第46课--圆的方程及对称问题

第46课 圆的方程及对称问题
基础知识
1. 圆的定义及方程
2. 对称问题
(1)点关于点对称：利用中点坐标公式解决.
(2)点关于直线对称：点与对称点的连线垂直于直线，同时点与对称点的中点在直线上，列式求解.
(3)直线关于点对称：直线与对称直线的斜率相等，再利用直线上任意一点关于已知点的对称点必在对称直线上求出对称直线上的一点，即可利用点斜式求出对称直线的方程.
(4)直线关于直线对称：①两直线平行：斜率相等，再根据点关于直线对称的方法找到对称直线上的一点即可；②两直线相交：求出交点，然后再根据点关于直线对称的方法求出对称直线上的另一点，即可利用两点式求对称直线的方程.
(5)有关圆的对称：圆的大小不变，即r 不变，只改变圆的位置，只要利用有关点的对称问题的方法确定圆心的位置即可. 一、典型例题
1. 当a 为任意实数时，直线(1)10a x y a --++=恒过定点C ，则以C 为圆心，（ ）. A. 22240x y x y +-+= B. 22240x y x y +++= C. 22240x y x y ++-= D. 22240x y x y +--= 答案：C
解析：由(1)10a x y a --
++=得(1)(1)0x a x y +-+-=，10x ∴+=且10x y +-=，解得1,2x y =-=，该直线恒过点(1,2)-，∴所求圆的方程为22(1)(2)5x y ++-=，即22240x y x y ++-=，故选C.
2. 圆()()2
2
1:131C x y ++-=，圆()()2
2
2:554C x y -+-=，M ，N 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值（ ）.
A. 6
B.
C. 7
D. 10 答案：C
解析：圆1C 关于x 轴的对称圆3C 的圆心坐标3(13)C --,，半径为1. 圆2C 的圆心坐标(5,5)，半径为2，||||PM PN +的最小值为圆3C 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即
37=，故选
C .
3. 已知圆C ：()()22
341x y -+-=与圆M 关于x 轴对称，Q 为圆M 上的动点，当Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 的横坐标为（ ）.
A. 2-
B. 2±
C. 3-
D. 3± 答案：C
解析：圆M 的方程为：()()22
341x y -++=，过(34)M -,且与直线2y x =+垂直的直线方程为1y x =--，代
入()()22
341x y -++=，得3x =±Q 到直线2y x =+的距离最小时，Q 的横坐标为3x =-，故选C. 二、课堂练习
1. 已知圆()()22
:684C x y -++=，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ ）. A. ()()2234100x y -++= B. ()()22
34100x y ++-= C. ()()223425x y -++= D. ()()22
3425x y ++-= 答案：C
解析：由题意可知：()()0,0,6,8O C -，则圆心坐标为()3,4-10，据此可得圆的方程为()()
2
2
2
10342x y ⎛⎫
-++= ⎪⎝⎭
，即()()223425x y -++=. 故选C. 2. 已知点()()2,0,0,2A B -，若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM 面积的最小值为_______.
答案：2
解析：将圆22:220M x y x y +-+=化简成标准方程()()22
112x y -++=，圆心()1,1-,半径r =. 因为()()
2,0,0,2A B -，所以AB =要求
ABM 面积最小，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，
而圆心()1,1-到直线AB 的距离为M 到直线AB 距离的最小值为所以ABM
S
的最小值为
min 11
222
AB d ⋅⋅=⨯=.
3. 圆()2
215x y ++=关于直线y x =对称的圆的标准方程为__________. 答案：()2
215x y ++=
解析：圆()2
215x y ++=的圆心坐标为()1,0-，它关于直线y x =的对称点坐标为()0,1-，即所求圆的圆心坐
标为()01-，，所以所求圆的标准方程为()2
215x y ++=. 三、课后作业
1. 圆()()22
112x y -+-=关于直线3y kx =+对称，则k 的值是（ ）. A. 2 B. 2- C. 1 D. 1- 答案：B
解析：圆()()22
112x y -+-=关于直线3y kx =+对称，所以圆心(1,1)在直线3y kx =+上，得132k =-=-. 故选B.
2. 圆C 与x 轴相切于()1,0T ，与y 轴正半轴交于两点,A B ，且2AB =，则圆C 的标准方程为（ ）.
A. ()(2
2
12x y -+-= B. ()()22
122x y -+-=
C. ()(
2
2
14x y ++= D. ()(2
2
14x y -+=
答案：A
解析：设圆心为(),a b ，半径为r ，由已知条件得1a =，且2112r =+=，则圆心为(,r = A. 3. 已知,x y 满足()2
2116x y -+=，则22x y +的最小值为（ ）.
A. 3
B. 5
C. 9
D. 25 答案：C
解析：22x y +表示圆上的点(,)M x y 到原点O 的距离的平方；圆心为()1,0A ，半径4r =，因为
413O M r O A ≥-=-=，所以29OM ≥，故选C.
4. 圆221:(3)(1)4C x y -++=关于直线0x y -=对称的圆2C 的方程为（ ）. A. 22(3)(1)4x y ++-= B. 22(1)(3)4x y ++-= C. 22(1)(3)4x y -++= D. 22(3)(1)4x y -++= 答案：B
解析：因为圆221:(3)(1)4C x y -++=和圆2C 关于直线0x y -=对称，所以圆2C 的半径等于圆1C 的半径2，且点2C 和1(3,1)C -关于直线0x y -=即y x =对称，所以点2C 坐标为(1,3)-，所以所求圆方程为22(1)(3)4x y ++-=. 故选B.
5. 圆2244100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）. A. 18 B.
C. D. 答案：C
解析：由圆2244100x y x y +---=可知其标准方程为22(2)(2)18x y -+-=，∴圆心为(2,2)，半径为r =
所以圆心到直线的距离
d =. 则圆2244100x y x y +---=上的点到直线80x y +-=的最大
距离与最小距离分别为0，所以距离差为. 故选C.
6. 已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=. 当m 在实数范围内变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是______. 答案：2220x y x y +--=
解析：由题意，联立两直线方程020
mx y x my m -=⎧⎨+--=⎩，利用代入消元法，消去m 得20y y
x y x x +⋅--=，整理后
可得，所求定圆方程是2220x y x y +--=.。