河北省保定市2019_2020学年高二数学上学期阶段联考试题二(含解析)

河北省保定市2019-2020学年高二数学上学期阶段联考试题二（含解
析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1.抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1）
B. （1，0）
C. 1
(0,
)16
D.
1
(,0)16
【答案】C 【解析】 【分析】
将抛物线方程化为标准形式，即可得到焦点坐标.
【详解】抛物线2
4y x =的标准方程为2
1
4x y =
，即18
p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，
故焦点坐标为10,16⎛⎫
⎪⎝⎭
. 故选：C.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，把抛物线方程化为标准形式是解题的关键，属于基础题.
2.已知命题:0P x ∀>，总有(1)1x
x e +>，则p ⌝为（ ）
A. 00x ∃≤ 使得00(1)x
x e +1≤
B. 00x ∃> 使得00(1)x
x e +1≤
C. 0x ∀> 总有(1)1x
x e +≤ D. 0x ∀≤,总有(1)1x
x e +≤
【答案】B 【解析】 【分析】
利用全称命题的否定解答即得解.
【详解】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）0e x ≤1，
故选B ．
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3.在△ABC 中，“A＞60°”是“sin 2
A >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
因为A 为ABC ∆的内角，则0
(0,180)A ∠∈，
又由sin A >
，则0060120A <<， 而当0150A =时，1sin 2A =<，
所以“060A =”是“sin A >
”的必要不充分条件，故选B. 4.一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表 （单位：辆）：
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则z 的值为 ． A. 300 B. 400
C. 450
D. 600
【答案】B 【解析】 【分析】
根据甲类轿车抽取的数量可求得抽样比，从而构造出关于z 的方程，解方程求得结果. 【详解】由题意知抽样比为：
101
10030040
=+
则：
501 10030015045060040
z
=
+++++
，解得：400
z=
本题正确结果：B
【点睛】本题考查随机抽样中的分层抽样，属于基础题.
5.古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克士，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为（）
A. 1
2
B.
1
3
C.
2
5
D.
3
10
【答案】A
【解析】
【分析】
所有的抽取方法共有10种，而相克的有5种情况，由此求得抽取的两种物质相克的概率，再用1减去此概率，即可求解．
【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有10种，而相克的有5中情况，
则抽取的两种物质相克的概率是
51 102
=，
故抽取的两种物质不相克的概率是
11
1
22
-=，故选A．
【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中求得基本事件的总数，事件和它的对立事件的概率之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
6.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（）
A. 1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
1
2
【答案】B
【解析】
【分析】
确定第二节课的上课时间和时长，从而得到听课时间不少于20分钟所需的达到教室的时间，根据几何概型概率公式求得结果.
【详解】由题意可知，第二节课的上课时间为：8:409:20
:，时长40分钟
若听第二节课的时间不少于20分钟，则需在8:509:00:之间到达教室，时长10分钟
∴听第二节课的时间不少于20分钟的概率为：101404
p =
= 本题正确选项：B
【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.
7.在圆x 2+y 2＝4上任取一点，则该点到直线220x y +-=的距离d ∈[0，1]的概率为（ ） A.
1
4
B.
13
C.
12
D.
23
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，求出满足条件的圆弧，再用弧长之比求出即可. 【详解】如图：
直线220x y +-与22
4x y +=22
22
r ==，所以直线与圆相切， 而直线20x y +=到圆心的距离为1， 所以要使点到直线20x y +-=的距离[]0,1d ∈，
只需点落在直线20x y +=与直线220x y +-=所夹的圆弧上， 由2r =，1d =，所以圆心角为2=3
πα，即圆的圆心角的13.
故选：B.
【点睛】本题考查几何概型的应用，属于基础题.
8.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线被曲线22
420x y x +-+=所截得的弦
长为2．则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3 B.
23
C. 5
D.
25
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，再根据弦长求出221
3b a =，再求双曲线C 的离心率得解.
【详解】双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，
由对称性，不妨取b
y x a
=
，即0bx ay -=． 又曲线2
2
420x y x +-+=化为()2
222x y -+=， 则其圆心的坐标为()2,0，半径为2． 由题得，圆心到直线的
距离()
2
2211d =-=，
又由点到直线的距离公式．可得
2
2
20
1b d b a
-==+．
解得2213b a =，所以222222
2231c a b b e a a a +===+=． 故选B ．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
9.直三棱柱ABC —A′B′C′中，AC ＝BC ＝AA′，∠ACB ＝90°，E 为BB′的中点，异面直线CE 与C A '所成角的余弦值是（ ）
A.
5 B. 5-
C. -
10 D.
10 【答案】D 【解析】 【
分析】
以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE 与C A '所成角的余弦值．
【详解】直三棱柱ABC A B C -'''中，AC BC AA =='，90ACB ∠=︒，E 为BB '的中点． 以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC '为z 轴，建立空间直角坐标系，
设2AC BC AA =='=，则(0C ，0，0)，(0E ，2，1)，(0C '，0，2)，(2A ，0，0)， (0CE =u u u r ，2，1)，(2C A '=u u u u r
，0，2)-，
设异面直线CE 与C A '所成角为θ， 则||10cos ||||58
CE C A CE C A θ'==='u u u r u u u u r g u u u r u u u u r g g ．
∴异面直线CE 与C A '所成角的余弦值为10．
故选D ．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）
A. 2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．
B. 与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．
C. 2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D. 去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元． 【答案】C 【解析】 【
分析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.
【详解】对于A 选项：2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A 正确；
对于B 选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP 均有不同的增长，所以其总量
也实现了增长，故B 正确； 对于C 选项：2017年第一季度GDP 总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP 增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C 错误； 对于D 选项：去年同期河南省的GDP 总量1
4067.43815.5740001 6.6%
⨯
≈<+，故D 正确.
故选：C.
【点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.
11.如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C
交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. 23y x =±
B. 22y x =±
C. 3y x =±
D.
2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b
y x a
=±
得到双曲线的渐近线方程. 【详解】设1123,4,5,AB BF AF AF x ====， 由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =， 所以2212||46413F F =
+=13c ⇒=，
因为2521a x a =-=⇒=，所以23b =， 所以双曲线的渐近线方程为23b
y x x a
=±
=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
12.如图，过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )
A. y 2＝9x
B. y 2＝6x
C. y 2
＝3x D. 23y x ＝
【答案】C 【解析】 【分析】
分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，计算∠BCB 1＝30°，得到
1111122
KF A F AA AF ＝＝＝计算得到3
2p =.
【详解】如图，
分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1， 由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，
∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点， 设l 交x 轴于K ， 则1111122
KF A F AA AF ＝＝
＝，即3
2p =，
∴抛物线方程为y 2＝3x 故选C.
【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，做辅助线判断△AA 1F 为等边三角形是解题的关键. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知正四面体ABCD 的棱长为1，点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，则AE AF ⋅u u u r u u u r
的值为_____． 【答案】
1
4
【解析】 【分析】
由正四面体的定义知，正四面体相对的棱互相垂直，从而可得出0AF BE ⋅=u u u r u u u r
，进而得出
1
4
AE AF AB AF ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r .
【详解】如图，四面体ABCD 是正四面体，
∴四面体的每个面都是正三角形，且相对的棱相互垂直，且棱长为1，
又点E 、F 分别是BC ，AD 的中点，
∴12AF AD =u u u r u u u r ，0AF BE ⋅=u u u r u u u r
∴()
1cos 34
AE AF AB BE AF AB AF BE AF AB AF π⋅=+⋅=⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .
故答案为：1
4
.
【点睛】本题考查了正四面体的定义，正四面体的相对的棱互相垂直，向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算和推理能力，属于基础题． 14.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛，在竞赛中他们取得成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生成绩的中位数是86．若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名，则至少有1名学生来自甲班的概率为__________．
【答案】
710
【解析】 【
分析】
根据题意求出5,6x y ==．成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，由此能求出随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率，得到答案． 【详解】由题意,根据茎叶图可知7482848020583
8086
x y +++++=⨯⎧⎨
+=⎩， 解得5,6x y ==，
成绩在85分及以上的学生一共有5名，其中甲班有2名，乙班有3名，
随机抽取2名，至少有1名来自甲班的概率：23257
110
C P C =-=．
故答案为
710
． 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15.在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22
143
y x +=上的一个动点，点A （1，1）
，B （0，﹣1），则|PA |+|PB |的最大值为_____ 【答案】5 【解析】 【分析】
根据椭圆的方程，算出它的焦点坐标为()0,1B -和()0,1B '，因此连接PB '，AB '，由椭圆的定义得()()
24PA PB PA a PB PA PB ''+=+-=+-，再由三角形两边之差小于第三边，得到当且仅当点P 在AB '延长线上时，45PA PB AB '+=+=达到最大值，从而得到答案.
【详解】椭圆方程为22
143
y x +=，焦点坐标为()0,1B -和()0,1B '，如图：
连接PB '，AB '，根据椭圆的定义，得24PB PB a '+==，可得4PB PB '=-， 因此()()
44PA PB PA PB PA PB ''+=+-=+-， 又PA PB AB ''-≤，
2415PA PB a AB '∴+≤+=+=，
当且仅当点P 在AB '延长线上时，等号成立. 综上所述，PA PB +的最大值为5. 故答案为：5.
【点睛】本题给出椭圆内部一点A ，求椭圆上动点P 与A 点和一个焦点B 的距离和的最大值，考查了椭圆的定义，标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题.
16.过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的焦点F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相
交于,A B 两点，若2BF FA =u u u r u u u r
，则双曲线的离心率为__________． 23 【解析】
由焦点F 到渐近线距离等于b 得,2,AF b BF b == 因此||OA a = ，再由角平分线性质
得
2,2OB BF OB a
OA
AF
=
== ，因此
2222222223
(3)(2)9()334b a a c a a c a e +=⇒-=⇒=⇒=
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程
或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知命题p ：关于x 的方程x 2
﹣2mx +1＝0有实数根，命题q ：双曲线22
15y x m
-=的离心
率e ∈（1，2），若￢q 与p ∧q 均为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】0＜m ＜1. 【解析】 【分析】
分别求出命题为真命题时的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解． 【详解】若命题p 为真，则有△＝4m 2﹣4≥0，解得m ≤﹣1或m ≥1， 当p 为假时有﹣1＜m ＜1．
若命题q 为真，则有5145m
+<<，即55520m m +>⎧⎨+<⎩
解得0＜m ＜15．
因为“﹁q ”为假命题，“p ∧q ”为假命题， 所以q 为真命题，p 为假命题．…
于是由11
015m m -<<⎧⎨<<⎩
解得0＜m ＜1．
故所求实数m 的取值范围是0＜m ＜1．
【点睛】本题主要考查复合命题的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.
18.已知点(0,5)P 及圆22
:412240C x y x y ++-+=.
（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点D 的轨迹方程.
【答案】(1) 34200x y -+=或0x =；(2)22
211300x y x y ++-+=.
【解析】
试题分析：（1）直线与圆相交时，利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成直角三角形的三边勾股定理求解；（2）求弦的中点的轨迹方程，首先设出动点坐标D （x ，y ），
利用弦的中点与圆心的连线垂直于仙所在的直线得到动点的轨迹方程
试题解析：（1）解法一：如图所示，AB ＝43，D
是AB 的中点，CD⊥AB，AD ＝23，AC ＝4，
在Rt△ACD 中，可得CD ＝2．
设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y －5＝kx ， 即kx －y ＋5＝0．
由点C 到直线AB 的距离公式：
22651
k k --++＝2，得k ＝
3
4
． k ＝
3
4
时，直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0． 又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0． ∴所求直线的方程为3x －4y ＋20＝0或x ＝0．
（2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ，y ），
则CD⊥PD，即0CD PD ⋅=u u u r u u u r
（x ＋2，y －6）（x ，y －5）＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0． 考点：1．轨迹方程；2．直线与圆相交的相关问题
19.已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （2，y 0）为抛物线上一点，且|AF |＝4． （1）求抛物线的方程；
（2）直线l ：y ＝x +m 与抛物线交于不同两点P ，Q ，若33OP OQ ⋅=u u u r u u u r
，其中O 为坐标原点，求m 的值．
【答案】（1）y 2＝8x ； （2）﹣11. 【解析】 【分析】
（1）由抛物线的定义到焦点的距离，转化为到准线的距离求出p 的值，即可求出抛物线方程；
（2）直线与抛物线联立，由根与系数的关系，由向量数量积即可求出m 的值． 【详解】（1）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）过点A （2，y 0）， 且|AF |＝4则242
p
+=， ∴p ＝4，
故抛物线的方程为y 2＝8x ； （2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），
联立 28y x m y x
=+⎧⎨=⎩，得x 2+（2m ﹣8）x +m 2
＝0，
△＝（2m ﹣8）2﹣4m 2＞0，得m ＜2，
∴x 1+x 2＝8﹣2m ，2
12x x m =，
2121212121212()()2()OP OQ x x y y x x x m x m x x m x x m ⋅=+=+++=+++u u u r u u u r
222(82)33m m m m =+-+=，
∴m ＝﹣11或m ＝3， ∵m ＜2，∴m ＝﹣11．
【点睛】本题考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
20.如图，已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是正三角形，点M 、N 分别是B 1C 1和A 1B 1的中点，
AA 1＝AB ＝BM ＝2，∠A 1AB ＝60°．
（1）求证：BN ⊥平面A 1B 1C 1； （2）求二面角A 1﹣AB ﹣M 的余弦值． 【答案】（1）见解析； （225
.
【解析】 【分析】
（1）要证BN ⊥平面111A B C ，只需证明11BN A B ⊥，BN MN ⊥；
（2）建立坐标系，求出平面1ABA 的一个法向量，平面MAB 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角1A AB M --的余弦值. 【详解】（1）证明：连接MN ，A 1B ，
∵侧面是ABB 1A 1菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1BB 1为正三角形． ∵N 是A 1B 1的中点，∴BN ⊥A 1B 1，
∵AA 1＝AB ＝BM ＝2，∴BN ＝3，MN ＝1，∴BN 2
+MN 2
＝BM 2
，∴BN ⊥MN ， ∵A 1B 1∩MN ＝N ，∴BN ⊥平面A 1B 1C 1；
（2）取AB 的中点E ，连接A 1E ，则A 1E ∥BN ，由（1）知A 1E ⊥平面ABC ，
以E 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则E （0，0，0），A （﹣1，0，0），B （1，0，0），
C （0，3，0），A （0，0，3），B 1（2，0，3），
设M （x ，y ，z ），由112B M BC =u u u u r u u u r 得33,322
x y z ===
∴33
(3)2M ， ∴3313(3),(3)22EM BM ==u u u u r
u u u u r , 平面ABA 1的一个法向量为1n =u r
（0，1，0），
设平面MAB 的法向量2n =u u r （x ，y ，z ）
，则302
102
x y x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩ ，
∴2n =u u r
（0，﹣2，1），
∴1212
12
cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r
u r u u r u r u u r ， ∴二面角A 1﹣AB ﹣M
． 【点睛】本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21.某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据
（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y 与年份编号x 满足线性相关关系求y 与x 的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；
（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时问在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；
（2）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）
参考公式对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），（x 3，y 3），…（x n ，y n ），其回归直线y bx a
=+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为，1
2
2
1
ˆˆˆ,5n
i i
i n
i
i x y nxy
b
a
bx x
nx ==-==--∑∑ 【答案】（Ⅰ）265户； （Ⅱ）（1）36户；（2）199元. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用线性回归方程得定义，分别求出相关数据，即可求解
（Ⅱ）（i ）首先判断出随机变量符合二项分布，然后利用二项分布的数学期望公式进行求解； （ii ）由频率分布直方图，结合样本估计总体思想进行求解即可 【详解】（Ⅰ）1
(12345)3,5
x =
++++= 1
(3495124181216)130,5
y =++++=
1
22
2
2
1
(2)(96)(1)(35)051286450
ˆ45,(2)(1)01410
n
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx ==--⨯-+-⨯-+++⨯==
==-+-+++-∑∑
ˆˆ130453 5.a
y bx =-=-⨯=- 45 5.y x =-所以线性回归方程为
$6,y
265,2019x ==令.年该小区有26到5户居，民有以意向所加得截底装暖气止 （Ⅱ）（i ）由频率分布直方图知，拟报竞价不低于180元的频率为
（0.09+0.07+0.02）×4=0.72， 0.72×50=36，
所以拟报竞价不低于180元的户数为36户. （ii ）由题意知 1205
=2169
所以按竞价由高到低排列， 位于前
5
9的居民可以竞拍成功，设竞拍成功的最低报价为x （十元）， (22)5
0.094(0.070.02)4.49
x -⨯⨯++⨯= 19.83,199x ≈解得：所以竞拍成功的最低报价为元.
【点睛】本题考查概率与统计的知识，主要考查利用图表分析数据、通过数据进行估计或决策的意识，属于中档题
22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3
，两焦点与短轴的一个端点的连线
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设与圆O ：2
2
3
4
x y +=
相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）2213x y +=；
（Ⅱ）2
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ），，建立方程，即可求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）对直线ＡＢ的斜率分类讨论，设直线AB 的方程为y kx m =+，利用相切可得
()
22
314
m k =
+，与椭圆联立，利用韦达定理可以表示AB ，利用均值不等式求出最值即可得到△AOB 面积的最大值 【详解】解：（I
）由题设：
c bc a == 解得2
2
3,1a b ==
∴椭圆C 的方程为2
213
x y +=
（Ⅱ）.设()()1122,x ,A x y B y 、 1.当AB ⊥x
轴时，AB
2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+
=
()2
2314
m k =+ 把y kx m =+代入椭圆方程消去y ， 整理得(
)
2
22
316330k x kmx m +++-=,
有()
2121222
316,3131
m km x x x x k k --+==++ ()()()
()
(
)2222
2
2
2
1
2
222121361k 13131m k m AB x x k k k ⎡⎤-⎢⎥
=+-=+-
⎢⎥++⎣
⎦
,
()(
)()
()()
()
222
2
22
2
2
2
121313191
31
31
k k m k
k k
k
++-++=
=++,
()2422
21212
330196196
k k k k k k =+=+≠++++,
12
34236
≤+
=⨯+,
当且仅当2219,k k =，即k =.
当0k =时，AB =
综上所述max 2AB =，从而△AOB 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值问题，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。