高考数学一轮复习第九章第2课时排列与组合课时作业理新人教版

第2课时排列与组合
考纲索引
1. 排列与排列数•
2. 组合与组合数.
3. 组合数公式的性质. 课标要求
1. 理解排列、组合的概念.
2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式
3.
能利用排列与组合解决简单的实际问题
.
知识梳理 1. 排列与排列数
n 个不同元素中取出 m (m K n )个元素的所有不同排列
的个数”，它是所有不同排列的个数，是一个数值. ,右边的第一个因数是
n ,后面的每一个因数都比前面一个少
1,
最后一个是1,共 _________ 个连续正整数相乘当较小时可利用该公式计数排列数 公式还可表示成=兀
,它主要有两个作用：一是当m n 较大时，可利用计算器计
算阶乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时 ，写出这种形式更便于发现它们之
间的规律. 2. 组合与组合数
“一个组合”是指“从 n 个不同元素中取出 mm< n )个元素合成一组”，它是一件事情；“组 合数”是指“从 n 个不同元素中取出 m (m< n )个元素的所有不同组合的个数”
，它是一个数
L =」=
值.组合数公式的推导要借助于排列数公式
，公式
_________ ,其分子的组成与
排列数’”相同,分母是m 个元素的全排列数.当m n 较小时，可利用该公式计数；组合数公 j 5 式还可以表示成'” = ____________ ,它有两个作用：一是当mn 较大时，可利用计算器计算阶乘 数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论证 .
3. 组合数公式有两个性质
“排列”与“排列数”是两个不同的概念
“一个排列”是指"从 n 个不同元素中取出 m (m < n )个元素，按照一定的顺序排成一列”
,它是一件事情，只有元素与其排列顺序都相同的排
列才是同一排列；“排列数”是指“从 排列数公式
⑴
,该公式说明，从n 个不同元素中取出 m 个元素与从n 个不同元素中取出
n-m 个元素是一一对应关系
，实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系 ，该公式说明,从a i , a 2,…,a n+i 中取出m 个元素的组合数
1飞名学牛和2位窓师站成一排合影池位老师不相邻的排法种数
为（ ）・
A. A|A^
B.
C. A|A?
D.
2. （2013 -四川）从1.3*5,7»9这五个数中*每次取出两个不同的数分別记为 s 爲共
可得到lgu-lg6的不同值的个数是（
A. 9
B. 10 D. 20
乳某导演拟从5名演员中选取3名参加5场演出"其中第三场必须2人参 加*其余各场只要1人参加+每人参加2场演岀”其中演员甲不能参加第 三场"且每位演员不能连续出场参加演;4则导演安排演岀的方法种数 为（ ）.
A, 36
IX 144
4*7名志熄者中安排6人在周六、周H 两犬参加社区公益活动•若每犬安排 3
人”则不同的安排方案共有 ___________ 种（用戟字作答h
比甲、乙*内3人站到共有7级的台阶上•若毎级台阶最多站2人•同一级台 阶匕的人不区分站的位置，则不同的站迭种数是
｛用数字作答）+
♦排列、组合综合题
再利用两个基本计数原理作最后处理
♦间接法
对于较难直接解决的问题则可用间接法
，但应做到不重不漏
♦分配问题
对于分配问题，解题的关键是搞清楚事件是否与顺序有关
，对于平均分组问题更要注意顺序
；(2)
a 可以分成两
类:第一类含有元素a i ,共
个；第二类不含元素
共个.
解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素 ,或充分利用元素的性质进行分类、分布
避免计数的重复或遗漏考点透析
考向一有限制条件的排列问题
例1甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数
(1)甲不在排头、乙不在排尾；
(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；
(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻).
【审题视点】根据题目要求灵活运用直接法和间接法•
【方法总结】对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列
，
同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”
或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法•
变式训练
1.4个男同学，3个女同学站成一排•
(1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？
(2) 任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
⑶其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？
(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等)
考向二组合问题
例2某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
⑵两队长当选；
(3) 至少有一名队长当选；
(4) 至多有两名女生当选；
⑸既要有队长,又要有女生当选•
【审题视点】根据题目要求，正确的选择排列或组合,有些问题用间接法更方便•
【方法总结】1.注意问题有无顺序要求，一般有序问题用排列，无序问题用组合；
2. 有些复杂问题用直接法不好解决，往往选用间接法；
3. 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关
键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序分组要除以均匀组数的阶乘数；还要考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.
变式训练
2. (2013 •重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_________ .
考向三排列与组合的综合应用
例3按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1) 分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2) 甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3) 平均分成三份，每份2本；
(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5) 分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6) 甲、乙、丙三个人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
⑺甲得1本,乙得1本,丙得4本.
【审题视点】 综合运用排列与组合的知识解题
【方法总结】排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的元素组合 （分组）,再对取出的元 素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准 变式训练 3.
（1）现安排甲、乙、丙、丁、戊
5名同学参加南京青
奥会志愿者服务活动
，每人从事翻译、
导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三 项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作 ,则不同安排方案的种数是 ____________ ；
⑵ 给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色
.当n W 4时,在所有不同的着色方案中，黑色
正方形互不相邻的着色方案如下图所示
：
h-1 ■ 口
B B 0
由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 ____________ 种,至少有两个黑色正方 形相邻的着色方案共有 ________ 种.（结果用数值表示） 经典考题
典例（2014 •浙江模拟）把座位编号为1,2,3,4,5 的五张电影票全部分给甲、乙、 丙、丁四 个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数 为 .（用数字作答） 【解题指南】 根据题意，先将票分为符合题意要求的
4份,用隔板法易得其情况数目，再将
分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，再由分步计数原理，计算可得答案. 【解析】 先将票分为符合条件的 4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张，至多两张, 则三人一张,1人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5 这五个数用3个板子隔 开,分为四部分且不存在三连号 .在4个空位插3个板子，共有* 种情况，再对应到4
A ：=
个人,有 24种情况,则共有4X 24=96种情况.
rm
一一 ■一
■~n FE
nrrn
= =- Mn
故答案为96.
【答案】96
真题体验
1. （2014 •全国大纲）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）.
A. 60 种
B. 70 种
C.75 种
D.150 种
2. （2014 •北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀” “合格” “不合
格” •若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）.
A. 2人
B. 3人
C. 4人
D. 5人
3. （2014 •辽宁）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）. A. 144 B.120
C. 72
D. 24
4. ____________________ （2014 •北京）把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.
5. （2014 •浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给
4个人，每人2张，不同的获奖情况有_______ 种.（用数字作答）
1. A
2.C
3. A
4.140
5.336
考点透析
【例1】I ）解析：（□①直接排•耍分甲排在排尾和甲既不排在排头也 不排在排尾两种情况*
若甲排在排尾共有A ；Ai = 6种排法. 若甲既不在排头也不在丼尾共有AJA1AH8种诽法抽分先汁敎原 理知满足条件的排法共冇A ｝朋+厲皿加=14（种）.
②也可间接计算:A ：；-2AHA^ = 14（种人
（约可考虑直接排法’甲有3种推法暑若甲排在第二位•则乙有3种排 法事甲、乙排好后再丙■丁只有一种排法•由分步计数原理知满足条件 的所有排法共有3X3X ] -9（种）.
⑶可先排丙.丁有A?种排肚，则甲.乙只有一种排医，由分步计数原
理满足条件的排列共有Af • 1-12（种匚或看作定序问题牛
=12（种 h
【例2J （1）依题意再应选一名女生.四名男生，
知识梳理
参考答案与解析
1- rf (« — 1) (n — 2)
— JN +1)
齐(刃
—1)(卅—2)" * (“ — m -Fl)
基础自测
故共有G ・C ：=350（种）.
（2） 将两队长作为一类，其他11人作为一类， 故共有C ；・C ；i=165（种）.
（3） 至少有一名队长包含两类：只有一名队长和有两名队长，故共有 C ； -Ch+Cf ・昭=825（种），或采用排除法:C?3-Cf 1=825（种）.
（4） 至多有两名女生包含三类：有两名女生、只有一名女生、没有 女生.
故选法为Cf ・& + G ・&+& = 966（种）.
（5） 分两类：第一类女队长当选，有C ；2种；
第二类女队长不当选：C ；・Q+Cf ・Q+C ：・C}+C ：|・ 故选法共有Cj 2+C}
・Q+C ：・d + C ；・C}+Cj=79O （种）.
【例3] （1）无序不均匀分组问题.
先选1本•有C]种迭法，籽从余下的5木中选2木•有住 种迭法；最 后余下3本全选•有ci 种选法•故共有Q ・G ・ci=60（种）.
（2） 有序不均匀分组问题.
由于甲、乙、丙有不同的三人，在（1）题基础上•还应考虑再分配•共有 ©・&・&・ Ai = 360（种）.
（3） 无序均匀分组问题.
先分三步•则应是（4・u ・&种方法9但是这里出现了重复.不妨记 六本书为A,B,C,D ・E ・F,若第一步取了 AB •第二步取了 CD,第三 步取了
EF •记该种分法为（AB.CD.EF ）则&・C ： •住种分法中还 包括（AB,EF,CD 〉，（CD ・AB,EF>,（CD,EF,AB ）,（EF,fD,AB ）,
（EF.A13.CD ），共有A 扌种悄况.而这A 舟种情况仅是AB.CD.EF 的 顺序
不同，因此只能作为一种分法，故分配方式冇鱼
=15（种）.
（4） 冇序均匀分组问题.
在（3）的基础上再分配给3个人•共有分配方式
& ・ C ： •& = 60（种）.
（5） 无序部分均匀分组问题. 共有心•乍• C
；=15（种）.
A
2
(6)有序部分均匀分组问题.
在(5)的基础上卉分配给3个人•共有分配方式
CJ * CJ • C[ a3冲
—_拦----- • Al = 90(种).
(7＞直接分配问题.
甲选1本•有C；种方法；乙从余下的5本中选I本•有G种方法;余下4本留给丙”有C种方法•共有分配方式C] ■ C| • CJ = 30(种).
变式训练|
1.(1)3个女同学是持殊元素•我们先把她们排好，共有A扌种排法卡由于3个
女同学必须排在一起•我们可视排好的女同学为一整体*再与男同学排队.
辻时是5个元素的全排列•应有Al种排法•由分步计数臣理，有朋朋=720种不同排法.
(2)先将男生排好.共有AJ种排法■冉在这4个男生的中河及两头的5个
空当中插入3个女生有A殳种方案，故符合条件的排法共有A：；A? =1 440种不同排法.
(3)甲*乙两人先排好，冇A|种排法.再从余下5人中选3人拮在甲、乙两
人中间，有/种排法，这时把已排好的5人视为一整体*与最后剩下的两人再排•又冇A|种排法•这样总共冇A；&虫= 720种不同排法.
(4)先排甲、乙和丙3人以外的苴他4人•有AJ种排法*由干甲、乙冬相
邻•故再把甲，乙排好•冇XI种排法；垠膚把甲、乙排好的这个驚体与内分别f甫人原先井好的4人的空半屮有Af种排法•这样•总共有A{A^Af=960种不同排法.
⑸从7个侍詈中选出4个低曽把男生排好•则有思种排法-然后阳在余卜.
的3个空位當中排女生”由于女生啖按身体离域排列•故仅有一种排法•这样总共有朋= 840种不同排法.
2.590
3.(1)126 (2)21 43
1.C 解析：由题意知，选2名男医生、1名女医生的方法有C|C| =75（种）.
2.B 解析：假设满足条件的学生有4位及4位以上.设其中4位同学分别为
甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时•用A.B.C表示“优乔”“合
格”“不合格”•则满足题意的有AC.CA.BB.所以最多有3人.
3.D 解析：剩余的3个座位共有4人空隙供3人选择就座，因此任何两人不
相邻的坐法种数为£=4X3X2 = 24・
4.36解析：将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共
有AjA：种方法，将产品A.B.C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A；A；种方法•于是符合题童的排法共W AlAj-AfAi = 36（种）.
5.60解析：将8张奖券分4组，再分配给4个人•把8张奖券分4组冇两种
分法，一种是分（一等奖，无奖）、（二等奖，无奖）、（三等奖，无奖）、（无奖，无奖）四组，分给4人有A：种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有CJ种分法，再分给4人有&A：种分法•所以不同获奖情况种数为A；+&Af = 24 + 36=6O・。