第十章-质心运动定理-动量定理

m1下降h时，假设m4向左水平移动S:
xC1
m1 x1
S
m2 x2
h m1
S m3 x3 hcos
m2 m3 m4
S
m4 x4
S
由
xC1
xC0
得
S
m2h m3hcos
m1 m2 m3 m4
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
（二）质心运动定理
对每个质点
mi
d 2ri dt 2
Fi
1
求和
左边
mi
d2 dt 2
d 2ri dt 2
mi ri
Fi
d2 dt 2
2
mrC
m
d 2rC dt 2
maC
右边
FiE FiI FiE FiI
系统外部对i质 点的合力
系统内部其它所有质 点对i质点的合力
vCx 0
又
dxC dt
vCx
0
xC const
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
y
记四个物块的质心初始时刻坐标
分别为x1、 x2、 x3、 x4。
m3
m2
m4
m1
初x1 m2 x2 m1 m2
m3 x3 m4 x4 m3 m4
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
maCx miaCix
aC3
W2 g
aC 2
s in t
W3 g
aC 3
s in t
aC2
W2 2W3 l2 sin t
2g
Fx
Fy
同理，求得
Fy
W1
W2
W3
W2
2W3 2g
l2
cost
第二节 质点系动量、冲量
质点动量
p mv
柱在其上纯滚动，系统初始时刻静止。试求圆心C相对于三棱 柱速度为vr时，三棱柱的速度。
解：系统水平方向的动量
守恒，即px=const。
由初始条件可知， px=0。
vA
m1g
C
vA A
vr
m2g θ
px m1vC1x m2vC 2 x
m1vrx m2vA
FN
x
以C为动点，三棱柱为动系，可知：vC1x vr cos vA
a
px
W 2g
a
sin
C
vC
py
W 2g
a
cos
解法二 p pAB pOD
p
pOD
W 2g
a
第二节 质点系动量、冲量
质点动量 质点系动量 常力的冲量 元冲量
p mv
P
mivi mvC
I Ft
dI F dt
t2 t2
t2
变力的冲量 I dI F dt Fi dt Ii
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：
Fx
W2
2W3 2g
l 2
sint
Fy
W1
W2
W3
W2
2W3 2g
l 2
cos t
静反力
Fy
附加动反力
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
d
mi
vi
dt
FiE
Fi I
dP dt
Fi E
P2 P1
I
E i
第三节 动量（冲量）定理
dP dt
Fi E
dP d mivi
dt
dt
dmvC
dt
maC
FiE
dPx
dt
FixE
dPy
dt
FiyE
dPz
dt
FizE
例5：三棱柱质量m2，置于光滑地面上；质量m1、半径r的圆
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解： 1.取坐标系oxy
2.任意时刻质心坐标
xc
W2
l 2
sint
W3 l
sint
W1 W2 W3
yc
W2
l 2
cos
t
W3l
cos
t
W1 W2 W3
Fy
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
2maA F
A
C
F
例1：图示机构，地面光滑，初始时刻系统静止。问
m1下降h时，m4水平移动多少？
解： 1.建立坐标系
记四个物块的质心初始时刻坐标 分别为x1、 x2、 x3、 x4。
2.质心运动定理
y
m3
oθ
m2
m4
m1
x
由
maCx
m dvCx dt
FixE 0
得vCx const 而初始时刻系统静止
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
动，求螺栓和基础作用于电动机的最大总水平力及铅直力。
解：3. 质心加速度
d 2 xc (W2 2W3 )l 2 sint
dt 2
2(W1 W2 W3 )
d 2 yc dt 2
(W2 2W3 )l 2 cost
2(W1 W2 W3 )
4. 质心运动定理
W1 W2 W3 g
d 2 xc dt 2
Fx
Fy
W1 W2 W3 g
d 2 yc dt 2
Fy
W1 W2 W3
例2:电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上，如图所示。另 有一均质杆，长l，重W2，一端固连在电动机轴上，并与机轴
垂直，另一端刚连一重W3的小球。设电动机轴以匀角速ω转
t1
t1
t1
t2
t2
Ix Fxdt ; I y Fydt
t1
t1
例4：已知力F1＝5kN，F2＝2sin(t)kN，
求二力在4s内的合冲量。
y x
第三节 动量（冲量）定理
质点 质点系
d mv dt
i
F
mv2 mv1
d mi vi
dt
Fi
Fi E
Fi I
t2 Fdt
t1
maC
m
d
2
rC
dt 2
Fi E
结论：
maC
m
d
2
rC
dt 2
Fi E
－－质心运动定理
1. 质心“像一个质点一样遵循牛顿第二定理”。
2. 无论刚体（系）、质点系做何形式的运动，此 定理成立。
maCx
m
d 2 xC dt 2
FixE
maCy
m
d 2 yC dt 2
FiyE
maCz
m
质点系动量
p mivi mvC
问：刚体系统的动量？
p mvC mivCi
px mvCx mivCix py mvCy mivCiy pz mvCz mivCiz
例3：均质丁字杆重W，AB＝OD＝2a，
已知，求杆在图示瞬时的动量。
解：解法一
OC = a/2
p
mvC
W 2g
第一节 质心运动定理
质点系在力的作用下，其运动状态不但与各 质点的质量有关，而且与质量的分布情况有关。
质量中心是反映质点系质量分布特征的物理量之一。
（一）质量中心（质心）
rC
mi ri mi
问题：
xC
mi xi mi
yC
mi yi mi
zC
mi zi mi
231系...系质质统统心心质由的的心几速加如个度速何刚如度确体何如定构确何？成定确，？定每？个mmm刚varCCC体质心mm位mii置ivarCCC已iii 知，123
px m1vr cos vA m2vA 0
例6：已知曲柄OA长r，重W1，以＝ t(是常量)运动，T形
杆重W2，滑块重W3，不计摩擦，机构置于铅垂平面内，求铰 O处水平约束力。
解： d px dt
FixE
pOA
W1 g
r 2
pA
W3 g
r
pAC
W2 g
r sint
px
W1
2W2 2g
d 2zC dt 2
FizE
问题1：两个相同均质圆盘，初始时刻皆水平静止于
光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用 位置不同（如图示），哪个圆盘跑得更快？
F
F
问题2：AB、AC为两相
同的均质杆，每根质量为 B m。系统初始时刻静止于 光滑的水平桌面，受大小 为F的水平力作用如图示。 问A点的加速度等于多少？
2W3
r sint
Fx
W1
2W2 2g
2W3
r 2
cost