复习三角形内角和、外角及多边形讲义

第一讲三角形内角和与外角和
规律方法指导
1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题
设不用加以说明的条件；
在三个角中此中两个角的度数便能求第三个角的大小.
2．在一个三角形中最多只好有一个钝角或许一个直角，最罕有两个锐角.
3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时
常常使用的理论依照．
外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明
两角相等；③证明角的不等关系.
4．利用作协助线求解问题，会使问题变得简易.
经典例题透析
种类一：三角形内角和定理的应用
1．一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，那么其最大内角的度数为〔〕
A．60°B．75°C． 90°D．120°
贯通融会：
【变式 1】在△ ABC中，∠ A=55°，∠B 比∠ C 大 25°，那么∠ B 的度数为〔〕A．50°B．75°C． 100°D． 125°
【变式 2】三角形中起码有一个角不小于________度。

种类二：利用三角形外角性质证明角不等
2．以下列图， CE是△ ABC外角∠ ACD的均分线， CE交 BA 延伸线于
点 E。

求证：∠ BAC ＞∠ B。

贯通融会：
【变式】以下列图，用“＜〞把∠1、∠ 2、∠ A 联系起来 ________。

种类三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用
3．如图，求∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E 的度数 .
贯通融会：
【变式】以下列图，五角星ABCDE 中，试说明∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠E=180°。

种类四：与角均分线有关的综合问题
4．如图 9，△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的均分线订交于点Ｄ．（1〕假定∠ ABC＝ 70 °，∠ ACB＝ 50°，那么∠ BDC＝
________；
〔2〕假定∠ ABC＋∠ ACB＝ 120°，那么∠ BDC＝________；
〔3〕假定∠ A＝ 60°，那么∠ BDC＝ ________；
〔4〕假定∠ A＝ 100°，那么∠ BDC＝________；
〔5〕假定∠ A＝ n°，那么∠ BDC＝________．
贯通融会：
【变式 1】如图 10， BE 是∠ ABD 的均分线， CF
是
∠ ACD的均分线， BE与 CF交于 G，假定∠ BDC= 140°，∠
BGC=110°，求∠ A 的大小 .
【变式 2】如图 11, △ABC 的两个外角的均分线订交于点D，假如∠ A＝50°，求∠ D.
【变式 3】如图 12，在△ ABC中，AE 是角均分线，且∠ B=52°，∠ C=78°，那么∠ AEB的度数是 _____.
【变式 4】〔 2021 北京四中期末〕以下列图，△ABC 的外角∠ CBD、∠
BCE的均分线订交于点F，假定∠ A=68°，求∠ F 的度数。

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种类五：与高线有关的综合问题
5．如图 13，△ ABC中，∠ A = 40°，∠ B = 72°， CE均分∠ACB， CD⊥AB 于 D， DF⊥CE，求∠ FCD的度数 .
贯通融会：
【变式 1】如图 14，△ ABC中，∠ B＝34°，∠ ACB＝104°， AD 是 BC
边上的高， AE是∠ BAC的均分线，求∠ DAE的度数．
【变式 2】如图 15, △ABC中，三条高 AD、BE、CF订交于点 O．假定∠ BAC ＝ 60°，求∠ BOC的度数．
【变式 3】如图 16，△ ABC，AD 是高线， AE、BF是在角
均分线，它们订交于点O，∠ BAC=50°，∠ C=70°，求∠ DAC和∠ BOA的度数 .
种类六：与平行线有关的综合问题
6．：如图 17, AB∥ CD，直线 EF分别交 AB、CD 于点 E、F，∠BEF的均分线与∠ DFE均分线订交于点 P，求证：∠ P=90° .
贯通融会：
【变式 1】如图 18，AB∥ CD，∠ A＝96°，∠ B＝∠ BCA，那么∠ BCD＝________.
【变式 2】如图 19，AB∥CD，∠B = 72°，∠D = 37°，求∠ F 的度数 .
【变式 3】如图 20，△ABC中，AD 是角均分线，∠ B= 45°，∠ C= 63°，DE ∥AC，求∠ ADE.
种类七：用三角形角的关系解决实质问题
7．一种工件如图 21 所示，它要求∠ BDC等于 140°，小明经过测量得∠ A＝90°，∠ B＝ 22°，∠ C＝ 26°后就下结论说此工件不合格，这是为何呢？
贯通融会：
【变式】某工程队准备开挖一条地道，为了
缩散工期，一定在山的双侧同时开挖，为了保证双侧
开挖的地道在同一条直线上，丈量人员在如以下列图
的同一高度定出了两个开挖点Ｐ和Ｑ，而后在左侧定
出开挖的方向线ＡＰ，为了正确立出右侧开挖的方向
线Ｂ
Ｑ，丈量人员取一个在点Ａ、Ｐ、Ｑ能够同时看到的点Ｏ，测得∠Ａ＝ 25°，∠AOC＝100°，那么∠ QBO 应等于多少度才能保证ＢＱ与ＡＰ在同一条直线上？
第 2 讲认识多边形
经典·考题·赏析
【例１】以下列图是一个六边形.
(1)从极点 A 出发画这个多边形的全部对角线，这样的对角线有几条它们将六边形分红
几个三角形
(2)画出此六边形的全部对角线，数一数共有几条
A
【解法指导】本题主要考察多边形对角线的定义，关于n边形，从n边形的一个极点出
发，可引 (n－ 3)条对角线，它们将这n 边形分红 (n－ 2)个三角形， n 边形一共有n(n3)
条
2
对角线，
【变式题组】
01．以下列图形中，凸多边形有()
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
02．过 m 边形的一个极点有7 条对角线， n 边形没有对角线，k 边形对角线条数等于边数，那么 m＝______， n＝ ______， k＝ ________.
03．多边形的边数恰巧是从这个多边形的一个极点出发的对角线条数的 2 倍，那么此多边形的边数是.
【例２】 (1)八边形的内角和是多少度
(2)几边形的内角和是八边形内角和的 2 倍
【变式题组】
01． n 边形的内角和为2160 0，求 n 边形的边数 .
02．假如一个正多边的一个内角是1080，那么这个多边形是〔〕
A．正方形B．正五边形C．正六边形D．正七边形
03．一个多边形的内角和为10800，那么这个多边形的边数是〔〕
A．8B．7C．6D．5
04．如图，∠ 1、∠2、∠ 3、∠ 4 是五边形ABCDE的外角，且∠ 1＝∠ 2＝∠ 3＝∠ 4＝ 700，那么∠ AED 的度数为〔〕
A．110 0B． 1080C． 1050D． 1000
5.当多边形的边数增添 1 时，它的内角和与外角和〔〕
A．都不变B．内角和增添 1800，外角和不变
C．内角和增添 1800，外角和减少 1800D．都增添 1800
【例３】一只蚂蚁从点 A 出发，每爬行 5cm 便左转 600，那么这只蚂蚁需要爬行多少行程才能回到点A
解：蚂蚁爬行的行程组成一个正多边形，其行程就是这个正多边形的周长，依据可
600，那么这个多边形的边数为3600
得这个正多边形的每个外角均为600＝ 6.因此这只蚂蚁需要爬
行 5×6＝ 30(cm)才能回到点 A．
【解法指导】多边形的外角和为3600.
(1)多边形的外角和恒等于3600，它与边数的多少没关.
(2)多边形的外角和的推导方法：因为多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所
以 n 边形内角和加外角和等于1800·n，外角和等于n·1800－ (n－2) ·1800＝ 3600.
(3)多边的外角和为何等于3600，还能够这样理解：从多边形的一个极点 A 出发，沿
多边形的各边走过各极点，再回到点A，而后转向出发点时的方向，内行程中所转的各个角
的和就是多边形的外角和，因为走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，因此多边形的
外角和等于 3600.
(4) 多边形的外角和为3600的作用：①各相等外角度数求多边形边数；② 多
边形边数，求各相等外角的度数.
【变式题组】
01．〔无锡〕八边形的内角和为_____.度 .
02．〔永州〕以下列图，△ABC中，∠ A＝400，剪去∠A后成四边形，那么∠ 1+∠ 2＝_____
03．〔阳〕 n(n 整数，且n≥ 3)形的内角和比〔n+1〕形的内角和少____度 . 04．〔株洲〕如所示，小明在操上从点 A 出，沿直前10 米后向左400，再沿直前 10 米后，又向左走了
_____米 .
400，⋯⋯，照下去，他第一次回到出地 A 点，一共
【例４】两个多形的内角和
形的数 .
1800 0，且两多形的数之比2:5，求两个多
【式】
01．一个多形除掉一个角后，其他各内角的和22100，个多形是 ___________
02．假定一个多形的外角和是其内角和的2
，此多形的数 _____
5 2
，个多形是〔
03．每一个内角都相等的多形，它的一个外角等于一个内角的〕
3
A．三角形B．四形C．五形D．六形
04．内角和与其外角和相等的多形是___________
选择题
1.假如三角形的三个内角的度数比是1：3：5，那么它是〔〕.
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.钝角或直角三角形
2.如图， AB∥ CD，∠ 1=110°，∠ ECD=70°，∠ E 的大小是〔〕.
°°°°
〔第 2题〕〔第3
题〕
3.李明同学把一块三角形的玻璃打坏成了以下列图的三块，此刻要到玻璃商铺去
配一块完整同样的玻
璃，那么最省事的方法是〔〕.
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
4.三角形的一个内角是另一个内角的，是第三个内角的，那么这个三
角形各内角的度数分别为〔〕.
°，90°，75°°，40°，105°°，32°，38°°，50°，90°
5.三角形两个内角的差等于第三个内角，那么它是〔〕.
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.等边三
角形
6.设∠ 1，∠ 2，∠3 是某三角形的三个内角，那么∠1+∠2，∠ 2+∠3 ，∠ 3+
∠1中〔〕.
A.有两个锐角、一个钝角
B.有两个钝角、一个锐角
C.起码有两个钝角
D.三个都可能是锐角
7.等腰三角形的一个外角是120°，那么它是〔〕.
A.等腰直角三角形
B.一般的等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰钝角三角形
8.以下列图，假定∠ A=32°，∠ B=45°，∠ C=38°，那么∠ DFE等于〔〕 .
°°°°
9.以下列图 ,在△ ABC中， E、F 分别在 AB、AC 上，那么以下各式不可以建立的是〔〕.
A.∠BDC=∠ 2+∠6+∠A
B.∠2=∠ 5－∠ A
C.∠5=∠1+∠ 4
D.∠1=
∠ ABC+∠ 4
〔第 8题〕〔第9题〕〔第
10题〕
10.以下列图，在△ ABC 中，∠ B=∠ C，∠ BAD=40°，假定∠ 1=∠ 2，那么∠ EDC 的度数为〔〕
°°°°
11.〔 2021 云南楚雄〕等腰三角形的一个内角为70°，那么此外两个内角
的度数是〔〕
A．55°，55°B．70°，40°C．55°，55°或 70°，40°D．以
上都不对
12.〔2021 安徽〕如图，直线∥，∠ 1=55°，∠ 2=65°，那么∠ 3为：〔〕
A．50°B．55°C． 60°D．65°
填空题
13.三角形中，假定最大内角等于最小内角的 2 倍，最大内角又比另一个内角
大 20°，那么此三角形的最小内角的度数是________.
14.在△ ABC中，假定∠ A+∠B=∠C，那么此三角形为 _____三角形；假定∠ A+∠B ＜
∠C，那么此三角形是 _____三角形 .
15.以下列图，三角形一个内角为 40°，那么∠1+∠2+∠3+∠
4=_________.
16.在△ ABC中，∠B、∠ C 的均分线交于点 D，假定∠ BDC=155°，那么∠ A=______.
17.假如一个三角形的各内角与一个外角的和是300°，那么与这个外角相邻的
内角度数是 ____.
18.一个三角形三个外角之比为2︰ 3︰ 4，那么这个三角形三个内角之比为
_________.
19.以下列图，∠ABC 与∠ ACB的内角均分线交于点O，∠ ABC 的内角均分
线与∠ ACB的外角均分线交于点D，∠ABC与∠ ACB的相邻外角均分线交于点E，
且∠ A=60°，那么∠ BOC=______，∠ D=______，∠ E=_______.
〔第 19 题〕〔第20题〕
20.以下列图，∠ A=50°，∠ B=40°，∠ C=30°，那么∠ BDC=________.
21.如图，∠ A+∠ B+∠C+∠D+∠ E+∠F=_________.
〔第 21 题〕〔第22题〕
22.如图， D 是等腰三角形 ABC的腰 AC 上一点， DE⊥BC于 E，EF⊥AB 于 F，假定∠ ADE=158°，那么∠ DEF=_____.
解答题
23.以下列图，△ ABC为直角三角形，∠B=90°，假定沿图中虚线剪去∠ B，
求∠ 1+∠ 2 的度数 .
〔第 23 题〕〔第24题〕
24.，如图 D 是△ ABC中 BC边延伸线上一点， DF⊥AB 交 AB 于 F，交 AC 于E，∠ A＝46°，∠ D＝ 50°．求∠ ACB的度数．
25.如图，在△ ABC中，∠ A=36°，点 E 是 BC延伸线上一点，∠ DBA= ∠ABC，
∠DCA= ∠ACE，求∠ D 的度数 .
26.
〔第 25 题〕〔第26题〕
26.如图， AB∥CD，∠ A=45°，添一个条件 _________，求∠ C 的度数 .
能力提高
27.以下列图，在△ ABC中，D 是 BC边上一点，∠1=∠ 2，∠3=∠4，∠ BAC=63°，求∠ DAC的度数 .
〔第 27 题〕〔第28题〕
28.以下列图，∠ 1=∠2，∠ 3=∠4，∠ C=32°，∠ D=28°，求∠ P 的度数 .
29.，如图 CE是△ ABC的外角∠ ACD的均分线， BE是∠ ABC内任一射线，
交 CE于 E．
求证：∠ EBC＜∠ ACE．
〔第 29 题〕〔第30题〕
30.以下列图，在△ ABC 中， AD⊥BC 于 D，AE 均分∠ BAC(∠ C＞∠ B)，试证明：∠EAD= (∠C－∠ B).
综合研究：
31.以下列图，在△ ABC 中，∠ A=于点 P，且∠ P=，尝试究以下各图中，△ ABC 的内角均分线或外角均分线交与的关系，并加以说明 .
32.如图，将三角形纸片ABC沿 DE折叠 .
〔1〕当点 A 落在四边形 BCDE内部时，∠ A、∠ 1、∠ 2 的度数之间有如何的数目关系请你把它找出来，并说明你的原因；
〔2〕当点 A 落在四边形 BCDE外面时，∠ A、∠ 1、∠ 2 的度数之间又有怎样的数目关系。