.00分）奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[﹣2，2]上单调
递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．
【解答】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f（1+m）+f（m）＜0等价为f（1+m）＜﹣f（m）=f（﹣m），
即，即，得﹣＜m≤1，
故答案为：（﹣，1]
14．（5.00分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的斜率是2．
【解答】解：点A（1，2），B（3，1），则线段AB的斜率为：=．
则线段AB的垂直平分线的斜率是：2．
故答案为：2．
15．（5.00分）已知5x+12y=60，则的最小值是．
【解答】解：由就是点（x，y）到原点距离，要求它的最小值实际上就是求原点到直线5x+12y=60的距离，
即，
故答案为：．
16．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m
有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，
得m=f（x）
作出y=f（x）与y=m的图象，
要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为：（0，1）．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．（10.00分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）令x=0，得y=a﹣2．令y=0，得（a≠﹣1）．
∵l在两坐标轴上的截距相等，∴，解之，得a=2或a=0．
∴所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0．
（2）直线l的方程可化为y=﹣（a+1）x+a﹣2．∵l不过第二象限，
∴，∴a≤﹣1．∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．
18．（12.00分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC1上一点，且．
（1）求证：GE∥侧面AA1B1B；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
【解答】（1）证明：如图，
连结B1E并延长，交BC于点F，连结AB1，
∵△B1EC1∽△FEB，且，
∴，则点F为BC中点．
∵G为△ABC的重心，∴，
∴GE∥AB1，
又AB1⊂面AA1B1B，GE⊄面AA1B1B，∴GE∥面AA1B1B；
（2）解：∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，过A1作A1H⊥AB于H，
则A1H⊥面ABC，则A1H为三棱柱的高，
又侧棱AA 1与底面ABC成60°的角，AA1=2，∴．
又底面ABC是边长为2的正三角形，∴．
∴．
19．（12.00分）圆C过点M（5，2），N（3，2）且圆心在x轴上，点A为圆C 上的点，O为坐标原点．
（1）求圆C的方程；
（2）连接OA，延长OA到P，使得|OA|=|AP|，求点P的轨迹方程．
【解答】解：（1）由已知得MN的垂直平分线为x=4，所以圆心坐标为C（4，0），
则半径r=
所以圆的方程为（x﹣4）2+y2=5
（2）连接OA，延长OA到P，使得|OA|=|AP|，则点A为点P与点O的中点
设P（x，y），A（x0，y0），则有，代入方程，
化简得点P的轨迹方程为（x﹣8）2+y2=20
20．（12.00分）已知y=f（x）是定义在[﹣6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（5）=3，又f（6）=2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当x∈[3，6]时，f（x）为二次函数，
且f（x）≤f（5），f（6）=2，
设f（x）=ax2+bx+c，
则有，解得；
∴f（x）=﹣x2+10x﹣22，∴f（3）=﹣1，
又∵f（x）为奇函数，且在[0，3]上的一次函数，f（3）=﹣1，
∴，当x∈[﹣6，﹣3]时，﹣x∈[3，6]，
∴f（﹣x）=﹣x2﹣10x﹣22，
∵f（x）为[﹣6，6]上的奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=x2+10x+22．
综上所述，f（x）=；
（2）当﹣6≤x≤﹣3时，f（x）=（x+5）2﹣3，
当x=﹣5时，f（x）的最小值为﹣3；
x=﹣3时，f（﹣3）=1，即有f（x）∈[﹣3，1]；
当﹣3＜x＜3时，f（x）∈（﹣1，1）；
当3≤x≤6时，f（x）=﹣（x﹣5）2+3，
f（x）∈[﹣1，3]．
即有y=f（x）的值域为[﹣3，3]，
故f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，
即a2+4a+3≤0，
解得﹣3≤a≤﹣1，
综上：若f（x）﹣a2﹣4a≥0恒成立，求a的取值范围为{a|﹣3≤a≤﹣1}．
21．（12.00分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．
（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；
（2）求直线EF与平面CBE所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．
在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，
连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．
所以BM⊥平面CDE．
又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）
（2）法一：过F作FN⊥CE交CE于N，则FN⊥平面CBE，连接EF，则∠NEF就是直线
EF与平面CBE所成的角…（11分）
设AB=1，则，在Rt△EFN中，．
故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…（15分）
法二：以F为坐标原点，FD、FA、FM所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图
所示．F（0，0，0），E（1，0，2），，C（﹣1，0，0），平面CBE 的一个法向量
为…（11分）
则=
故直线EF与平面CBE所成角的正弦值为．…（15分）
22．（12.00分）设函数f（x）=log2（1+a•2x+4x），其中a为常数
（1）当f（2）=f（1）+2，求a的值；
（2）当x∈[1，+∞）时，关于x的不等式f（x）≥x﹣1恒成立，试求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=log2（1+a•2x+4x），
∴f（1）=log2（1+2a+4），f（2）=log2（1+4a+16），
由于f（2）=f（1）+2，
即log2（4a+17）=log2（2a+5）+2，
解得，a=﹣；
（2）因为f（x）≥x﹣1恒成立，
所以，log2（1+a•2x+4x）≥x﹣1，
即，1+a•2x+4x≥2x﹣1，
分离参数a得，a≥﹣（2x+2﹣x），
∵x≥1，∴（2x+2﹣x）min=，此时x=1，
所以，a ≥﹣=﹣2，
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【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数
的
单
调
性
①定义及判定方法 函数的 性 质
定义
图象 判定方法
函数的
单调性
如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2
y=f(X)
x
y f(x )1
f(x )2
o
（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．
． y=f(X)
y
x o
x x 2
f(x )
f(x )
2
11
（
1）利用定义
（
2）利用已知函数的单调性
（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）
（4）利用复合函数
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则
[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()
y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
y
x
o
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数的 性 质
定义
图象
判定方法 函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．
．
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．
．
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
即实数a 的取值范围为[﹣2，+∞）．。