第六章 实数单元 易错题难题检测试卷

第六章 实数单元 易错题难题检测试卷
一、选择题
1．已知1x ，2x ，…，2019x 均为正数，且满足
()()122018232019M x x x x x x =++++++，
()()122019232018N x x x x x x =++
+++
+，则M ，N 的大小关系是( )
A ．M N <
B ．M N >
C ．M
N
D ．M N ≥
2．在求234567891666666666+++++++++的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：234567891666666666S =+++++++++……① 然后在①式的两边都乘以6，得：234567891066666666666S =+++++++++……②
②-①得10
661S S -=-，即10
561S =-，所以1061
5
S -=.
得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出
23420181...a a a a a ++++++的值?你的答案是
A ．201811a a --
B ．201911a a --
C ．20181a a
-
D ．20191a -
3．设记号*表示求,a b 算术平均数的运算，即*2
a b
a b +=，那么下列等式中对于任意实数,,a b c 都成立的是（ ）
①()()()**a b c a b a c +=++；②()()**a b c a b c +=+；③()()()**a b c a b a c +=++；④()()**22
a
a b c b c +=+ A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②④
4．下列计算正确的是（ ）
A 2=±
B ．13
= C ．2(5= D 2=±
5 ） A ．
12 B ．
14
C ．
18
D ．12
±
6 ）
A ．
B
C ．52
±
D ．5
7．有下列四种说法：
①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③平方根等于它本身的数为0和1；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数； 其中正确的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣2
π
不仅是有理数，而且是分数；④
23
7
是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ） A ．7个
B ．6个
C ．5个
D ．4个
9．设42-的整数部分为a ，小整数部分为b ，则1
a b
-的值为（ ） A ．2-
B ．2
C ．212+
D ．212
-
10．16的平方根是（ ） A ．4
B ．4-
C ．4±
D ．2±
二、填空题
11．如图，按照程序图计算，当输入正整数x 时，输出的结果是161，则输入的x 的值可能是__________．
12．观察下列各式： (1)123415⨯⨯⨯+=； (2)2345111⨯⨯⨯+=； (3)3456119⨯⨯⨯+=；
根据上述规律，若121314151a ⨯⨯⨯+=，则a =_____．
13．按如图所示的程序计算：若开始输入的值为64，输出的值是_______．
14．将2,3,6按下列方式排列，若规定(,)m n 表示第m 排从左向右第n 个数，则
（20，9）表示的数的相反数是___
15．若|x |＝3，y 2＝4，且x ＞y ，则x ﹣y ＝_____．
16．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下
去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________． 17．27的立方根为 ．
18．已知：202044.9444≈⋯，20214.21267≈⋯，则20.2（精确到0．01）≈__________．
19．已知a 、b 为两个连续的整数，且a ＜19＜b ，则a +b ＝_____．
20．如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为7，我们发现第1次输出的结果为10，第2次输出的结果为5，……，第2019次输出的结果为_____．
三、解答题
21．如图，用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形． （1）则大正方形的边长是___________；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为2360cm ？
22．（阅读材料）
数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：“39”．邻座的乘客十分惊奇，忙间其中计算的奥妙．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的步骤试一试： 3100010=31000000100=，1000593191000000<<， ∴31059319100<<．
∴能确定59319的立方根是个两位数． 第二步：∵59319的个位数是9，39729= ∴能确定59319的立方根的个位数是9．
第三步：如果划去59319后面的三位319得到数59，
<
<34<<，可得3040<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39． （解答问题）
根据上面材料，解答下面的问题 （1）求110592的立方根，写出步骤．
（2=__________．
23．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次
方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④
，读作“-3的圈4次方”，一般地，把
n a
a a a a ÷÷÷⋯÷个 （a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”．
（初步探究）
（1）直接写出计算结果：2③=___，（
12
）⑤
=___； （2）关于除方，下列说法错误的是___ A ．任何非零数的圈2次方都等于1； B ．对于任何正整数n ，1ⓝ=1； C ．3④=4③；
D ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． （深入思考）
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
（-3）④=___； 5⑥
=___；（-
12
）⑩
=___． （2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于___； （3）算一算：212÷(−
13)④×(−2)⑤−(−1
3
)⑥÷33 24．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 表示的点重合； 操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与数 表示的点重合；
②若数轴上A 、B 两点之间距离为8（A 在B 的左侧），且A 、B 两点经折叠后重合，则A 、B 两点表示的数分别是__________________； 操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）. 若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_________________________.
25．对非负实数x “四舍五入”到各位的值记为x <>.即:当n 为非负整数时，如果
12
n x -
≤<1
n 2+，则x n <>=；反之，当n 为非负整数时，如果x n <>=，则
11
22
n x n -<+≤． 例如： 00.480<>=<>=，0.64 1.491, 3.5 4.124<>=<>=<>=<>=． （1）计算： 1.87<>= ；
= ；
（2）①求满足12x <->=的实数x 的取值范围， ②求满足4
3
x x <>=
的所有非负实数x 的值； （3）若关于x 的方程
211
22
a x x -<>+-=-有正整数解，求非负实数a 的取值范围． 26．阅读下列材料：小明为了计算22019202012222+++++的值，采用以下方法：
设22019202012222s =+++++ ① 则22020202122222s =++
++ ②
②-①得，2021221s s s -==- 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）291222++++=________；
（2）220333++
+=_________；
（3）求231n a a a a ++++
的和（1a >，n 是正整数，请写出计算过程）.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B 解析：B 【分析】 设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，然后求出M -N 的值，再与0进行比较
即可. 【详解】
解：根据题意，设122018p x x x =+++，232018q x x x =++，
∴1p q x -=， ∴()()12201823201920192019()M x x x x x x p q x pq p x =++
++++=•+=+•； ()()12201923201820192019()N x x x x x x p x q pq q x =++
+++
+=+•=+•；
∴20192019()M N pq p x pq q x -=+•-+•
=2019()x p q •-
=201910x x •>； ∴M N >； 故选：B. 【点睛】
本题考查了比较实数的大小，以及数字规律性问题，解题的关键是熟练掌握作差法比较大小.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
首先根据题意，设M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014，求出aM 的值是多少，然后求出aM-M 的值，即可求出M 的值，据此求出1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2019的值是多少即可． 【详解】
∵M=1+a+a 2+a 3+a 4+…+a 2018①， ∴aM=a+a 2+a 3+a 4+…+a 2014+a 2019②， ②-①，可得aM-M=a 2019-1， 即（a-1）M=a 2019-1，
∴M=
20191
1
a a --. 故选：B. 【点睛】
考查了整式的混合运算的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
3．B
解析：B 【分析】
根据材料新定义运算的描述，把等式的两边进行变形比较即可． 【详解】
①中()*2b c a b c a ++=+，()*()22
a b a c b c
a b a c a ++++++==+，所以①成立；
②中()2a b c a b c ++*+=
，()*2
a b c a b c +++=，所以②成立； ③中，()()32*2a b c a b a c ++++=，()2*2
a b c
a b c +++=，所以③不成立； ④中()2a b a b c c +*+=+，22(*2)22222
a a
b
c a b c a b b c c +++++=+==+，所以④成立． 故选：B ． 【点睛】
考核知识点：代数式．理解材料中算术平均数的定义是关键．
4．C
解析：C 【分析】
A 、根据算术平方根的定义即可判定；
B 、根据平方根的定义即可判定；
C 、根据平方根的性质计算即可判定；
D 、根据立方根的定义即可判定． 【详解】
A 2=，故选项错误；
B 、1
3
=±，故选项错误；
C 、2(＝5，故选项正确；
D 2，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】
此题考查平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则.
5．A
解析：A 【分析】
【详解】
1
，
4
1
=．
2
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了立方根的性质、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键
.
6．B
解析：B
【分析】
直接根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】
，
∴5
故选B．
【点睛】
此题主要考查了算术平方根，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
7．C
解析：C
【分析】
根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，平方根的定义可得答案．
【详解】
①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的；
=；
2
③平方根等于它本身的数只有0，故本小题是错误的；
④没有最大的正整数，但有最小的正整数，是正确的．
综上，正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】
解：①没有最小的整数，所以原说法错误； ②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误；
③﹣
2π
是无理数，所以原说法错误； ④237
是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确； ⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误；
⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误； 故其中错误的说法的个数为6个． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
9．D
解析：D 【详解】
解：∵1＜2＜4，∴1＜2， ∴﹣2＜
＜﹣1，∴2＜43， ∴a=2，b=
422=-2
∴1221
a b -
===． 故选D ． 【点睛】
本题考查估算无理数的大小．
10．D
解析：D 【分析】
，再求出4的算术平方根即可 【详解】
，4的平方根是±2，
2± 故选D. 【点睛】
本题主要考查了算术平方根与平方根的求法，求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
二、填空题
11．、、、．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
解析：53、17、5、1．
【解析】
解：∵y=3x+2，如果直接输出结果，则3x+2=161，解得：x=53；
如果两次才输出结果：则x=(53-2)÷3=17；
如果三次才输出结果：则x=(17-2)÷3=5；
如果四次才输出结果：则x=(5-2)÷3=1；
则满足条件的整数值是：53、17、5、1．
故答案为：53、17、5、1．
点睛：此题的关键是要逆向思维．它和一般的程序题正好是相反的．
12．181
【分析】
观察各式得出其中的规律，再代入求解即可．
【详解】
由题意得
将代入原式中
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．
解析：181
【分析】
n=求解即可．
观察各式得出其中的规律，再代入12
【详解】
由题意得
()31
n n
=⨯++
n=代入原式中
将12
a==⨯+=
12151181
故答案为：181．
【点睛】
本题考查了实数运算类的规律题，掌握各式中的规律是解题的关键．
13．【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
解：＝8，＝2，2的算术平方根是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握
【分析】
根据运算顺序，先求算术平方根，再求立方根，最后求算术平方根，可得答案．
【详解】
82，2，
．
【点睛】
本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键．
14．【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：
1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
（20，9）表示第20排从左向右第9个数是从头开始的第1+2+3+4+…+19+9=199个数，
÷=……，即1中第三个数
∵1994493
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目找准变化是关键．
15．1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x ＝3，y ＝2或x ＝3，y ＝﹣2，
则x ﹣y ＝1或5．
故答案为1
解析：1或5．
【分析】
根据题意，利用绝对值的代数意义及平方根定义求出x 与y 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题意得：x ＝3，y ＝2或x ＝3，y ＝﹣2，
则x ﹣y ＝1或5．
故答案为1或5．
【点睛】
此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．；
【解析】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有，
又因为，，，，，所以第n 个数的绝对值是，
所以第个数是，第n 个数是，故答案为-82，.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运
解析：82-；2(1)(1)n n -⋅+
【解析】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(1)n -，
又因为2211=+，2521=+，21031=+，21741=+，，所以第n 个数的绝对值是21n +，
所以第9个数是92(1)(91)82-⋅+=-，第n 个数是2
(1)(1)n n -⋅+，故答案为-
82，2(1)(1)n n -⋅+.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和
序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律．
17．3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算解析：3
【解析】
找到立方等于27的数即可．
解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为3．
考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算18．50
【分析】
根据算术平方根小数点移动的规律解答.
【详解】
∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，
∴应是的小数点向左移动一位得到的，
∴，
故答案为：4.50.
【点睛】
此题考查算术平
解析：50
【分析】
根据算术平方根小数点移动的规律解答.
【详解】
∵20.2是2020的小数点向左移动了两位，
的小数点向左移动一位得到的，
4.5
，
故答案为：4.50.
【点睛】
此题考查算术平方根小数点的移动规律，熟记规律是解题的关键.
19．9
【分析】
首先根据的值确定a、b的值，然后可得a+b的值．
【详解】
∵＜，
∴4＜＜5，
∵a＜＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的
解析：9
【分析】
a、b的值，然后可得a+b的值．
【详解】
<
∴45，
∵a b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝9，
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，关键是正确确定a、b的值．
20．1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为
解析：1
【分析】
分别求出第1次到第7次的输出结果，发现从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，则可确定第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同．
【详解】
解：x=7时，第1次输出的结果为10，
x=10时，第2次输出的结果为1
105 2
⨯=，
x =5时，第3次输出的结果为5+3=8，
x =8时，第4次输出的结果为
1842
⨯=， x =4时，第5次输出的结果为1422
⨯=， x =2时，第6次输出的结果为1212⨯=， x =1时，第7次输出的结果为1+3=4，……，
由此发现，从第4次输出的结果开始，每三次结果开始循环一次，
∵(2019﹣3)÷3=672，
∴第2019次输出的结果与第6次输出的结果相同，
∴第2019次输出的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了程序框图和与实数运算相关的规律题；根据题意，求出一部分输出结果，从而发现结果的循环规律是解题的关键．
三、解答题
21．（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析
【分析】
（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ⋅=，求出
x =520x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.
【详解】
（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形，
∴大正方形的面积为4002cm ，
20cm =
故答案为：20cm ；
（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，
54360x x ⋅=，
解得：x =
520x =>，
答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形.
【点睛】
此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.
22．（1）48；（2）28
（1）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
（2）根据题中所给的分析方法先求出这几个数的立方根都是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可．
【详解】
解：（1）第一步：10=100=，11059210100000000<<，
10100∴<，
∴能确定110592的立方根是个两位数．
第二步：110592的个位数是2，38512=，
∴能确定110592的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110，
，则45<<，可得4050<，
由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48；
（2）第一步：10=100=，1000219521000000<<，
10100∴<，
∴能确定21952的立方根是个两位数．
第二步：21952的个位数是2，38512=，
∴能确定21952的立方根的个位数是8．
第三步：如果划去21952后面的三位952得到数21，
23<，可得2030，
由此能确定21952的立方根的十位数是2，因此21952的立方根是28．
28=，
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
23．初步探究：（1）
12，8;（2）C ；深入思考：（1）213，415，82；（2）21n a
-；（3）-5.
【分析】
初步探究：
（1）根据除方运算的定义即可得出答案；
（2）根据除方运算的定义逐一判断即可得出答案；
深入思考：
（1）根据除方运算的定义即可得出答案；
（2）根据（1）即可总结出（2）中的规律；
（3）先按照除方的定义将每个数的圈n 次方算出来，再根据有理数的混合运算法则即可得
【详解】
解：初步探究：
（1）2③=2÷2÷2=
12 （12）⑤=11111822222
÷÷÷÷= （2）A ：任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1，故选项A 错误; B ：因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n ，1ⓝ都等于1，故选项B 错误； C ：3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14
，3④≠4③，故选项C 正确； D ：负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数，故选项D 错误；
故答案选择：C.
深入思考：
（1）（-3）④=(-3)÷(-3)÷(-3) ÷(-3)=2
13 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=
415 （-
12）⑩=8111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-÷-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）a ⓝ=a÷a÷a…÷a=21
n a -
（3）原式=()4252621111442711233---÷⨯-÷-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1144981278⎛⎫÷⨯--÷ ⎪⎝⎭
=23--
=-5
【点睛】
本题主要考查了除方运算，运用到的知识点是有理数的混合运算，掌握有理数混合运算的法则是解决本题的关键.
24．（1）2 (2)①2--5，3（3）
71937,,288
【分析】
（1）根据对称性找到折痕的点为原点O ，可以得出-2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为-1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为-1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：
CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=9
4
，得出AB、BC、CD的
值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．【详解】
操作一，
（1）∵表示的点1与-1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则-2表示的点与2表示的点重合，
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与-3表示的点重合，则折痕表示的点为-1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，
则3-（-1）=-1-a，
a=-2-3；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕-1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是-5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=9
4
，
∴AB=9
4
，BC=
9
4
，CD=
9
2
，
x=-1+9
4
+
9
8
=
19
8
，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a ，BC=2a ，CD=a ，
a+a+2a=9， a=94， ∴AB=
94，BC=92，CD=94， x=-1+94+94=72
， 如图3，当AB ：BC ：CD=2：1：1时，
设AB=2a ，BC=a ，CD=a ，
a+a+2a=9，
a=94
， ∴AB=
92
，BC=CD=94， x=-1+92+98=378， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是
198或72或378． 25．（1）2，3 （2）①
5722x ≤<②330,,42
（3）00.5a ≤< 【分析】
（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；
（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x 的取值范围；②根据新定义的运算规则和43x 为整数，即可求出所有非负实数x 的值； （3）先解方程求得22x a =
-<>，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a 的取值范围．
【详解】
（1） 1.87<>=2；=3；
（2）①∵12x <->=
∴1121222
x --<+≤ 解得5722
x ≤<； ②∵43
x x <>= ∴41413232
x x x -<+≤ 解得3322
x -<≤ ∵43
x 为整数 ∴333,0,,442
x =- 故所有非负实数x 的值有330,,
42； （3）21122
a x x -<>+-=- 1241a x x -<>+-=-
22x a =-<>
∵方程的解为正整数
∴21a -<>=或2
①当21a -<>=时，2x =是方程的增根，舍去
②当22a -<>=时，00.5a ≤<．
【点睛】
本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．
26．（1）10
21-；（2）21332
-；（3）111n a a +-- 【分析】 （1）设式子等于s ，将方程两边都乘以2后进行计算即可；
（2）设式子等于s ，将方程两边都乘以3，再将两个方程相减化简后得到答案； （3）设式子等于s ，将方程两边都乘以a 后进行计算即可.
【详解】
（1）设s=291222++++①， ∴2s=29102222++
++②， ②-①得：s=1021-，
故答案为：1021-；
（2）设s=220333+++①，
∴3s=22021333+++②，
②-①得：2s=2133-， ∴21332
s -=, 故答案为： 21332
-； （3）设s=231n a a a a ++++
①， ∴as=231n n a a a a a +++++②，
②-①得：（a-1）s=11n a +-，
∴s=111
n a a +--. 【点睛】
此题考查代数式的规律计算，能正确理解已知的代数式的运算规律是难点，依据规律对于每个式子变形计算是关键.。