四川省成都市第七中学届高三数学(文)综合练习(5月15日)答案.docx

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高2015届成都七中第十一周测试题（文科）
考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上．
第I 卷（共50分）
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{
,,T =234,则)(T C S U 等于
A ．}{
,,,1456
B ．}
{
4
C ．}
{
,15
D ．}{
,,,,12345
答案：C 2．若复数
i
i
a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 A ．-6 B ．13 C ．3
2
D ．13
答案：A
3．设a ∈R ，则“a ＝-2”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋（a ＋1）y ＋4＝0平行”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：A
4．若直线l 与平面α相交但不垂直，则
A ．α内存在直线与l 平行
B ．α内不存在与l 垂直的直线
C ．过l 的平面与α不垂直
D ．过l 的平面与α不平行
答案：D
5．某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为
A ．8
B ．7
C ．9
D ．168
答案：A
6．从集合122,3,4,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭
中取两个不同的数,a b ，则log 0a b >的概率为
A ．
1
2
B ．
1
5
C ．
2
5
D ．
35
答案：C
7．若G 为三角形ABC 的重心，若0
60=∠A ，2=∙AC AB ，则||AG 的最小值是
A ．
3
3
B ．
2
2
C ．
2
3
D ．
3
3
2 答案：D
8．已知函数()sin 3cos f x x x =-的定义域为[],a b ，值域为3,2⎡⎤-⎣⎦
，则b a -的取值
范围为
A ．55,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ B ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．75,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．7,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
答案：A
9．设P 为双曲线22
1916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作
12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH =
A ．
64
5
B ．
8
5
C ．
32
5
D ．
165
答案：D
10．已知函数()32,f x x x R =-∈．规定：给定一个实数0x ，赋值()10x f x =，若1244x ≤，则继续赋值()21,
x f x =，以此类推，若1244n x -≤，则()1n n x f x -=，否则停止赋值，
如果n x 称为赋值了n 次()
n N *∈．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围为
A ．(
653,3k k --⎤⎦ B ．(
5631,31k k --⎤++⎦ C ．(6531,31k k --⎤++⎦
D ．(
4531,31k k --⎤++⎦
答案：B
第Ⅱ卷 非选择题部分 （共100分）
二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．
11．若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =13 12.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为644π+
13．直角坐标平面内能完全“覆盖”区域Ω：2
4020y x y x y ≤⎧⎪
++≥⎨⎪--≤⎩
的最小圆的方程
为()()2
2
1225x y ++-=
14．已知,,,
0,10a b c R a b c a bc ∈++=+-=，则a 的取值范围
222a ≥-+或222a ≤--
15. 如果)(x f y =的定义域为R ，对于定义域内的任意x ，存在实数a 使得)()(x f a x f -=+成立，则称此函数具有“)(a P 性质”. 给出下列命题： ①函数x y sin =具有“)(a P 性质”； ②若奇函数)(x f y =具有“)2(P 性质”，且1)1(=f ，则(2015)1f =；
③若函数)(x f y =具有“(4)P 性质”，图象关于点(10)，
成中心对称，且在(1,0)-上单调递减，则)(x f y =在(1,2)上单调递增；
④若不恒为零的函数)(x f y =同时具有“)0(P 性质”和“(3)P 性质”，且函数)(x g y =对R x x ∈∀21,，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x -≥-成立，则函数)(x g y =是周期函数.
其中正确的命题有
①③④
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）
在ABC ∆中，45,
C D ∠=为BC 中点，2BC =．记锐角A D B α∠=，且满足7
cos2.25
α=-
（Ⅰ）求cos CAD ∠; （Ⅱ）求BC 边上的高． 解：（1）1cos 23
cos 25
αα+=
= ()72
cos cos cos cos sin sin 10
CAD C C C ααα∠=-=+=
（2）由
sin sin AD CD
C CA
D =
∠得5AD =， 45
45sin =⨯=⋅=∴αAD h 17．（本题满分12分）为了整顿食品的安全卫生，食品监督部门对某食品厂生产的甲、乙两种食品进行了检测调研，检测某种有害微量元素的含量，随机在两种食品中各抽取了10个批次的食品，每个批次各随机地抽取了一件，卞表是测量数据的茎叶图（单位：毫克）
规定：当食品中的有害微量元素含量在[0，10]时为一等品，在(]20,10为二等品，20以上为劣质品。

(1)分别求出甲、乙两种食品该有害微量元素含量的样本平均数，并据此判定哪种食品
的质量较好；
(2)若用分层抽样的方法，分别在两组数据中各抽取5个数据，分别求出甲、乙两种食
品一等品的件数；
(3)在(2)的条件下，从甲组5个数据中随机抽取2个，求恰有一件一等品的概率．
18．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90o,AB=1,AD=2，ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD，P为DF的中点．AN⊥CF，垂足为N。

（1）求证：BF∥平面PAC；
（2）求证：AN⊥平面CDF；
（3）求三棱锥B－CEF的体积。

19．（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S ，常数0λ>且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg
n a ⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭的 前n 项和最大？ 解（1）令1n =，则2
112a a λ=，10a ∴=或12
a λ
=
若10a =，则0n a = 若12
a λ
=
，则2
2n n a S λ
=
+，1122n n n n n a a S S a --∴-=-=，即
()1
22n
n a n a -=≥ {}n a ∴是以2
λ
为首项，2为公比的等比数列．2n n a λ=
（2）1100
lg
lg 2lg 22n n n a ==-，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是递减数列 由1100
lg lg 02n n a =>，解得6n ≤，∴当6n =时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和最大。

20．（本题满分13分）已知椭圆2222b y a x +=1（a>b>0）的离心率为2
1
，右焦点与抛物线y 2 =
4x 的焦点F 重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）过F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，椭圆的左焦点力F '，求△AF'B 的面积的最
大值．
【答案】【解析】（1）22
143
x y +=；（2）3 解析：（1）抛物线的焦点F （0,1）
1
2
e =， 2a =， 2223b a c =-=
椭圆方程为22
143
x y += （2）显然l 的斜率不为0，设l:x=my+1
由221
14
3x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，
设()()1122,,,A x y B x y ，0∆>恒成立，
121222
69
,3434
m y y y y m m +=-
⋅=-++， 121212AFB
S
FF y y y y '=⋅-=-2
2222
6361213434
34m m m m m +⎛
⎫=-+= ⎪+++⎝⎭， 令21,t 1t m =+≥，则2
2
1m t =- 则121
3AFB
S
t t
=
+
令()()1
31u t t t t
=+
≥ ()2
22
33333310t t t u t t t
⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'==>，当1t =即0m =时，()
max
3AFB S =
21．（本题满分14分） 已知函数f(x ）=
nx a x a x 1)1(2
12
---． （l ）讨论f （x ）的单调性；
(2)设a<0，若对任意x 1、x 2∈(0，+∞)，（x 1≠x 2），|f （x 1）－f （x 2）|>4 |x 1－x 2|，求实数
a 的取值范围；
(3)设g （x ）=f （x ）+（a －1）x ，A （x 1，g （x 1）），B(x 2 ,g(x 2)）为g （x ）图象上任意两
点，x 0=AB x x ,2
2
1+的斜率为k ，g '（x ）为g （x ）的导函数，当a>0时，求证：g '（x 0）>k ．
解析：（1）定义域为()0,+∞，()()()()11x a x a f x x a x x
-+'=---
= ① 当0a ≤时，由()0f x '>得x a >，由()0f x '<得x a <，又0x >,
()f x ∴在()0,a 递减，在(),a +∞递增
综上：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上递增； 当0a >时，()f x 在()0,a 递减，在(),a +∞递增。

（2）因为0a <，所以由（1）知()f x 在()0,+∞上递增；
不妨设120,x x <<则()()12f x f x <，所以由()()
1212| 4 |f x f x x x ->－ 得()()221144f x x f x x ->-，令()()
4F x f x x =-， 所以()F x 在()0,+∞上递增；所以()
2
1(3)12
F x x a x a nx =
-+-， ()()30a
F x x a x
¢=-+-
?对一切()0,x ??恒成立，
即231x x a x -£+对一切()0,x ??
恒成立，令()2301x x
y x x -=>+，1,1t x t =+>
所以254445251t t y t t t t t -+==+-匙-=-，当且仅当4
t t
=，即t=2,即x=1时取等号， x=1时，min 1y =-，所以1a ? （3）因为()
21ln 2g x x a x =
-（a>0）所以()a
g x x x
¢=-， 设120x x <<，则()()221122
12121212
11
ln ln ln ln 1222x a x x a x a x x k x x x x x x ----==++--，
()22102211
11ln 21+x x x a
g x k x x x x x ⎡
⎤-⎢⎥'⎢⎥-=
--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，
令21,1x t t x =
>，()1
ln 21t h t t t -=-+，()()()
()
2
22
114011t h t t t t t -¢=-=>++。