2019数学新设计北师大选修2-1精练：第三章 圆锥曲线与方程 测评含答案

第三章测评
(时间;120分钟满分;150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程2+(2+y2-1)2=0所确定的曲线是()
A.y轴或圆
B.两点(0,1)与(0,-1)
C.y轴或直线y=±1
D.以上都不正确
答案;B
2.如图,已知圆O的方程为2+y2=100,点A(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹是()
A.圆
B.抛物线
C.椭圆
D.两条直线
解析;∵P为AM垂直平分线上的点,
∴|PM|=|PA|.
又∵|OP|+|PM|=10,
∴|PA|+|PO|=10>6=|AO|.
故P点的轨迹是以A,O为焦点,长轴长为10的椭圆.
答案;C
3.双曲线=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4的焦点重合,则mn的值为()
A. B. C. D.
解析;抛物线y2=4的焦点为(1,0),
∴双曲线=1的焦点在轴上.
m>0,n>0,a=,b=,
∴c==1,∴e==2,
∴∴mn=.
答案;A
4.若抛物线y2=4上一点P到焦点F的距离为10,则P点坐标为()
A.(9,6)
B.(9,±6)
C.(6,9)
D.(6,±9)
解析;抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为=-1.
∵P到F的距离为10,设P为(,y),
∴+1=10,∴=9.又P在抛物线上,
∴y2=36,y=±6,∴P点坐标为(9,±6).
答案;B
5.以双曲线=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析;椭圆的顶点和焦点分别是=-1的焦点和顶点,∴椭圆的长半轴长为4,半焦距为2,且焦
点在y轴上,故所求方程为=1.
答案;D
6.若点P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(a>b>0)上一点,且=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率e=()
A.B.C.D.
解析;由=0得.
则tan∠PF1F2=.
设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m.
所以e=.
答案;A
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=(>0),离心率e=,则双曲线方程为()
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1
解析;由题意,知=.又e==,所以,即c= b.易知a2=5b2-b2=4b2.
答案;C
8.抛物线y=2上到直线2-y-4=0的距离最近的点的坐标是()
A. B.(1,1)
C. D.(2,4)
解析;设P(,y)为抛物线y=2上任意一点,则P到直线2-y-4=0的距离
d=,∴当=1时d最小,此时y=1,故选B.
答案;B
9.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为()
A.2-=1(>1)
B.2-=1(<-1)
C.2+=1(>0)
D.2-=1(>1)
解析;设圆与直线PM,PN分别相切于E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.
∴|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,∴点P的轨迹是以
M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=3,∴b2=8.故双曲线的方程是2-=1(>1).
答案;A
10.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心
率为e1,双曲线的离心率为e2,若=0,则=()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析;设椭圆的方程为=1(a1>b1>0),双曲线的方程为=1(a2>0,b2>0),它们的半焦距为c,不妨设P为它们在第一象限的交点,因为=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.①
由椭圆和双曲线的定义知,
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入①式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即=2c2,
所以=2.
答案;B
11.设F为抛物线C;y2=3的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()
A. B. C. D.
解析;由已知得F,故直线AB的方程为y=tan 30°,即y=-.
设A (1,y 1),B (2,y 2),联立
将①代入②并整理得
2
-+=0,
∴1+2=
,
∴线段|AB|=1+2+p=
=12.
又原点(0,0)到直线AB 的距离为d=,
∴S △OAB =
|AB|d=×12×.
答案;D 12.
导学号90074088在平面直角坐标系中,两点P 1(1,y 1),P 2(2,y 2)间的“L -距离”定义为
||P 1P 2|=|1-2|+|y 1-y 2|,则平面内与轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2|)
的点的轨迹可以是( )
解析;不妨设F 1(-a ,0),F 2(a ,0),其中a>0,点P (,y )是其轨迹上的点,P 到F 1,F 2的“L -距离”之和等于定值
b (大于||F 1F 2|),
所以|+a|+|y|+|-a|+|y|=b , 即|-a|+|+a|+2|y|=b.
当<-a ,y ≥0时,上式可化为y-=;
当-a≤≤a,y≥0时,上式可化为y=-a;
当>a,y≥0时,上式可化为+y=;
当<-a,y<0时,上式可化为+y=-;
当-a≤≤a,y<0时,上式可化为y=a-;
当>a,y<0时,上式可化为-y=;
可画出其图像.(也可利用前三种情况,再关于轴对称)故选A.
答案;A
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案;填在题中的横线上)
13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为的直线,则的取值范围是.
解析;由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4.由题意知过点P的直线为y=+(≠0),要使机器人接
触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+=0,即Δ=1-2<0,解得>1或<-1.
答案;(-∞,-1)∪(1,+∞)
14.设中心在原点的椭圆与双曲线22-2y2=1有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是.
解析;双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),离心率为.设椭圆方程为=1(a>b>0),则e=.因为c=1,所以a=.所以b==1.故所求椭圆的方程为+y2=1.
答案;+y2=1
15.在抛物线y2=16内,通过点M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是.
解析;设所求直线与y2=16相交于点A,B,且A(1,y1),B(2,y2),代入抛物线方程得=161,=162,两式相减
得(y1+y2)(y1-y2)=16(1-2),即,
又∵M(2,4)是A,B的中点,∴y1+y2=2×4=8,
∴AB==2.
∴所求直线方程为y=2.
答案;y=2
16.导学号90074089已知双曲线C1;=1(a>0,b>0)与双曲线C2;=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a= ,b= .
解析;与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
∵C
的右焦点为(,0),∴λ>0.
1
∴a2=4λ,b2=16λ,∴c2=20λ=5.
∴λ=,即a2=1,b2=4,∴a=1,b=2.
答案;1 2
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求.
解(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=,∴a=b,
∴设双曲线方程为2-y2=λ(λ≠0).
把(4,-)代入双曲线方程得42-(-)2=λ,
∴λ=6,∴所求双曲线方程为2-y2=6,
即=1.
(2)由(1)知双曲线方程为2-y2=6,
∴双曲线的焦点为F
(-2,0),F2(2,0).
1
∵点M在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3,
∴=(-2-3,-m)·(2-3,-m)
=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.
18.(满分12分)
如图,已知抛物线C1;2+by=b2经过椭圆C2;=1(a>b>0)的两个焦点.
(1)求椭圆C2的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C
的方程.
2
解(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),
所以c2+b×0=b2,即c2=b2.
由a2=b2+c2=2c2,得椭圆C2的离心率e=.
(2)由(1)可知a2=2b2,则椭圆C2的方程为
=1.
联立抛物线C1的方程2+by=b2得2y2-by-b2=0,
解得y=-或y=b(舍去),所以=±b,
即M,N.
所以△QMN的重心坐标为(1,0).
因为重心在抛物线C1上,所以12+b×0=b2,
得b=1.所以a2=2.
所以抛物线C1的方程为2+y=1,
椭圆C 2的方程为
+y 2=1.
19.(满分12分)在平面直角坐标系Oy 中,已知双曲线C ;22-y 2=1. (1)设F 是C 的左焦点,M 是C 右支上一点,若|MF|=2,求点M 的坐标;
(2)设斜率为(||<
)的直线l 交C 于P ,Q 两点,若l 与圆2+y 2=1相切,求证;OP ⊥OQ.
(1)解双曲线C ;-y 2=1,左焦点F ,设M (,y ),则|MF|2=+y 2=,
由点M 是双曲线右支上一点,知≥,
所以|MF|=+=2,
得=,则y=±=±.
所以M .
(2)证明设直线PQ 的方程是y=+b.
因为直线PQ 与已知圆相切,故=1,
即b 2=2+1.
(*)
由得(2-2)2-2b-b 2-1=0.
设P (1,y 1),Q (2,y 2),又||<
,
则
又y 1y 2=(1+b )(2+b ),所以
=12+y 1y 2=(1+2)12+b (1+2)+b 2=
+b 2=.
由(*)知,
=0,所以OP ⊥OQ.
20.(满分12分)已知椭圆C经过点A,两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
(1)解由题意,知c=1,可设椭圆方程为=1.
因为点A在椭圆上,所以=1,
解得b2=3,或b2=-(舍去).
所以椭圆方程为=1.
(2)证明设直线AE的方程为y=(-1)+,
代入=1,得
(3+42)2+4(3-2)+4-12=0.
设点E(E,y E),F(F,y F),因为点A也在椭圆上,
所以由根与系数的关系,得E·1=E=,
所以y E=E+-.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-代,可得
=,y F=-F++.
F
所以直线EF的斜率
EF =,
即直线EF 的斜率为定值,其值为.
21.(满分12分)
如图,已知直线l ;y=-2与抛物线C ;2=-2py (p>0)交于A ,B 两点,O 为坐标原点,=(-4,-12).
(1)求直线l 和抛物线C 的方程;
(2)抛物线上一动点P 从点A 到点B 运动时,求△ABP 面积的最大值. 解(1)由得2+2p-4p=0.
设A (1,y 1),B (2,y 2),则1+2=-2p ,
y 1+y 2=(1+2)-4=-2p 2-4. 因为=(1+2,y 1+y 2)=(-2p ,-2p 2-4)=(-4,-12), 所以解得
所以直线l 的方程为y=2-2,抛物线C 的方程为2=-2y.
(2)设点P (0,y 0),依题意,抛物线过点P 的切线与直线l 平行时,△ABP 的面积最大. 设切线方程是y=2+t , 由得2+4+2t=0,
∴Δ=42-4×2t=0,∴t=2.
此时,点P 到直线l 的距离为两平行线间的距离, d=. 由得2+4-4=0,
∴|AB|=
|1-2| =
==4,
∴△ABP 面积的最大值为
×4=8. 22.导学号90074090(满分12分)
如图,O 为坐标原点,双曲线C 1;=1(a 1>0,b 1>0)和椭圆C 2;=1(a 2>b 2>0)均过点P ,且以C 1的两个顶点和C 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C 1,C 2的方程;
(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A ,B 两点,与C 2只有一个公共点,且||=||?证明你的
结论.
解(1)设C 2的焦距为2c 2,由题意知,2c 2=2,2a 1=2.
从而a 1=1,c 2=1. 因为点P 在双曲线2-=1上, 所以=1.故=3.
由椭圆的定义知2a 2=
=2.
于是a 2==2. 故C 1,C 2的方程分别为2-=1,=1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l 垂直于轴,因为l 与C 2只有一个公共点,所以直线l 的方程为=或=-.
当=时,易知A (),B (,-),
所以||=2,||=2.
此时,||≠||.
当=-时,同理可知,||≠||.
②若直线l 不垂直于轴,设l 的方程为y=+m. 由得(3-2)2-2m-m 2-3=0.
当l 与C 1相交于A ,B 两点时,设A (1,y 1),B (2,y 2),则1,2是上述方程的两个实根,从而1+2=,12=.
于是y 1y 2=212+m (1+2)+m 2=. 由得(22+3)2+4m+2m 2-6=0.
因为直线l 与C 2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=162m 2-8(22+3)(m 2-3)=0. 化简,得22=m 2-3,因此=12+y 1y 2=≠0, 于是+2-2,
即||≠||,故||≠||. 综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.。