八年级数学下册第十六章二次根式16.3二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算12

第2课时 二次根式的混合运算
1．会熟练地进行二次根式的加减乘除
混合运算，进一步提高运算能力；(重点)
2．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)
一、情境导入
如果梯形的上、下底边长分别为22cm ，43cm ，高为6cm ，那么它的面积是多少？
毛毛是这样算的：
梯形的面积：1
2(22＋4
3)×6＝(2
＋23)×6＝2×6＋23×6＝
2×6＋218＝23＋62(cm 2
)． 他的做法正确吗？ 二、合作探究
探究点一：二次根式的混合运算 【类型一】 二次根式的四则运算
计算：
(1)12
223
×9145
÷35
； (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫312－2
13＋48÷23＋
⎝
⎛
⎭
⎪⎫132； (3)2－(3＋2)÷ 3. 解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．
解：(1)原式＝1
2×9×
83×145×53＝1
2
×9×229
＝2；
(2)原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
63－233＋43÷23＋
13＝2833×123＋13＝143＋1
3
＝5；
(3)原式＝2－(3＋2)÷1
3＝2－
3＋2
3
＝2－1－23
3.
方法总结：二次根式的混合运算：先把
各二次根式化为最简二次根式，再进行二次
根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
探究点二：利用乘法公式及运算律进行二次根式混合运算
计算： (1)(2＋3－6)(2－3＋6)；
(2)(2－1)2
＋22(3－2)(3＋2)； (3)⎝
⎛
⎭
⎪⎫
6－
1332－3424×(－26)． 解析：(1)利用平方差公式展开然后合
并即可；(2)先利用完全平方公式和平方差公式展开然后合并即可；(3)利用乘法分配律进行计算即可．
解：(1)原式＝[2＋(3－6)][2－
(3－6)]＝(2)2－(3－6)2
＝2－(9－218)＝2－9＋62＝－7＋62；
(2)原式＝2－22＋1＋22×(3－2)＝2－22＋1＋22＝3；
(3)原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
6－
66－326×(－26)＝－2
3
6×(－26)＝8.
方法总结：利用乘法公式进行二次根式混合运算的关键是熟记常见的乘法公式；在二次根式的混合运算中，整式乘法的运算律同样适用．
探究点三：二次根式混合运算的综合运用
【类型一】 与二次根式的混合运算有关的新定义题型
对于任意的正数m 、n 定义运算※
为m ※n ＝⎩⎨⎧m －n （m ≥n ），
m ＋n （m <n ）.
计算
(3※2)×(8※12)的结果为( )
A ．2－4 6
B ．2
C ．2 5
D ．20
解析：∵3＞2，∴3※2＝3－2.∵8
＜12，∴8※12＝8＋12＝2(2
＋3)，∴(3※2)×(8※12)＝(3－2)×2(2＋3)＝2.故选B.
方法总结：弄清新定义中的运算法则，转化为代数式的运算，正确运用运算律及公式是解题的关键．
【类型二】 二次根式运算的拓展应用
请阅读以下材料，并完成相应的
任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰似斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列
中的第n 个数可以用
1
5
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，
n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范
例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
解析：分别把n ＝1、2代入式子化简即可．
解：第1个数，当n ＝1时，
1
5
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15[1＋5
2－1－52]＝1
5
×5＝1； 第2个数，当n ＝2时，
15
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝
15⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝
15
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋52－1－5
2＝
15×1×5＝1.
方法总结：此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
三、板书设计
1．二次根式的四则运算
先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．
2．运用乘法公式和运算律进行计算 在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用．
本节课以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆．同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.。