长清区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

长清区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2 B ．x 3﹣2x 2 C ．﹣x 3+2x 2 D ．﹣x 3﹣2x 2
2． 函数
y=+
的定义域是（ ）
A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
3． 已知直线l
的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，α为直线l 的倾斜角），以原点O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3
π
ρθ=+
，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当
||AB 最小时，α的值为（ ）
A ．4π
α=
B ．3π
α=
C ．34πα=
D ．23
π
α=
4． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为2
1
-，则=||MN （ ）
A ．10
B ．180
C ．36
D ．56
5．
复数=（ ） A
． B
．
C
．
D
．
6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *
），则
++…
+=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
7． “x ＞0”是
“＞0”成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．非充分非必要条件
D ．充要条件
8． 已知条件p ：|x+1|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
9． 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件
30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
则实数m 的最大值为 A 、1- B 、 C 、
3
2
D 、2 10．已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞）
11．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）
（A ）150种 （ B ） 180 种 （C ） 240 种 （D ） 540 种
12．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：
小时）间的关系为0e kt
P P -=（0P
，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8
B.10
C. 15
D. 18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.
二、填空题
13．1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆
______________.
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力． 14
．已知函数
为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．
15．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
16．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ． 17．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12
n n n S λ-+<+｜对一切n N *
∈恒成立，则λ的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 18．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=3cm ，AA 1=2cm ，则四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为 cm 3．
三、解答题
19．已知直线l ：x ﹣y+9=0，椭圆E ：
+
=1，
（1）过点M （，）且被M 点平分的弦所在直线的方程；
（2）P 是椭圆E 上的一点，F 1、F 2是椭圆E 的两个焦点，当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大，并说明理由；
（3）求与椭圆E 有公共焦点，与直线l 有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．
20．已知等差数列{a n }，满足a 3=7，a 5+a 7=26． （Ⅰ）求数列{a n }的通项a n ；
（Ⅱ）令b n =（n ∈N *
），求数列{b n }的前n 项和S n ．
21．在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线2
4y x 相交于点A 、B 两点，设
11(,)A x y ，22(,)B x y ．
（1）求证：12y y 为定值；
（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．
22．已知△ABC 的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC 的面积．
23．已知函数f （x ）=1+
（﹣2＜x ≤2）．
（1）用分段函数的形式表示函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．
24．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=
，求证：()00f x '>．
长清区第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设x ＜0时，则﹣x ＞0，
因为当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2所以f （﹣x ）=（﹣x ）3﹣2（﹣x ）2=﹣x 3﹣2x 2
，
又因为f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），
所以当x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=x 3+2x 2
，故选A ．
2． 【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x ≥﹣1或x ≠3， 故选：D ．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
3． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵
||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴
4
π
α=，选A ．
4． 【答案】D
【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离. 5． 【答案】A
【解析】解：
=
=
=
，
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是掌握除法的运算法则，本题是一个基础题．
6．【答案】D
【解析】解：∵S n=n2+2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．
∴==，
∴++…+=++…+
=
=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．【答案】A
【解析】解：当x＞0时，x2＞0，则＞0
∴“x＞0”是“＞0”成立的充分条件；
但＞0，x2＞0，时x＞0不一定成立
∴“x＞0”不是“＞0”成立的必要条件；
故“x＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；
故选A
【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p 为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
8．【答案】A
【解析】解：由|x+1|≤2得﹣3≤x≤1，即p：﹣3≤x≤1，
若p是q的充分不必要条件，
则a≥1，
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
9． 【答案】B
【解析】如图，当直线m x =经过函数x y 2=的图象 与直线03=-+y x 的交点时，
函数x y 2=的图像仅有一个点P 在可行域内， 由230
y x
x y =⎧⎨
+-=⎩，得)2,1(P ，∴1≤m ．
10．【答案】C
【解析】解：∵f （x ）
=﹣log 2x ， ∴f （2）=2＞0，f （4）=
﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
11．【答案】A
【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为
22333
535
3
32
2
150C C C A A A ⋅⋅+⋅=种,故选A ． 12．【答案】15 【
解析
】
二、填空题
13．
1 【
解
析
】
425
41
41
5
4
32
14．【答案】2．
【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，∴定义域关于原点对称，
即﹣2a+3a﹣1=0，
∴a=1，
∵
函数为奇函数，
∴f（﹣x）
==
﹣，
即b•2x﹣1=﹣b+2x，
∴b=1．
即a+b=2，
故答案为：2．
15．【答案】27
【解析】由程序框图可知：43
符合，跳出循环．16．【答案】﹣2．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【答案】31λ-<<
【解析】由221111
1123(1)22
22n n n S n n
--=+⨯
+⨯++-⋅
+，2
111
12222n
S =⨯+⨯+…111(1)22n n n n -+-⋅+⋅，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-，所以12
42
n n n S -+=-，
于是由不等式12
|1
42
n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<． 18．【答案】 6
【解析】解：过A 作AO ⊥BD 于O ，AO 是棱锥的高，所以AO==
，
所以四棱锥A ﹣BB 1D 1D 的体积为V==6．
故答案为：6．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设以点M （，）为中点的弦的端点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
∴x 1+x 2=1，y 1+y 2=1，
把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）代入椭圆E ：
+
=1，
得，∴k AB =
=﹣=﹣，
∴直线AB 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣），即2x+8y ﹣5=0．
（2）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 1，
则cos ∠F 1PF 2=
=
﹣1=
﹣1=
﹣1，
又r1r2≤（）2=a2（当且仅当r1=r2时取等号）
∴当r1=r2=a，即P（0，）时，cos∠F1PF2最小，
又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．
（3）∵=12，=3，∴=9．
则由题意，设所求的椭圆方程为+=1（a2＞9），
将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a2﹣9）x2+18a2x+90a2﹣a4=0，
依题意△=（18a2）2﹣4（2a2﹣9）（90a2﹣a4）≥0，
化简得（a2﹣45）（a2﹣9）≥0，
∵a2﹣9＞0，∴a2≥45，
故所求的椭圆方程为=1．
【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设{a n}的首项为a1，公差为d，
∵a5+a7=26
∴a6=13，，
∴a n=a3+（n﹣3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知，
∴．
x=.
21．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为1
【解析】
（2，进而得
1a =时为定值.
试题解析：（1）设直线AB 的方程为2my x =-，由22,
4,
my x y x =-⎧⎨=⎩
得2480y my --=，∴128y y =-， 因此有128y y =-为定值．111]
（2）设存在直线：x a =满足条件，则AC 的中点11
2(
,)22
x y E +，AC =，
因此以AC 为直径圆的半径12r AC ==
=E 点到直线x a =的距离12||2
x d a +=-，
所以所截弦长为==
=
当10a -=，即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =．
考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题. 22．【答案】
【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），
∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，
由正弦定理得，则，
∴
，得cosA=
，
由余弦定理得，cosA==
，
∴
=，
化简得，n=4，
∴a=4、b=5、c=6，cosA=，
又0＜A ＜π，∴sinA==，
∴△ABC 的面积S=
=
=
．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）函数f （x ）=1+=
，
（2）函数的图象如图：
．
（3）函数值域为：[1，3）．
24．【答案】（1）()2
6ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-
，所以(1)251(1)106
f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2
()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，
且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 2121212
21221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢
⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++，
所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.。