第二章 线性规划基本内容

x1 0, x2 0, x3符号无限制
，x3 x4 x5 ， 解： 令 z z ，x1 x1 其中 x4 , x5 0 ，
则标准化后有
2 x2 3 x4 3 x5 max z x1 x2 s.t. x1 x4 x5 2 x2 x1 x4 x5 x2 3 x4 3 x5 3 x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 0 x1
40 3x1 10x 2 300 (0,30) A x1 , x 2 0 4 x1 5 x 2 200
B(20,24)
3 x1 10 x 2 300
C(1000/29,360/29) 0 D E (40,0) (50,0) 100 x1
在 B 点获得最大值，z=4280
x2
凸集
定义 2.2.1： 设 S R n 是 n 维欧氏空间的点集， 若对任意 x S , y S 的 和 任 意 [0,1] 都 有 x (1 ) y S 就称 S 是一个凸集。
定义 2.2.2：设 S 为凸集 x S ，如果对任意 y, z S 和 0 1 ，都 有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。 定理 2.2.1 线性规划的可行域 D { x Ax b, x 0} 是凸集 定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
（1）若 x k 0 ，令 x k x k
（2）若 中
xk
为符号无限制变量，则 。
xk xk xk
，其
, xk 0 xk
例1
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
解：设 x1 , x 2 分别表示在计划期内产品 A、B 的产量
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
例 2（营养问题） 某公司饲养实验用的动物以供出售。已经知道这些动物的生长对饲料中的三种营养元 素特别敏感，我们分别称它们为营养元素 A、B、C。已求出这些动物每天至少需要 700 克 营养元素 A，30 克营养元素 B，而营养元素 C 的每天需要量刚好是 200 毫克，不够和过量 都是有害的。现有五种饲料可供选用，各种饲料每千克所含的营养元素及单价如表 2-2 所 示。为了避免过多使用某种饲料，规定混合饲料中各种饲料的最高含量分别为 50、 60、 50、 70、40 千克。要求确定满足动物需要而费用最低的饲料配方。 饲料 1 2 3 4 5 营养元素 A（克） 营养元素 B（克） 营养元素 C（毫克） 价格（元/千克） 3 2 1 6 18 1 0.5 0.2 2 0.5 0.5 1 0.2 2 0.8 2 7 4 9 5
n
j
b
x j 0, j 1,2,, n
一般称 C 为价值向量，b 为资 源向量，A 为技术系数矩阵。
转化成标准型的方法
1．最小化问题的转化（改变目标函数的符号） 。 2．不等式约束的处理 （1）对小于等于约束加上松弛变量化为等式。 （2）对大于等于约束减去剩余变量化为等式。 3．非正变量与符号无限制变量的处理。
第二章 线性规划与单纯形法
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 线性规划的基本概念 单纯形法 单纯形法的进一步探讨 使用计算机软件求解线性规划 应用举例 案例
2.1 线性规划的基本概念
2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 线性规划的数学模型 线性规划的图解法 线性规划的标准型 基可行解
（4）无可行解
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 x 2 60 x1 , x 2 0
0
D E (40,0) (50,0)
二维线性规划的两个几何特征
（1）若可行域非空，它是一个凸集。 （2）若线性规划存在最优解，它一定可在 可行域的某个顶点（极点）得到。
解： 设 x j j 1, ,5 为每天混合饲料内包含的第 j 种饲 料的千克数，则营养问题的模型为：
min z 2 x1 7 x 2 4 x3 9 x 4 5 x5 s.t. 3 x1 2 x 2 x3 6 x 4 18x5 700 x1 0.5 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.5 x5 30 0.5 x1 x 2 0.2 x3 2 x 4 0.8 x5 200 x1 50, x 2 60, x3 50, x 4 70, x5 40 x j 0, j 1, ,5
2.1.1 线性规划的数学模型
例 1（生产计划问题） 某工厂在计划期内要安排生产 A、B 两种产品（假定产品畅销） 。已知生 产单位产品的利润与所需的劳动力、 设备台时及原材料的消耗， 如表 2-1 所示。 问应如何安排生产使该厂获利最大？ 劳动力 设备 原材料 单位产品利润 （元） 产品 A 9 4 3 70 产品 B 4 5 10 120 资源限额 360 工时 200 台时 300 公斤
线性规划模型的一般形式
max或 minz c1 x1 c 2 x 2 c n x n s.t. a11 x1 a12 x 2 a1n x n , b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n , b2
2.1 2.2 2.3
4 3 2 1 3 x1 2 x2 6
-2
-1
0
1
2
3
x1
x2 90 9 x1 4 x 2 360 x1 x 2 60 4 x1 5 x 2 200 40 (0,30) A B(20,24) 3 x1 10 x 2 300 C(1000/29,360/29) 100 x1
x6 x7
9 2 5
补充练习 1
max z 2 x1 x 2 3 x3 x 4 s.t. x1 x 2 x3 x 4 7 2 x1 3 x 2 5 x3 -8 x1 2 x3 2 x 4 1 x 1 , x3 0, x 2 0, x 4 符号无限制
标准化后
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x1 3 x1 4 x2 5x2 10x 2 x3 x4 x5 360 200 300
x1 , , x5 0
例2
min z x1 2 x2 3 x3 s.t. x1 x1 3 x1 x2 2 x2 x2 x3 x3 3 x3 9 2 5
解：设第 j 时段开始上班的人数为x j , j 1, ,6 ，则
min z x1 x2 x3 x4 x5 x6 s.t. x1 x2 70 x2 x3 60 x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 x6 x1 60 x j 0且为整数，j 1,,6
T T
T A a ij mn （m×n 阶矩阵） ， P a1 j , a 2 j ห้องสมุดไป่ตู้ , a nj （矩阵 A 的第 j 列）
则 SLP 的矩阵描述：
SLP 的向量描述：
max z CX s.t. AX b X 0
max z CX s.t.
P x
j 1 j
C(1000/29,360/29) 0 D E (40,0) (50,0) 100 x1
在线段 BC 上任意一点都使 z 取得相同的最大值
x2
（3）无界解
max z x1 x 2 s.t. x1 x 2 2 3 x1 2 x 2 6 x1 , x 2 0
x1 x 2 2
（2）无穷多最优解
90
9 x1 4 x 2 360
max z 70x1 82.5 x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
40 (0,30) A B(20,24) 3 x1 10 x 2 300 4 x1 5 x 2 200
问题
1.可行域顶点的个数是否有限？ 2.最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3.如何找到顶点？ 4.如何从一个顶点转移到另一个顶点 ?
2.1.3线性规划的标准型（SLP）
max z c1 x1 c 2 x 2 c n x n s.t. a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm x1 , x 2 ,, x n 0
3 x3 x 4 x4 0 x5 0 x6 max z 2 x1 x 2 x3 x 4 x4 x5 7 s.t. x1 x 2 5 x3 8 2 x1 3x 2 2 x4 x6 1 x1 2 x3 2 x 4 , x3 , x 4 , x4 , x5 , x6 0 x1 , x 2
其中右端项
bi 0
。
SLP的简写
max z c j x j
j 1 n
2.4 2.5 2.6
s.t.
a
j 1
n
ij
x j bi , i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
引入 X x1 , x 2 , , x n ，C c1 , c 2 , , c n ， b b1 , b2 , , bn ，
2.1.2 线性规划的图解法
线性规划问题解的情况
（1）唯一最优解 （2）无穷多最优解 （3）无界解 （4）无可行解
x2
（1）唯一最优解（例 1）
90
9 x1 4 x 2 360
max z 70x1 120x 2 s.t. 9 x1 4 x 2 360 4 x1 5 x2 200
a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n , bm x j 0, j 1,, n
其中， z 称为目标函数， （2.2） 、 （2.3） 称为约束条件， （2.3） 也称为变量的非负约束条件，在线性规划软件一般是默 认的。
线性规划问题隐含的假设
（1）比例性假设 （2）可加性假设 （3）可分性假设 （4）确定性假设
补充练习 1
max z 2 x1 x 2 3x3 x 4 s.t. x1 x 2 x3 x 4 7 2 x1 3x 2 5 x3 -8 x1 2 x3 2 x 4 1 x 1 , x3 0, x 2 0, x 4 符号无限制
x2 , x4 x4 x4 化为标准形式为： 解：令 x 2
例 3（人员安排问题） 某医院根据日常工作统计，每昼夜 24 小时中至少需要下列数 量的护士。 序号 时段 护士的最少人数 1 6:00-10:00 60 2 10:00-14:00 70 3 14:00-18:00 60 4 18:00-22:00 50 5 22:00-2:00 20 6 2:00-6:00 30 护士们分别在各时段开始时上班，并连续工作 8 小时，问应如 何安排各个时段开始上班工作的人数， 才能使护士的总人数最少？
603020506070且为整数线性规划模型的一般形式21minmax其中z称为目标函数2223称为约束条件23也称为变量的非负约束条件在线性规划软件一般是默线性规划问题隐含的假设1比例性假设2可加性假设3可分性假设4确定性假设212线性规划的图解法线性规划问题解的情况1唯一最优解2无穷多最优解3无界解4无可行解1唯一最优解例13001012070max300104003090100400500b2024c10002936029点获得最大值z42802无穷多最优解300108270max300104003090100400500b2024c10002936029在线段bc上任意一点都使z取得相同的最大值3无界解12603001012070max300104003090100400500b2024c10002936029二维线性规划的两个几何特征1若可行域非空它是一个凸集